離散動力系統(tǒng)1∶2共振情形下的余維二分岔反控制*

楊宇嬌， 徐慧東， 張建文

（1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.太原理工大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，太原 030024）

引 言

分岔是由非線性動力系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化所引起的，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化的一種非線性現(xiàn)象.相較于連續(xù)系統(tǒng)中較為完備的分岔理論，離散系統(tǒng)(映射)中也蘊含著豐富的動力學(xué).許多學(xué)者研究了離散動力系統(tǒng)下復(fù)雜的分岔行為，并且取得了不少有價值的研究成果[1-8].Pecora[6]基于一個二維離散時間壟斷模型定性分析了在1∶4 共振點附近出現(xiàn)的分岔序列，發(fā)現(xiàn)了許多復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象.Ren 等[7]基于一個離散時間信息擴散模型，討論了由Neimark-Sacker 分岔退化引起的1∶2 共振、1∶3 共振和1∶4 共振.Li 等[8]基于一個離散Hindmarsh-Rose 模型，用內(nèi)積法和規(guī)范形理論分析了flip 分岔、Neimark-Sacker 分岔以及1∶2 共振分岔，并給出了1∶2共振發(fā)生的條件.

分岔控制指的是通過控制改變原非線性系統(tǒng)的特性進而來獲得所需要的動力學(xué)行為.早期分岔控制的研究包括延遲固有分岔的發(fā)生以及穩(wěn)定現(xiàn)有的分岔，但隨著對分岔機理的深入研究和非線性控制理論的發(fā)展，Chen 等[9]開創(chuàng)性地研究了washout-filter 反饋控制器下連續(xù)系統(tǒng)Hopf 分岔反控制問題.自此，有不少學(xué)者開始對分岔反控制問題進行研究[10-16].需要強調(diào)的是，分岔反控制是傳統(tǒng)分岔控制的逆問題，其任務(wù)就是通過控制在系統(tǒng)預(yù)先指定的系統(tǒng)參數(shù)點設(shè)計出具有所期望特性的分岔.Wen 等[14]提出了一種新的反饋控制方法，并基于此方法實現(xiàn)了共振情況下的Hopf 分岔.伍新等[15]使用線性反饋控制方法研究了一類含間隙的三自由度高維碰撞振動系統(tǒng)的Neimark-Sacker 分岔反控制問題.徐慧東等[16]對一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf 交互分岔進行了反控制研究.

值得注意的是，在實施分岔的反控制時，需要按分岔的臨界準(zhǔn)則反求出控制增益參數(shù)，進而通過調(diào)控增益參數(shù)來生成所期望的分岔解.而傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則是用特征值的特性來描述的，對于低維系統(tǒng)，由于其線性化矩陣的特征值具有解析的表達(dá)式，所以基于傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則來確定分岔存在是有效的.但對于高維系統(tǒng)，由于其線性化矩陣的特征值一般無法解析表示，這樣基于傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則來研究分岔的存在性，通常需要逐點取值去檢驗在某個參數(shù)點分岔的存在性，具有一定的局限性.針對這個局限性，Wen[17]提出了任意維映射的，不依賴于特征值計算的Hopf 分岔顯式臨界準(zhǔn)則.隨后，有不少研究者對其他分岔的顯示準(zhǔn)則問題進行了研究.Xu 等[18]提出了一種新的準(zhǔn)則來研究繼電器反饋系統(tǒng)極限環(huán)的叉式分岔問題，并利用數(shù)值模擬驗證了新準(zhǔn)則的準(zhǔn)確性.Yao[19]針對一般意義下的離散系統(tǒng)的余維二分岔，提出了一種新的flip-Neimark-Sacker 分岔臨界判據(jù).據(jù)筆者所知，目前有關(guān)高維映射的1∶2 共振情形下的余維二分岔反控制的問題，尚未有報道.

本文發(fā)展了一種控制方法，基于該方法對三維映射的1∶2 共振分岔進行了反控制研究.針對傳統(tǒng)的映射1∶2 共振分岔準(zhǔn)則在確定分岔點存在的局限性，建立了不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準(zhǔn)則，并基于顯式準(zhǔn)則，通過設(shè)計線性控制增益來確保系統(tǒng)會發(fā)生1∶2 共振分岔.然后，應(yīng)用中心流形-范式方法進一步通過確定非線性控制增益分析了1∶2 共振分岔解及其穩(wěn)定性.最后，針對一個三維的Arneodo-Coullet-Tresser 映射，通過設(shè)計線性和非線性控制增益在指定的參數(shù)點處實現(xiàn)了1∶2 共振分岔的各種分岔解.

1 控制系統(tǒng)

考慮一個一般的三維離散動力系統(tǒng)：

其中μ ∈R2是 分岔參數(shù)，函數(shù)f1，f2，f3關(guān) 于x,y,z和μ 是充分光滑的.

