考慮磨損與變形的諧波齒輪精度可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計

潘柏松,方 寬,文 娟,項(xiàng)涌涌，翁微妮

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310014； 2.浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014；3.博世電動工具(中國)有限公司，浙江 杭州 310052)

0 引言

諧波齒輪減速器廣泛應(yīng)用在航空航天、工業(yè)機(jī)器人、雷達(dá)系統(tǒng)、通信設(shè)備等諸多領(lǐng)域，相比其他齒輪減速器具有體積小、傳動比高、載荷大等優(yōu)點(diǎn)[1]，多用于低轉(zhuǎn)速、高精度的情況，如人造衛(wèi)星太陽能板展開、雷達(dá)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動、機(jī)械臂精準(zhǔn)移動等[2]。工程實(shí)際中，諧波齒輪不可避免地存在制造加工、部件裝配等產(chǎn)生的靜態(tài)誤差以及柔輪摩擦磨損[3]和變形[4]導(dǎo)致的動態(tài)誤差。由于磨損和變形均為高度非線性動態(tài)因素，若不考慮影響因素進(jìn)行諧波齒輪傳動分析和設(shè)計，將極大影響齒輪的傳動精度，從而直接影響裝備整體壽命和可靠性。因此，綜合考慮靜態(tài)和動態(tài)影響因素對諧波齒輪進(jìn)行傳動精度可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計不但十分必要，而且具有重要的工程意義。

近年來，針對諧波齒輪傳動誤差問題，國內(nèi)外學(xué)者開展了一系列研究。TUTTLE等[5]對諧波齒輪的傳動誤差來源進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出傳動誤差是由裝配誤差和3個主要部件的制造誤差所造成的結(jié)論；國內(nèi)學(xué)者辛洪兵[6]采用隨機(jī)過程理論推導(dǎo)出較全面考慮誤差因素的諧波齒輪傳動誤差計算公式。上述對傳動誤差的研究僅考慮了裝配和加工制造因素，實(shí)際傳動中還存在動態(tài)影響因素。針對柔輪內(nèi)壁與柔性軸承外圈的磨損動態(tài)因素，郭宣瑾[7]研究了在不同負(fù)載和柔輪壁厚下的柔輪摩擦磨損情況，并通過實(shí)驗(yàn)分析了不同載荷和轉(zhuǎn)速的磨損機(jī)制變化規(guī)律；張金洋等[8]研究了在制造、加工因素以及柔性、摩擦等動力學(xué)因素綜合作用下的諧波齒輪傳動精度；李俊陽等[9]對諧波齒輪進(jìn)行磨損壽命試驗(yàn)，研究了磨損表面接觸體的載荷比例與負(fù)載、轉(zhuǎn)速等之間的關(guān)系；李俊陽[10]還構(gòu)建了基于Archard模型的柔輪內(nèi)壁與柔性軸承外圈間混合潤滑磨損模型。上述文獻(xiàn)對諧波齒輪的動態(tài)磨損進(jìn)行分析與研究，但所構(gòu)建的磨損模型未考慮減速器傳動過程中波發(fā)生器對柔輪的沖擊，以及柔輪傳動過程中柔性變形的情況，難以準(zhǔn)確反映諧波齒輪減速器的實(shí)際磨損情況。另外，在諧波齒輪正常工作中還伴隨著柔輪的周期性柔性變形，柔輪變形是保證齒輪正常傳動的必要條件之一[11]，為構(gòu)建更符合實(shí)際的傳動誤差模型，需要對柔輪變形因素開展研究。GHORBEL等[12]對柔輪變形進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明柔輪變形是傳動誤差中高頻誤差分量的主要影響因素；銀國偉[13]對不同的柔輪材料進(jìn)行徑向變形試驗(yàn)，得到柔輪徑向變形與所受徑向力之間的關(guān)系；柴文杰[14]對諧波減速器柔輪變形特性展開研究，分析了柔輪在速度和載荷條件下的徑向位移變化規(guī)律。上述文獻(xiàn)研究了轉(zhuǎn)速和負(fù)載對柔輪變形的影響，但未考慮柔輪變形對齒輪傳動精度的影響。為此，本文在現(xiàn)有柔輪變形研究的基礎(chǔ)上，研究柔輪變形對傳動誤差的影響，并綜合考慮磨損和變形因素對諧波齒輪進(jìn)行傳動誤差建模。

