聯(lián)合極限狀態(tài)下基于最大熵可靠度的易損性分析

何 鄉(xiāng)， 吳子燕， 賈大衛(wèi)

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129)

1 引 言

地震易損性定義為在不同強(qiáng)度地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)超過給定性能極限狀態(tài)的概率。地震激勵(lì)具有很強(qiáng)的不確定性，因此在傳統(tǒng)的理論地震易損性研究中，基于概率理論的隨機(jī)模型得到了廣泛應(yīng)用[1，2]。如Wang等[1]將橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)參數(shù)視為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過極大似然估計(jì)法得到對數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，建立了在不同強(qiáng)度地震下結(jié)構(gòu)的概率地震需求模型，通過蒙特卡洛模擬(MC)法計(jì)算結(jié)構(gòu)的破壞概率。Mosallam等[2]基于概率易損性理論，建立了鋼框架結(jié)構(gòu)的易損性函數(shù)。在傳統(tǒng)地震易損性研究中，首先需要假定地震響應(yīng)參數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布。但文獻(xiàn)[3]表明，這種假設(shè)只是一種近似假設(shè)，部分參數(shù)并不符合這一假定，因此該方法具有一定局限性。

為克服傳統(tǒng)計(jì)算方法的不足，學(xué)者們提出了多種不同的易損性分析模型。如樊劍等[4]提出了一種概率-凸集混合模型用于地震易損性研究；董俊等[5]在不對EDP分布進(jìn)行人為假定的前提下，通過核密度估計(jì)法建立EDP概率密度函數(shù)，從而進(jìn)行橋梁易損性分析。上述文獻(xiàn)僅考慮了橋梁構(gòu)件的易損性，并未涉及多構(gòu)件聯(lián)合作用下的易損性分析。Zhang等[6]利用四階矩可靠性法對橋墩柱在非平穩(wěn)地震激勵(lì)下的可靠度進(jìn)行了研究，但同樣沒有涉及橋梁的聯(lián)合極限狀態(tài)。賈大衛(wèi)等[7]提出了一種凸集模型用于地震易損性計(jì)算，但該方法需要對凸集變量的每個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行MC模擬求解失效概率，其本質(zhì)為兩階段MC法。MC法通常需要進(jìn)行數(shù)萬次數(shù)值模擬，計(jì)算成本較大，不利于實(shí)際應(yīng)用。

本文基于結(jié)構(gòu)的聯(lián)合極限狀態(tài)，提出一種最大熵可靠度法用于易損性分析。該方法通過統(tǒng)計(jì)分析確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)參數(shù)的高次階矩，不需要人為假定其分布類型，也不需要通過MC法進(jìn)行數(shù)值模擬求解失效概率，具有較強(qiáng)的通用性。

2 基于最大熵原理的可靠度計(jì)算

2.1最大熵原理

假設(shè)某隨機(jī)事件服從離散分布，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)量為n，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為pi(i=1,2,…,n)，將事件的不確定程度表示為

(1)

式中c為大于0的常數(shù)，H稱為Shannon熵。若pi=1，代表該事件僅有一種結(jié)果，不具有不確定性，H=0；若pi=1/n，則認(rèn)為所有可能結(jié)果出現(xiàn)的概率相同，表明該事件的不確定性最大，H取最大值clnn。

若隨機(jī)事件服從概率密度函數(shù)為fX(x)的連續(xù)分布，Shannon熵表示為

(2)

Shannon熵在事件發(fā)生前是對其不確定性的一種度量指標(biāo)，事件發(fā)生后是從該事件所得到的信息的度量。最大熵原理的含義是，在給定的約束條件下使熵達(dá)到最大值，得到偏差最小的概率分布。由此可得一種構(gòu)造最佳概率分布的途徑。

將最大熵理論引入可靠度計(jì)算后，對基本隨機(jī)變量的分布不進(jìn)行任何人為假定，而是從統(tǒng)計(jì)資料得到隨機(jī)變量的各階矩，利用最大熵原理，得到極限狀態(tài)方程的概率密度函數(shù)，計(jì)算失效概率。將隨機(jī)變量的前m階原點(diǎn)矩作為約束條件，在式(3)條件下使式(2)取最大值，

(3)

式中vX i為第i階原點(diǎn)矩(i=0,1,…，m)。式(3)等價(jià)于給定隨機(jī)變量的中心矩,

(4)