本文的目的是通過設(shè)計一個適當(dāng)?shù)目刂破?，在預(yù)先指定的位置μ =μ0處，使系統(tǒng)(1)產(chǎn)生1∶2 共振情形下的余維二分岔.設(shè)計一個離散時間的濾波反饋控制器并施加到原系統(tǒng)(1)，可得如下的控制系統(tǒng)：

其中X=(x,y,z,w)T， μ ∈R2，w為濾波器狀態(tài)變量，為濾波器輸出函數(shù).當(dāng)=0時 ，u(s)=0,v(s)=0，這樣濾波器在控制過程中會保持原系統(tǒng)(1) 的不動點.對于一個穩(wěn)定的濾波器，r在 ( 0,2)范 圍內(nèi)變化，并且r的選取會影響控制的收斂速度.控制增益矩陣K由控制器的系數(shù)kij(i=1,2,3，j=1,2 ) 構(gòu)成，其中的線性控制增益k11，k12被用于控制1∶2 共振情形下的余維二分岔的發(fā)生，非線性控制增益k21，k31，k22，k32能夠靈活地操縱所發(fā)生的1∶2 共振分岔，確定該分岔所產(chǎn)生的分岔解的類型和穩(wěn)定性，從而實現(xiàn)一些理想的動力學(xué)行為.在下一節(jié)中，我們將發(fā)展一些適當(dāng)?shù)墓絹泶_定這些增益.

2 線性控制增益的設(shè)計

控制系統(tǒng)(2)～(4)在不動點x?(x0,y0,z0,w0)處的Jacobi 矩陣為

傳統(tǒng)的映射1∶2 共振的臨界分岔條件表述如下.

命題1[20]當(dāng)控制系統(tǒng)(2)～(4)滿足如下的條件(C1)和(C2)：

(C1) 特征值分布條件 在 μ =μ0處，Jacobi 矩陣(5)有兩個實特征值λ1(μ0,KL)=λ2(μ0,KL)=?1，其余特征值λi(μ,KL),i=3,4 在單位圓內(nèi)，即| λi(μ0,KL)|<1；

系統(tǒng)將在μ =μ0處發(fā)生1∶2 共振分岔.

命題1 中條件(C1)和(C2)是1∶2 共振情形下的余維二分岔的重要臨界條件，決定了映射中是否存在該分岔.顯然，該命題是用特征值的性質(zhì)表示的，也就是說分析分岔的存在與否，需要借助特征值的解析表達(dá)式或在參數(shù)空間中通過數(shù)值搜索方法尋找分岔點.由于Jacobi 矩陣(5)是一個高階矩陣，且包含了一些需要被確定的控制參數(shù)k11和k12，所以通過求解特征值的解析表達(dá)式來確定這些控制參數(shù)是很困難的.為了更方便、有效地根據(jù)臨界分岔條件得到線性增益KL，進而分析1∶2 共振情形下的余維二分岔的存在性，下文將給出四維離散動力系統(tǒng)1∶2 共振情形下的余維二分岔的顯式判據(jù).該判據(jù)是由特征多項式方程的系數(shù)所組成的一組等式或不等式構(gòu)成的，與特征值的計算無關(guān).

在建立新的顯式臨界判據(jù)之前，先給出映射(2)的Jacobi 矩陣(5)在不動點x?處的特征多項式為

其中a0=1， 并且aj=aj(μ,KL),j=1,2,3,4.再定義如下行列式序列：

通過使用多項式(6)與行列式(7), 可以得到如下命題.

命題2映射(2)在μ =μ0處發(fā)生1∶2 共振的必要不充分條件為(H1)與(H2)：

(H1) 特征值分布條件

(H2) 橫截條件

其中表示ai(μ,KL)關(guān) 于μ 在 μ =μ0處 的導(dǎo)數(shù)，i=1,2,3,4.

為了證明所提出的顯式臨界準(zhǔn)則的必要性，需要先引入下述引理.

引理1[21]針對三次多項式方程0 有一個實特征根?1，其余的所有特征根都在單位圓內(nèi)的充分必要條件由下述條件(M1) 與(M2)給出：

(M1) 特征值分布條件

(M2) 橫截條件

證明如果條件(C1)與(C2)可以推得條件(H1) 與(H2), 那么命題2 就構(gòu)成了映射發(fā)生1∶2 共振的一個必要條件.