在諧波齒輪的可靠性分析方面，國內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了比較多的研究。TAGHIRAD等[15]針對諧波齒輪的復(fù)雜動態(tài)特性，建立了考慮齒輪順應(yīng)性、滯后性以及各部件間摩擦的動力學(xué)模型，并對不同工況進(jìn)行可靠性分析；JOHNSON等[16]考慮實(shí)際工作中諧波齒輪可靠性較低的問題，提出一種通過增強(qiáng)齒輪部件剛度來提升可靠性的方法，并進(jìn)行了相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證；LI等[17]針對諧波齒輪制造和工作過程中性能下降的問題，提出一種考慮多源不確定性和磨損的諧波齒輪性能裕度建模及可靠性分析，但該模型未考慮柔輪變形的影響因素；張乙[18]研究了在多失效模式相關(guān)下諧波減速器系統(tǒng)的時變可靠性，提出一種基于Copula函數(shù)的多失效模式相關(guān)下時變可靠性分析方法。在多種因素影響下，諧波齒輪的傳動精度可靠性會隨工作時間的增加而下降，即產(chǎn)生時變可靠性。張金洋等[8]考慮諧波齒輪動力學(xué)因素，并基于多項(xiàng)式混沌展開法(Polynomial Chaos Expansions, PCE)進(jìn)行可靠性分析，但模型中未具體分析動態(tài)影響因素；王磊[3]研究了諧波齒輪的磨損因素，構(gòu)建了考慮磨損的精度時變可靠性模型。上述國內(nèi)外對諧波齒輪傳動精度可靠性的研究未綜合考慮磨損與變形這兩個重要的動態(tài)影響因素，難以獲得真實(shí)有效的減速器精度可靠性分析結(jié)果，以至于影響優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的準(zhǔn)確性。

綜上所述，本文綜合考慮諧波齒輪的各類加工裝配誤差、磨損因素和變形因素，對齒輪開展傳動精度可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計研究，通過綜合分析傳動誤差的靜態(tài)和動態(tài)影響因素建立了諧波齒輪傳動誤差模型。針對諧波齒輪中柔輪與柔性軸承間的磨損情況，基于磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃湍p試驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用貝葉斯修正方法建立動態(tài)磨損模型。在研究柔輪變形方面，根據(jù)獲得的柔輪變形試驗(yàn)數(shù)據(jù)和高斯過程(Gaussian Process, GP)回歸方法建立柔輪變形預(yù)測模型。綜合獲得的傳動誤差模型、動態(tài)磨損模型和變形模型建立諧波齒輪精度可靠性模型，應(yīng)用基于拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling,LHS)的Kriging代理模型和蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulations, MCS)求解諧波齒輪傳動精度可靠度。對諧波齒輪誤差參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，確定設(shè)計變量，以加工成本最低為優(yōu)化目標(biāo)、傳動精度可靠度和磨損量為約束條件建立公差優(yōu)化設(shè)計模型，并使用序列二次規(guī)劃法(Sequential Quadratic Programming, SQP)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

1 諧波齒輪減速器傳動誤差分析

諧波齒輪減速器主要由剛輪、柔輪、波發(fā)生器三大部件組成，其結(jié)構(gòu)與原理圖如圖1所示。根據(jù)傳動原理及傳動方式，諧波齒輪的傳動誤差可分為剛輪和柔輪的加工誤差、剛輪和柔輪的裝配誤差以及波發(fā)生器部件誤差[11]。

諧波齒輪中，剛輪和柔輪的制造加工誤差由齒輪周節(jié)累積誤差和切向相鄰齒綜合誤差構(gòu)成，剛輪制造加工誤差為

(1)

式中：ΔFp1為剛輪周節(jié)累積誤差；ωWG為波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)角速度；Δff1為剛輪切向相鄰齒綜合誤差；ZCS為剛輪的齒數(shù)。

柔輪制造加工誤差為[8]

(2)

式中：ΔFp2為柔輪周節(jié)累積誤差；ZFS為柔輪的齒數(shù)；Δff2為柔輪切向相鄰齒綜合誤差。

由于諧波齒輪各個零件本身存在誤差，在安裝過程中必然會出現(xiàn)實(shí)際位置偏離理想位置的現(xiàn)象，產(chǎn)生裝配誤差[19]，其主要誤差為剛輪安裝孔、柔輪裝配軸承、輸出軸裝配等各零件裝配間的徑向跳動、配合間隙和徑向游隙，上述各類誤差導(dǎo)致剛輪和柔輪出現(xiàn)偏心誤差。以剛輪偏心矢量誤差ΔEtCS為例，圖2所示為ΔEtCS的幾何簡圖，偏心矢量在τ-τ方向上不產(chǎn)生傳動誤差，在嚙合線n-n方向上產(chǎn)生偏心誤差ΔECS，同理可知柔輪的偏心誤差ΔEFS。