式中μX為隨機(jī)變量的均值。利用Lagrange乘子法，聯(lián)立式(2,3)，引進(jìn)修正函數(shù),

(5)

式中λ0,λ1,…,λm為待定系數(shù)。在穩(wěn)定點(diǎn)處有?L/?fX(x)=0，即

(6)

取ai=-λi/c(i=0,1,…，m)，可得最大熵概率密度函數(shù)為

(7)

2.2 基于高階中心矩的可靠度計(jì)算

由2.1節(jié)可知，在基于最大熵原理的可靠性計(jì)算中，需要獲得基本隨機(jī)變量X的高階中心矩建立最大熵概率密度函數(shù)。實(shí)際工程中通?？赏ㄟ^統(tǒng)計(jì)分析得到X的前四階矩統(tǒng)計(jì)參數(shù)，即

(8)

(9)

參數(shù)c0，c1，c2和d可用X的前四階中心矩表示，

(10)

文獻(xiàn)[8]表明，各階中心矩存在如下遞推關(guān)系,

(11)

隨機(jī)變量的各階矩?cái)?shù)值差異可能會(huì)很大，因此將X轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Y，Y的前四階矩可以表示為

(12)

在標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi)，式(10)可寫為

(13)

擬定極限狀態(tài)方程為Z=gX(X)，當(dāng)基本隨機(jī)變量的前四階矩已知時(shí)，將極限狀態(tài)方程在設(shè)計(jì)點(diǎn)x*處泰勒展開至二次項(xiàng)，估算極限狀態(tài)方程前四階中心矩，可表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

將極限狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)化為Y=(Z-μZ)/σZ，在標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi)，將式(7,12)代入式(3)，得到積分方程組,

(18)

從中可以求出系數(shù)a0,a1,…，am，則失效概率可以表示為[8]

(19)

由式(14～19)可知，最大熵法采用了極限狀態(tài)方程的前四階中心矩作為約束條件，建立最大熵概率密度函數(shù)求解失效概率，因此該方法可簡稱為最大熵二次四階矩法。

3 基于聯(lián)合極限狀態(tài)的易損性分析

在易損性研究中，聯(lián)合極限狀態(tài)又稱為結(jié)構(gòu)整體性能水準(zhǔn)，指將結(jié)構(gòu)構(gòu)件的性能極限狀態(tài)與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的性能極限狀態(tài)相結(jié)合得到的極限狀態(tài)[9],可用多維性能極限狀態(tài)方程表示,

(20)

式中Ri為工程需求參數(shù)(EDP)，ri lim為閾值，Ni為相互作用因子。當(dāng)L(R1,…,Rn)>0時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。僅考慮兩種EDP時(shí)，可將一個(gè)EDP對應(yīng)的N取1，式(20)可簡化為

L(R1,R2)=(R1/r1 lim)+(R2/r2 lim)N-1

(21)

文獻(xiàn)[10]表明，聯(lián)合極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)易損性可表示為式(22)所示的積分,

F=?L > 0f(R1,R2|IM)dR1dR2

(22)

式中IM為給定的地震強(qiáng)度，可采用地面峰值加速度(PGA)表示。f(·)為隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，式(22)寫為

F=?L > 0f(R1|IM)f(R2|IM)dR1dR2

(23)

4 基于最大熵可靠度的易損性分析

由式(23)可知，聯(lián)合極限狀態(tài)下地震易損性分析的本質(zhì)，是在給定地震強(qiáng)度下計(jì)算極限狀態(tài)方程大于0的概率。式(23)所示的積分通常難以計(jì)算，Wang等[1]采用蒙特卡洛(MC)模擬法進(jìn)行求解，劉曉曉等[10]利用數(shù)值積分法求解，而這兩種方法所需計(jì)算成本都很高，不利于實(shí)際應(yīng)用。本文考慮EDP的前四階矩，提出基于最大熵理論的易損性分析方法，具體步驟如下。

(1) 選擇合適的EDP，建立聯(lián)合性能極限狀態(tài)方程。

(2) 選擇多條地震波，以PGA衡量地震強(qiáng)度，將每條地震波的PGA分別調(diào)幅至0.05 g～0.8 g，間隔取0.05 g進(jìn)行非線性時(shí)程分析，獲得每條地震波加載下兩種EDP的值。