首先證明條件(H1)的必要性，假設(shè)條件(C1)成立，根據(jù)λ1(μ0,KL)=?1， 必有條件(H1)中Pμ0,KL(?1)=0成立.在確保有特征值?1 的情況下，在μ =μ0處特征多項式(6)可寫為如下形式：

其中

根據(jù)命題1 和引理1, 條件(C1)中的 λ2(μ0,KL)=?1， |λi(μ,KL)|<1，i=3,4表明條件(M1) 成立.展開等式(10)的右側(cè)，并同等式(6)的系數(shù)作比較可得

根據(jù)如下公式[22]：

以及式(10)、(13)、條件(M1)，很容易證明條件(H1)中

成立.故條件(H1)的必要性得證.

接下來說明條件(H1)的不充分性，假設(shè)條件(H1)成立，則必然成立，已知[23]

也必然成立，命題2 得證.

在本節(jié)中，利用命題2 通過調(diào)節(jié)線性控制增益k11和k12，可以保證系統(tǒng)(2)～(4)產(chǎn)生1∶2 共振分岔.從命題2 的條件(H1)和(H2)可以看出，這些不等式可以快速排除一些參數(shù)區(qū)域并直接確定臨界分岔的控制參數(shù)區(qū)域，從而避免了對關(guān)鍵參數(shù)點費力的數(shù)值搜索，簡化了繁重的計算.與傳統(tǒng)臨界判據(jù)相比，本文提出的臨界判據(jù)更適合高維控制系統(tǒng)，可以更方便、有效地實現(xiàn)分岔點的確定.

3 非線性控制增益的設(shè)計

本節(jié)將基于中心流形-范式方法和1∶2 共振分岔理論，通過設(shè)計四個非線性控制增益k21，k31，k22，k32來分析1∶2 共振情形下的余維二分岔所產(chǎn)生的分岔解的穩(wěn)定性和類型，實現(xiàn)一些理想的動力學(xué)行為.

命題3對于四維映射(2), 若其線性化矩陣(5)有兩個特征值?1，其余都在單位圓內(nèi)，則存在一個中心流形，可以將原映射降階成與其局部動力學(xué)行為等價的二維映射.

證明做如下坐標(biāo)變換，將不動點x?和分岔點移至坐標(biāo)原點處：

對于映射(16), 存在一個二維的中心流形如下：

該中心流形取決于參數(shù) β=(β1,β2)，其中

展開H有

以往對高維映射分岔的研究是通過中心流形將高維映射降階成相應(yīng)分岔的低維映射，然后再基于降階后的映射導(dǎo)出范式.這里依據(jù)文獻[24]的方法，直接通過推導(dǎo)中心流形將原映射降階為1∶2 共振的范式映射.利用中心流形(17)可將式(16)降階為如下的二維映射：

命題3 得證.

綜上所述，映射(16)可以降階為規(guī)范形(19), 且規(guī)范形系數(shù)可由式(22)、(23)求得，將規(guī)范形映射(19) 記為ωΓβ(ω).接下來，為了通過控制設(shè)計范式映射(19)的1∶2 共振的相應(yīng)分岔解，需要用光滑流形近似這個映射.但由于映射(19) 的線性部分有負(fù)特征值，所以選擇該映射的二次迭代來近似.

F(1)={(β1,β2):β1+O(‖β‖2)=0};

1) 仍存在pitchfork 分岔曲線

2) 存在非退化的Hopf 分岔曲線

H(1)={(β1,β2):β2+β1+O(‖β‖2)=0,β1<0},

H(2)={(β1,β2):C1(0,KNL)β2+C1(0,KNL)β1+2D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0};

3) 存在同宿分支曲線

P={(β1,β2):5C1(0,KNL)β2+5C1(0,KNL)β1+8D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0};

4) 存在環(huán)的折分支曲線

K={(β1,β2):C1(0,KNL)β2+C1(0,KNL)β1+2k0D1(0,KNL)β1+O(‖β‖2)=0,β1>0},

k0=0．752···.

基于系統(tǒng)(25)的流的兩種分岔情形給出如下命題.

命題4[20]通過設(shè)計非線性控制增益，可以實現(xiàn)原映射(16)的1∶2 共振點附近的兩種分岔情形如下.

情形3若則

1) 存在類似于pitchfork 分岔曲線F(1)的flip 分岔曲線，穿過這條曲線，映射(16) 發(fā)生倍化分岔，從平凡不動點產(chǎn)生周期2 不動點；

2) 存在類似于非退化Hopf 分岔曲線H(1)的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線，穿過這條曲線，映射(16)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，從平凡不動點產(chǎn)生一個穩(wěn)定的不變?nèi)Γ?/p>

3) 在異宿分支曲線G附 近的指數(shù)狹窄參數(shù)區(qū)域中存在一個異宿結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)導(dǎo)致不變?nèi)ο?