在剛輪與柔輪之間，各項(xiàng)由裝配引起的運(yùn)動誤差可以由剛輪固定不動偏心誤差源所產(chǎn)生的運(yùn)動誤差ΔzCS和柔輪旋轉(zhuǎn)偏心誤差源所產(chǎn)生的運(yùn)動誤差ΔzFS表示，表達(dá)式分別為：

(3)

式中：ΔECS為影響剛輪安裝精度的配合間隙和跳動的偏心誤差值；φCS為相應(yīng)的偏心誤差向量相位角；αn為嚙合角；eCS為影響剛輪安裝精度的配合間隙和跳動誤差，包括剛輪與安裝孔間的徑向跳動誤差eCS11及剛輪和安裝孔間的配合間隙誤差eCS12。

(4)

式中：ΔEFS為柔輪配合間隙和跳動的偏心誤差值；φFS為相應(yīng)的誤差相位角；eFS為柔輪配合間隙和跳動誤差，包括柔輪與輸出軸之間的配合間隙誤差eFS11和輸出軸的徑向跳動誤差eFS12。

波發(fā)生器部件的誤差主要考慮徑向誤差和偏心誤差，包括隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動與不隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動兩部分誤差。由文獻(xiàn)[19]可知，波發(fā)生器部件誤差中還包括由磨損和變形動態(tài)因素引起的傳動誤差，這兩種因素所產(chǎn)生的傳動誤差對整個諧波齒輪的傳動精度也有很大影響。

在傳動過程中，柔輪內(nèi)壁與柔性軸承外壁間存在摩擦磨損。根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知，柔輪與柔性軸承間的動態(tài)磨損量可等效為柔性軸承徑向游隙與配合間隙的增加量，則波發(fā)生器徑向動態(tài)誤差Δxra可表示為動態(tài)磨損量所造成的誤差與不隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的誤差之和，即

(5)

式中：ΔxWG1為不隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的偏心運(yùn)動誤差；eV(T,v,t)為動態(tài)磨損量造成的誤差，T為輸出端負(fù)載，v為輸入端轉(zhuǎn)速，t為齒輪工作時間；eWG1為不隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的配合間隙和跳動誤差，包括柔性軸承徑向間隙誤差eWG11和柔性軸承徑向跳動誤差eWG12；φWG1為偏心向量的初始相位角；V(T,v,t)為動態(tài)磨損量。

波發(fā)生器的橢圓凸輪在諧波齒輪工作時進(jìn)行轉(zhuǎn)動，柔輪受橢圓凸輪長軸擠壓產(chǎn)生徑向變形，該變形量會對齒輪的傳動精度產(chǎn)生影響[19]。因此，柔輪變形是波發(fā)生器轉(zhuǎn)動中必須考慮的因素。波發(fā)生器動態(tài)偏心誤差Δxec可表示為隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的偏心誤差與柔輪變形造成的誤差之和，即

(6)

式中：ΔxWG2為隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的偏心運(yùn)動誤差；eB(T,v)為柔輪變形徑向位移造成的誤差；eWG2為隨波發(fā)生器轉(zhuǎn)動的配合間隙誤差，包括凸輪與柔性軸承的配合間隙誤差eWG21和柔性軸承與柔輪的配合間隙誤差eWG22；φWG2為偏心誤差向量與初始設(shè)定軸的夾角；B(T,v)為柔輪變形的最大徑向位移量。

由文獻(xiàn)[11]可知，諧波齒輪傳動誤差的統(tǒng)計計算式為

(7)

式中ej為各項(xiàng)跳動和配合間隙。

將諧波齒輪傳動誤差Δxm轉(zhuǎn)化為傳動誤差角Δθout[21]，

(8)

式中：kb為相關(guān)系數(shù)；N為同時嚙合的輪齒對數(shù)；d1為從動齒輪節(jié)圓直徑(單位：mm)。

通過綜合分析諧波齒輪傳動誤差，結(jié)合式(5)～式(7)，得到考慮磨損與變形的諧波齒輪傳動精度模型

(9)