(3) 利用式(8～13)分別在不同PGA下計(jì)算EDP的前四階統(tǒng)計(jì)矩和中心矩，然后利用式(14～17)計(jì)算極限狀態(tài)方程的前四階中心矩，最后利用式(18，19)求解失效概率，得到易損性曲線。

由上述步驟可知，本文所提基于最大熵二次四階矩的易損性分析法優(yōu)勢在于：

(1) 考慮地震激勵(lì)的不確定性，從分析結(jié)果中獲得了EDP的前四階統(tǒng)計(jì)矩，而不需要對EDP的分布類型進(jìn)行人為假定，使計(jì)算結(jié)果更具一般性。

(2) 利用最大熵概率密度函數(shù)進(jìn)行失效概率計(jì)算，將二重積分簡化為一維積分，同時(shí)避免了MC模擬，提高了計(jì)算效率。

5 算例分析

5.1 結(jié)構(gòu)模型

本文基于SAP2000建立8層RC框架-剪力墻結(jié)構(gòu)模型。每層高均3 m，跨長6 m，X向?yàn)?跨，Y向?yàn)?跨。各構(gòu)件采用的混凝土強(qiáng)度等級均為C30，縱向受力鋼筋采用HRB335級，箍筋采用HPB300?？蚣苤孛娉叽鐬?.6 m×0.6 m，梁截面尺寸為0.25 m×0.5 m。樓板厚度為0.1 m，剪力墻的厚度均為0.2 m，配筋均為雙排鋼筋，采用HRB335級鋼筋。結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)模型

混凝土樓板采用SAP2000的膜(Membrane)單元模擬，梁和柱均采用框架單元(Frame)模擬。結(jié)構(gòu)的非線性行為主要體現(xiàn)在梁、柱和剪力墻上。在梁兩端設(shè)置彎矩鉸(M3)，柱兩端設(shè)置軸力-彎矩鉸(P-M2-M3)來模擬非線性行為[11]，剪力墻采用分層殼單元。此外，結(jié)構(gòu)模型考慮了P-Δ效應(yīng)。本文采用的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系如圖2所示。

圖2 材料本構(gòu)關(guān)系

本文將框剪結(jié)構(gòu)的聯(lián)合性能極限狀態(tài)分為正常使用(NO)、可以使用(IO)、生命安全(LF)和防止倒塌(CP)四級，選擇使用最廣泛的最大層間位移角(MIDR)作為衡量結(jié)構(gòu)構(gòu)件性能的EDP。鄭山鎖等[12]指出，結(jié)構(gòu)整體性能水平達(dá)到IO時(shí)構(gòu)件處于開裂狀態(tài)，MIDR的閾值大致取LF的50%；LF的閾值大致取到規(guī)范彈性限值和彈塑性限值的平均值； CP大致取到規(guī)范的彈塑性變形限值的90%。基于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011-2010)[13]對框架-剪力墻類結(jié)構(gòu)閾值的規(guī)定，本文采用的MIDR閾值列入表1。

表1 性能極限狀態(tài)閾值

韓建平等[14]指出，在考慮非結(jié)構(gòu)構(gòu)件性能時(shí)，主要考慮對加速度敏感的構(gòu)件，如機(jī)械設(shè)備和內(nèi)部管道等，因而本文選擇最大層加速度(PFA)作為衡量非結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷大小的EDP。取文獻(xiàn)[14]建議的PFA閾值，列入表1。表中g(shù)=9.8 m/s2。

5.2 地震波選擇

擬定該框架所處的場地土類別為II，設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度為0.2g，阻尼比取0.05，特征周期為0.35 s，震中距取20 km，利用條件均值反應(yīng)譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜[15]，從Pacific Earthquake Enginee -ring Research Center數(shù)據(jù)庫中篩選了60條真實(shí)地震波衡量地震激勵(lì)的不確定性。加速度反應(yīng)譜如圖3所示。

圖3 地震波反應(yīng)譜

5.3易損性分析

本文選擇兩種EDP衡量聯(lián)合性能極限狀態(tài)，基于式(21)建立極限狀態(tài)方程，可表示為

L=(MIDR/midrlim)+(PFA/pfalim)N-1

(24)