式中ei為除波發(fā)生器徑向動態(tài)誤差和動態(tài)偏心誤差以外的其他各項(xiàng)配合間隙和徑向跳動誤差。

2 磨損與變形模型的建立

在實(shí)際傳動過程中，諧波齒輪受摩擦磨損和結(jié)構(gòu)柔性變形影響，第1章建立了考慮磨損與變形的諧波齒輪傳動精度模型，本節(jié)針對這兩個影響因素展開研究。

2.1 柔輪磨損模型

磨損是影響傳動精度最典型的因素之一，其隨齒輪工作時間的增加而呈非線性變化。在諧波齒輪傳動過程中，最主要的磨損位于柔輪內(nèi)壁與柔性軸承外圈處[3]，因此本文主要分析柔輪與柔性軸承之間的摩擦磨損。由于諧波齒輪柔性軸承外圈材料GCr15的硬度高于柔輪材料40Cr的硬度，該處的摩擦磨損主要發(fā)生在柔輪內(nèi)壁處，如圖3所示。

2.1.1 柔輪動態(tài)磨損分析

諧波齒輪柔性軸承與柔輪之間采用脂潤滑方式，其表現(xiàn)形式為混合潤滑，主要失效形式為黏著與磨粒磨損。由文獻(xiàn)[10，22]可知，諧波齒輪內(nèi)壁在混合狀態(tài)下的黏著磨損模型表示為

(10)

該磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ臀纯紤]諧波齒輪傳動過程中的沖擊影響及柔輪的柔性變形，與實(shí)際的諧波齒輪傳動磨損情況有一定偏差。為使模型更準(zhǔn)確地表征齒輪實(shí)際工作中的磨損情況，本文采用貝葉斯模型修正方法[23]對原磨損模型進(jìn)行修正。根據(jù)文獻(xiàn)[23]可知，貝葉斯修正方法的表達(dá)式為

rre(s)=r(s)+Δδ(s)+ε。

(11)

式中：s為模型輸入變量；rre(s)為修正后的模型；r(s)為原模型；Δδ(s)為誤差項(xiàng)；ε為誤差隨機(jī)變量，ε～N(μ，σ2)。

在諧波齒輪傳動過程中，柔輪內(nèi)壁處的磨損量是一個與負(fù)載、轉(zhuǎn)速、時間因素有關(guān)的時變動態(tài)磨損累積過程，本文將磨損量表示為V(T,v,t)，則貝葉斯修正方法中的輸入變量為s=(T,v,t)，修正后柔輪內(nèi)壁處的磨損模型表示為

Vre(T,v,t)=V(T,v,t)+ΔV(T,v,t)+ε。

(12)

2.1.2 柔輪磨損試驗(yàn)

為研究諧波齒輪柔輪在實(shí)際傳動過程中的磨損情況，與國內(nèi)某諧波減速機(jī)制造企業(yè)合作研究，根據(jù)諧波齒輪實(shí)際工況下的輸出端負(fù)載和輸入端轉(zhuǎn)速，對該企業(yè)某型號諧波齒輪進(jìn)行柔輪磨損試驗(yàn)。圖4所示為不同工況下的柔輪內(nèi)壁磨損圖，圖中可以明顯看出不同工況下的柔輪磨損。

如圖5與圖6所示，為了準(zhǔn)確測量柔輪內(nèi)壁處的磨損量，采用線切割的方法從柔輪中切得磨損樣品，再采用基恩士超景深顯微鏡測量樣品的磨損量，本文取未磨損表面到磨損最深處的最大磨損量。諧波齒輪柔輪內(nèi)壁磨損試驗(yàn)的各種工況參數(shù)如表1所示。

為研究磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c實(shí)際傳動磨損的偏差，對表1中不同工況的各諧波齒輪，采用磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎阆鄳?yīng)的磨損值，將其與實(shí)際磨損值相減的絕對值作為磨損偏差值。圖7所示為各編號諧波齒輪柔輪的磨損偏差量，可見磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪p計算值與柔輪試驗(yàn)?zāi)p值存在較大偏差。

表1 不同工況下的諧波齒輪柔輪磨損量

2.1.3 修正后的柔輪磨損模型

磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c實(shí)際柔輪磨損的偏差值隨負(fù)載、轉(zhuǎn)速和時間的變化是一個非線性隨機(jī)過程，難以用公式表征。高斯過程回歸是一種基于貝葉斯理論與統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論發(fā)展而來的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，對處理小樣本、非線性問題具有很好適應(yīng)性[24]，因此本文用該模型對柔輪磨損偏差量ΔV進(jìn)行表征。對于噪聲α～N(0，σ2)的GP模型可表示為

f(x)～GP(m(x),k(x,x′)+σ2E)。

(13)

式中：m(x)為均值函數(shù)；k(x,x′)為協(xié)方差函數(shù)；x和x′分別為訓(xùn)練樣本和預(yù)測樣本的輸入值；E為b維單位矩陣，b表示樣本數(shù)量。

通過貝葉斯估計得到訓(xùn)練樣本輸入值x和預(yù)測樣本輸入值x′的聯(lián)合高斯分布

(14)

式中：y為訓(xùn)練樣本輸出值；y′為預(yù)測樣本輸出值；k(x,x)為訓(xùn)練樣本的方差；k(x,x′)為訓(xùn)練樣本與預(yù)測樣本的協(xié)方差矩陣；k(x′,x)為預(yù)測樣本與訓(xùn)練樣本的協(xié)方差矩陣；k(x′,x′)為預(yù)測樣本的方差。

在諧波齒輪工作過程中，工況參數(shù)為負(fù)載T、輸入端轉(zhuǎn)速v和工作時間t，將工況參數(shù)和對應(yīng)的磨損偏差量ΔV作為訓(xùn)練樣本，則諧波齒輪磨損偏差項(xiàng)預(yù)測模型可表示為

(15)

為驗(yàn)證采用GP建立的磨損偏差項(xiàng)預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，在工況參數(shù)(負(fù)載T=17.5 N·m，輸入端轉(zhuǎn)速v=100 r / min)下對預(yù)測模型進(jìn)行驗(yàn)證，表2所示為該工況下不同時間的諧波齒輪柔輪內(nèi)壁磨損量。

表2 某工況下的柔輪內(nèi)壁磨損量

為了保證模型驗(yàn)證的準(zhǔn)確性，本文設(shè)定95%置信區(qū)間來檢驗(yàn)預(yù)測值和實(shí)測值的偏差度[25]。由圖8可知，實(shí)測磨損偏差值均位于磨損偏差預(yù)測均值的95%置信區(qū)間內(nèi)，該模型可用于預(yù)測諧波齒輪的磨損偏差項(xiàng)。

對于得到的磨損偏差項(xiàng)預(yù)測模型，將其與磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗉拥玫街C波齒輪修正后的磨損模型

Vre(T′,v′,t′)=Vor(T′,v′,t′)+ΔV*(T′,v′,t′)

(16)

式中：Vor(T′,v′,t′)為磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停沪臯為誤差隨機(jī)變量，εV～N(0.09，0.032)。

對于上述工況參數(shù)，根據(jù)式(10)和式(16)得到柔輪內(nèi)壁隨工作時間變化的磨損曲線，如圖9所示。圖中虛線為磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎阒?，?shí)線為修正后的磨損模型計算值。

2.2 柔輪變形模型

柔輪在傳動過程中發(fā)生著柔性變形，由文獻(xiàn)[12]可知，諧波齒輪傳動誤差由純分量和扭轉(zhuǎn)柔性分量兩部分組成，而且柔性分量是傳動誤差高頻分量的主要來源。結(jié)構(gòu)柔性是影響傳動精度的重要原因之一，而柔輪變形是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)柔性變形的主要原因[14]。

2.2.1 柔輪變形傳動試驗(yàn)

在諧波齒輪傳動中，柔輪變形是一個多因素耦合影響的動態(tài)過程，目前還沒有準(zhǔn)確表達(dá)柔輪變形的公式。本文通過搭建諧波齒輪傳動試驗(yàn)平臺(如圖10)，開展諧波齒輪傳動試驗(yàn)來研究柔輪變形的規(guī)律，采用柔輪杯口處的最大徑向位移量B(單位：mm)表征柔輪變形程度，最大徑向位移量指柔輪在傳動過程中的最大變形量減去柔輪與波發(fā)生器裝配后的最大圓半徑。柔輪變形試驗(yàn)中，采用基恩士型號IL-S065激光位移傳感器對諧波齒輪柔輪杯口處的徑向位移進(jìn)行測量[26]，如圖11所示。

結(jié)合諧波齒輪減速器實(shí)際傳動的工況參數(shù)，采用均勻設(shè)計方法對柔輪變形試驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計，將額定轉(zhuǎn)速(單位：r/min)劃分為25，50，75，100，125，150，175，200，225，250，額定負(fù)載(單位：N·m)劃分為5，10，15，20，25，30，并對每組方案進(jìn)行3次重復(fù)試驗(yàn)。