式中midrlim，pfalim分別為MIDR和PFA的閾值。將表1的數(shù)值代入式(24)即可得到四種性能極限狀態(tài)下的極限狀態(tài)方程。本文首先取未知參數(shù)N=2進(jìn)行易損性計(jì)算，后文將通過靈敏度分析探究N對失效概率的影響。暫不考慮兩種EDP的相關(guān)系數(shù)，分別在不同PGA下獲得兩種EDP的前四階矩，利用最大熵可靠度理論計(jì)算失效概率。表2 給出了部分PGA下NO極限狀態(tài)方程的前四階中心矩。為驗(yàn)證本文所提方法的計(jì)算結(jié)果，同樣假定兩種EDP均服從對數(shù)正態(tài)分布，采用MC法計(jì)算失效概率，通過累計(jì)對數(shù)正態(tài)分布擬合得到易損性曲線。文獻(xiàn)[1]對基于對數(shù)正態(tài)分布假定的易損性分析進(jìn)行了詳細(xì)的研究，本文不再做詳細(xì)描述，易損性曲線如圖4所示。

圖4 易損性曲線

可以看出，在四種性能極限狀態(tài)下，本文方法所得易損性曲線與基于對數(shù)正態(tài)分布假定的易損性曲線差異很小，曲線基本重疊，在不同PGA下，失效概率最大差值僅為0.04，在易損性分析中這個(gè)差異可忽略不計(jì)，因此本文所提方法可以得到精度較高的易損性曲線。 還可以看出，對于RC框架類結(jié)構(gòu)，基于對數(shù)正態(tài)分布假定和高次階矩的易損性曲線差異很小，PGA變化并不會(huì)導(dǎo)致兩種分析方法得到的失效概率產(chǎn)生顯著差異，因此本文所提方法同樣驗(yàn)證了對數(shù)正態(tài)分布假定在RC框架易損性分析中的適用性。

5.4 靈敏度分析

上節(jié)的易損性分析中，取相互作用因子N=2，論述了本文所提方法的計(jì)算過程和精度。孫鴻賓等[9]指出，N反應(yīng)了不同EDP性能極限狀態(tài)之間的相關(guān)性，N越大，相關(guān)性越弱，失效域面積越大。因此本節(jié)通過靈敏度分析討論N的值對易損性曲線的影響。分別再取經(jīng)驗(yàn)值N=1,5,10，其余參數(shù)不變，最大熵二次四階矩法和MC法所得易損性曲線如圖5所示。

可以看出，在四種性能極限狀態(tài)下，隨著N增大，易損性曲線逐漸下移，說明破壞概率越小。因此若不考慮性能極限狀態(tài)之間的相關(guān)性，會(huì)明顯高估結(jié)構(gòu)的抗震能力。在不同N下，基于最大熵二次四階矩法所得易損性曲線與MC法都基本重合，再一次印證了本文所提方法的計(jì)算精度。

6 總 結(jié)

本文考慮了結(jié)構(gòu)的聯(lián)合極限狀態(tài)，建立了基于最大熵二次四階矩可靠度理論的易損性分析法，得到了易損性曲線，并與傳統(tǒng)基于對數(shù)正態(tài)分布假定的易損性曲線進(jìn)行對比，結(jié)論如下。

(1) 考慮地震激勵(lì)的不確定性，不對EDP的分布進(jìn)行人為假定，通過統(tǒng)計(jì)分析獲得EDP的前四階矩，并計(jì)算極限狀態(tài)方程的前四階中心矩，所得易損性曲線與傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布假定的易損性曲線基本重合，說明本文所提方法具有很高的精度，同時(shí)也驗(yàn)證了對數(shù)正態(tài)分布的假定在RC框剪結(jié)構(gòu)易損性研究中的正確性。

(2) 基于聯(lián)合極限狀態(tài)的易損性研究，利用隨機(jī)變量的前四階矩作為約束條件，建立最大熵概率密度函數(shù)，將二重積分簡化為一維積分，同時(shí)避免了MC法大量的數(shù)值模擬計(jì)算，計(jì)算效率很高。

(3) 在聯(lián)合性能極限狀態(tài)方程中，相互作用因子N的取值會(huì)對失效概率產(chǎn)生很大影響。N越大，說明不同EDP性能極限狀態(tài)的相關(guān)性越弱，忽略EDP的相關(guān)性將不利于工程安全。