根據(jù)設(shè)計試驗(yàn)方案改變工況參數(shù)負(fù)載T和輸入端轉(zhuǎn)速v，得到諧波齒輪柔輪的最大徑向位移量B，如圖12所示，可見諧波齒輪柔輪杯口處的最大徑向位移會受工況參數(shù)影響。

2.2.2 柔輪變形預(yù)測模型

由于諧波齒輪傳動試驗(yàn)成本高，不能全面獲取柔輪變形數(shù)據(jù)。再次采用GP回歸模型預(yù)測柔輪杯口處的最大徑向位移量，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)的負(fù)載T和輸入端轉(zhuǎn)速v作為輸入量I=(T,v)，柔輪杯口處的最大徑向位移量B作為輸出量構(gòu)建訓(xùn)練樣本，得到訓(xùn)練樣本輸入值I和預(yù)測樣本輸入值I′=(T′,v′)的聯(lián)合高斯分布

(17)

式中：B為訓(xùn)練樣本輸出值；B′為預(yù)測樣本輸出值；kB(I,I)為訓(xùn)練樣本的方差；kB(I,I′)為訓(xùn)練樣本與預(yù)測樣本的協(xié)方差矩陣；kB(I′,I)為預(yù)測樣本與訓(xùn)練樣本的協(xié)方差矩陣；kB(I′,I′)為預(yù)測樣本的方差。

同理得到柔輪動態(tài)變形預(yù)測模型

(18)

為驗(yàn)證所建立的柔輪動態(tài)變形預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，在諧波齒輪輸出負(fù)載T=17.5 N·m時，對比最大徑向位移量B的預(yù)測均值和實(shí)測值，如圖13所示。圖中，黑色線為最大徑向位移量預(yù)測均值，陰影區(qū)域?yàn)?5%置信區(qū)間， 3組點(diǎn)為相同工況下最大徑向位移量的實(shí)測值，實(shí)測值均位于95%置信區(qū)間內(nèi)，因此可以采用該模型預(yù)測柔輪變形的最大徑向位移量。

3 傳動精度可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計

3.1 傳動精度可靠性分析

根據(jù)綜合建立的柔輪磨損模型、柔輪變形模型和傳動誤差模型，本節(jié)將對諧波齒輪傳動精度進(jìn)行可靠性分析。根據(jù)式(9)，建立考慮磨損與變形的諧波齒輪傳動精度可靠性的功能函數(shù)

(19)

當(dāng)Δθout-θal>0時，諧波齒輪傳動處于失效狀態(tài)，其傳動精度可靠性表示為

P=1-Pf=1-P(g(a,θal)>0)。

(20)

式中Pf為齒輪傳動的失效概率。

各誤差項(xiàng)、磨損因素和變形因素均為服從正態(tài)分布的不確定性隨機(jī)變量[3，25]，其中磨損因素和變形因素通過模型可由參數(shù)a=(T,v,t)表征。結(jié)合式(9)，諧波齒輪傳動誤差的數(shù)據(jù)樣本可表示為K(a,Δθ)，其中a為樣本輸入量，Δθ為樣本輸出量。本文采用LHS試驗(yàn)設(shè)計方法[27-28]選擇訓(xùn)練樣本，將樣本中的設(shè)計變量t分為j個區(qū)間量，并將每個時間量中的工況參數(shù)劃分為i個小區(qū)間，數(shù)據(jù)樣本表示為

(21)

數(shù)據(jù)樣本的每個量中有b個子樣本。抽樣過程簡化為在每個小區(qū)間內(nèi)的b個樣本點(diǎn)中隨機(jī)等概率抽取一個樣本點(diǎn)，并對i個隨機(jī)得到的樣本再次進(jìn)行隨機(jī)排列，形成一個j×i的樣本矩陣，根據(jù)樣本量從中隨機(jī)選取樣本作為訓(xùn)練樣本，記為K′(a,Δθ)。

Kriging模型為一種半?yún)?shù)化插值模型，其通過對目標(biāo)點(diǎn)周圍信息加權(quán)來預(yù)測該點(diǎn)的響應(yīng)[29]，本文采用Kriging模型對諧波齒輪傳動精度進(jìn)行可靠性分析。采用訓(xùn)練樣本對Kriging模型[30]進(jìn)行訓(xùn)練，模型輸出量

J(w)=Kriging(w,K′(a,Δθ))。

(22)

式中w=(Tx,vx,tx)為輸入量。

針對每一時間點(diǎn)的諧波齒輪工作情況，采用蒙特卡洛法[31]對輸入變量進(jìn)行N次抽樣，將抽樣所得的樣本代入模型輸出結(jié)果，傳動精度可靠度可表示為

(23)

式中：N為抽樣樣本量；n為樣本中的失效次數(shù)。

以第2章的某型號諧波齒輪為例，其誤差項(xiàng)及相關(guān)公差取值如表3所示，采用上述可靠性計算方法求解某工況下諧波齒輪減速器的可靠度。

設(shè)定工況參數(shù)(負(fù)載T=17.5 N·m，輸入端轉(zhuǎn)速v=100 r/min)，根據(jù)本節(jié)的可靠性計算方法計算得到諧波齒輪傳動精度可靠度曲線，如圖14所示。在諧波齒輪工作時間t=3 000 h時，傳動精度可靠度下降到91.17%。

3.2 傳動精度可靠性優(yōu)化設(shè)計

針對3.1節(jié)中諧波齒輪傳動精度可靠性偏低的問題，需要對其進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計，以提高傳動精度可靠度。在齒輪加工過程中，誤差公差值的大小與加工成本相關(guān)，不同公差值對應(yīng)不同的加工精度等級，誤差參數(shù)公差值縮小表示齒輪加工成本增加。本文對各項(xiàng)誤差參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，選取合適的誤差參數(shù)作為設(shè)計變量，以總加工成本最低為目標(biāo)函數(shù)，將傳動精度可靠性、磨損量作為約束條件進(jìn)行諧波齒輪傳動精度可靠性優(yōu)化設(shè)計，通過合理分配各項(xiàng)誤差參數(shù)的公差值，在滿足可靠性要求的同時，使加工成本降到最低。

表3 誤差項(xiàng)及其公差取值 μm

3.2.1 影響因素靈敏度分析

第1章綜合分析了影響諧波齒輪傳動精度的因素，各項(xiàng)誤差參數(shù)如表3所示?？紤]到誤差參數(shù)的數(shù)量較多，為減少優(yōu)化設(shè)計變量數(shù)，提升優(yōu)化設(shè)計效率，需要對各誤差參數(shù)進(jìn)行傳動精度靈敏度分析，選取合適的誤差參數(shù)作為設(shè)計變量，影響諧波齒輪傳動精度的各誤差項(xiàng)表示為

Δe=(Δff1,Δff2,ΔFp1,ΔFp2,eCS11,
eCS12,eFS11,eFS12,eWG11,eWG12,eWG21,eWG22)。

(24)

對影響傳動精度的各誤差項(xiàng)進(jìn)行靈敏度分析，并做如下歸一化處理：

(25)

(26)

圖15所示為諧波齒輪各項(xiàng)誤差參數(shù)在傳動精度的相對靈敏度分析結(jié)果。圖中，ΔFp1，ΔFp2，eCS12對諧波齒輪的傳動精度影響顯著，Δff1,Δff2,eCS11,eFS12,eWG21對諧波齒輪的傳動精度影響較小。

3.2.2 傳動精度可靠性優(yōu)化設(shè)計模型

(1)確定設(shè)計變量

通過分析影響諧波齒輪傳動精度各誤差項(xiàng)的靈敏度，得到3個靈敏度較大和5個靈敏度較小的影響因素，將影響因素ΔFp1,ΔFp2,eCS12,Δff1,Δff2,eCS11,eFS12,eWG21作為設(shè)計變量。

(2) 建立目標(biāo)函數(shù)

在諧波齒輪的制造過程中，不同制造加工精度會產(chǎn)生不同的加工成本，本文將諧波齒輪中8個誤差項(xiàng)的總加工成本C(Δe′)作為目標(biāo)函數(shù)，

(27)

式中：j表示不同的成本函數(shù)；e′i表示某個優(yōu)化設(shè)計變量。

尺寸公差成本函數(shù)C1、位置度公差成本函數(shù)C2和跳動公差成本函數(shù)C3[32]分別表示如下：

(28)

式中：Ze′i為某個優(yōu)化設(shè)計變量的公差值；ae′i,be′i,ce′i,de′i,ee′i為對應(yīng)函數(shù)的相對成本系數(shù)，ae′i=16.140,be′i=0.324,ce′i=0.217,de′i=0.013,ee′i=2.845。

(29)

式中:fe′i,ge′i,he′i,le′i為對應(yīng)函數(shù)的相對成本系數(shù)，fe′i=4.862,ge′i=0.483,he′i=0.877,le′i=1.020。

C3(Δe′i)=me′ie-se′iZe′i。

(30)

式中:me′i,se′i為對應(yīng)函數(shù)的相對成本系數(shù)，me′i=23.729,se′i=0.682。

(3) 建立約束條件

將諧波齒輪的傳動精度可靠度作為約束條件，在齒輪工作到預(yù)期工作時間時可靠度仍符合規(guī)定，即

P=P(Δe′)(T, v, t)=
[1-P(g(K′(T,v,t))>0)]≥Pre。

(31)

式中：P(Δe′)(T,v,t)為對設(shè)計變量進(jìn)行優(yōu)化得到的對應(yīng)的可靠度，Δe′為優(yōu)化設(shè)計變量，(T,v,t)為工況參數(shù)；Pre為規(guī)定的最小傳動精度可靠度。

將柔輪和柔性軸承的磨損量作為約束條件，即

V(Δe′,(T,v,t))=Vac-Vpre≤0。

(32)

式中：Vac為實(shí)際磨損量；Vpre為規(guī)定的最大磨損量。

綜合目標(biāo)函數(shù)和約束條件，得到諧波齒輪傳動精度可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型：

s.t.

(33)

式中:δmax，δmin為優(yōu)化參數(shù)的最大值和最小值。

3.2.3 優(yōu)化設(shè)計算例

以第2章的諧波齒輪減速器作為對象，采用序列二次規(guī)劃法[33]求解3.2.2節(jié)得到的優(yōu)化設(shè)計模型。設(shè)計變量誤差項(xiàng)的公差取值范圍如表4所示，取相同的工況參數(shù)，通過優(yōu)化設(shè)計方法得到最終的設(shè)計變量，表5所示為優(yōu)化前后的設(shè)計變量公差值。

表4 設(shè)計變量誤差項(xiàng)的公差取值范圍 μm

表5 設(shè)計變量公差優(yōu)化前后的值 μm

諧波齒輪優(yōu)化后，其加工成本從319.221 8元上升至324.654 7元，相對增加了1.70%。根據(jù)優(yōu)化后的結(jié)果，獲得諧波齒輪的傳動精度可靠度，如圖16所示?？梢?，優(yōu)化后的諧波齒輪傳動精度可靠性有顯著提升，在工作時間t=3 000 h時傳動精度可靠度達(dá)到99.02%，比優(yōu)化前提升7.85%。經(jīng)可靠性優(yōu)化設(shè)計后，在加工成本小幅度增加的前提下，諧波齒輪的傳動精度可靠性出現(xiàn)大幅提升，滿足傳動精度可靠性的要求，實(shí)現(xiàn)了可靠性優(yōu)化設(shè)計。

4 結(jié)束語

本文針對諧波齒輪傳動誤差模型難以準(zhǔn)確反映諧波齒輪實(shí)際工作情況的問題，分析了諧波齒輪存在的加工裝配誤差，并考慮柔輪磨損和變形帶來的誤差，建立了考慮磨損與變形的諧波齒輪傳動誤差模型。

通過對磨損和變形因素展開研究，在柔輪內(nèi)壁和柔性軸承摩擦磨損方面，應(yīng)用貝葉斯修正方法修正磨損經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停剐拚蟮哪Ｐ透臃蠈?shí)際磨損情況。針對柔輪變形因素，考慮柔輪變形隨工況參數(shù)變化的情況，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)和高斯過程回歸建立高精度的柔輪變形模型。

綜合獲得的諧波齒輪傳動誤差模型、磨損模型和變形模型構(gòu)建精度可靠性模型，采用基于LHS方法的Kriging模型建立了可靠性分析代理模型，同時采用蒙特卡洛法求解諧波齒輪某工況下的傳動精度可靠度。結(jié)果顯示，齒輪傳動精度可靠度前期下降平緩，當(dāng)工作到一定時間時，可靠度下降明顯，直到無法滿足傳動精度要求。

將誤差項(xiàng)參數(shù)作為設(shè)計變量，建立了以加工成本最低為目標(biāo)函數(shù)、傳動精度可靠性和磨損量為約束條件的優(yōu)化設(shè)計模型，并采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化。算例表明，優(yōu)化后的諧波齒輪在加工成本小幅度增加1.70%的前提下，其傳動精度可靠性大幅度提升，在工作時間為3 000 h時，可靠度相比優(yōu)化前提升7.85%，達(dá)到99.02%。