情形4若則

1) 仍存在類似于pitchfork 分岔曲線F(1)的flip 分岔曲線，穿過這條曲線，映射(16) 從平凡不動點產(chǎn)生周期2 不動點；

2) 除了存在對應(yīng)情形3 中H(1)分岔曲線的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線外，還存在類似于非退化Hopf 分岔曲線H(2)的非退化Neimark-Sacker 分岔曲線，穿過H(2)這條曲線，映射(16)發(fā)生Neimark-Sacker分岔，從兩個非平凡不動點產(chǎn)生兩個不穩(wěn)定的不變?nèi)Γ?/p>

3) 在同宿分岔曲線P附近的指數(shù)狹窄參數(shù)區(qū)域中存在一個同宿結(jié)構(gòu)；

4) 存在對應(yīng)環(huán)的折分支曲線K的分岔曲線，穿過這條曲線，映射(16)沒有不變?nèi)?

4 數(shù)值例子

本節(jié)將通過一個實例說明上述理論的可行性.將一個控制器施加到三維的二次Arneodo-Coullet-Tresser映射(簡稱ACT 映射)[25], 得到一個如下的四維控制系統(tǒng)：

圖1 控制參數(shù)分岔圖Fig.1 The control parameter bifurcation diagram

綜上所述，命題2 中的不等式不僅可以排除參數(shù)平面上的一些不重要的參數(shù)區(qū)域，從中選出可行的參數(shù)域，還可以在不需要計算特征值模的導(dǎo)數(shù)的情況下，對橫截條件的計算進行簡化.

接著基于中心流形-范式方法來分析分岔解的類型和穩(wěn)定性，通過設(shè)計非線性控制增益來實現(xiàn)具有期望特性的分岔解.本文將根據(jù)的符號分情況討論1∶2 共振分岔點Q1附近局部的動力學(xué)行為.首先，基于第3 節(jié)的內(nèi)容，通過計算給出確定分岔曲線的一些主要的表達(dá)式：

在k11=1．810 488 256 235 632和k12=?2．504 770 370 376 880處 ，固定非線性控制增益k22=1．6 和k31=1．4，以k21和k32為可調(diào)節(jié)的控制增益，通過計算得到如下的表達(dá)式：

情形5依據(jù)圖2, 取k21=1和k32=18 ， 可知,KNL)>0.利用表達(dá)式(33)～(42)得到對應(yīng)情形1 的分岔曲線如下：

圖2 0,KNL)的曲線圖Fig.2 The graph of ,KNL)

pitchfork 分岔曲線F(1)=55．518 022 97+44．129 26k11+54．062 25k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(1)=108．704 079 7+84．066 000 70k11+104．163 072 8k12;

異宿分支曲線G=8．192 489 252+6．470 410 056k11+7．947 670 516k12.

在1．810 44

圖3 控制系統(tǒng)(29)對應(yīng)情形5 形如式(20)的范式映射的分岔圖：(a) 時，系統(tǒng)(29)對應(yīng)的分支圖；(b) 對應(yīng)于圖3(a)分岔點上半部分的局部放大圖；(c) 對應(yīng)于圖3(a)分岔點下半部分的局部放大圖Fig.3 Bifurcation diagrams of the normal form mapping like eq.(20) of control system (29) corresponding to case 5: (a) the bifurcation diagram for system(29), (b) the local enlargement of the upper half of the bifurcation points in fig.3(a); (c) the local enlargement of the lower half of the bifurcation points in fig.3(a)

在分岔參數(shù)點Q1的 小鄰域內(nèi)取控制參數(shù) (k11,k12)=Q1+(?0．08,0．15)，通過控制獲得了一個唯一的穩(wěn)定不動點，其相圖如圖4(a)所示；當(dāng)穿過分岔曲線F(1)，從該不動點處會產(chǎn)生兩個不穩(wěn)定的不動點；當(dāng)穿過非退化的Hopf 分岔曲線H(1)時，在 (k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．01) 處映射(29)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生一個如圖4(b) 中所示的穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過異宿分支曲線G時(見圖4(c)) ，不變?nèi)ο?

圖4 對應(yīng)于圖3 所示分岔圖的相圖：(a) 在( k11,k12)=Q1+(?0．08,0．15) 處的穩(wěn)定點；(b) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．01)處的不變?nèi)Γ?c) 異宿分支曲線G 上的異宿軌道Fig.4 Phase diagrams corresponding to the bifurcation diagrams shown in fig.3: (a) the fixed point at (k 11,k12)=Q1+(?0．08,0．15); (b) the invariable circle at ( k ,k )=Q+(?0．1,?0．01); (c) the heterotropic orbit on heterotropic curve G

情形6依據(jù)圖2, 取k21=1．3和k32=1．8， 可知<0.利用表達(dá)式(33)～(42)得到對應(yīng)情形2 的分岔曲線如下.

Pitchfork 分岔曲線F(1)=55．518 022 97+44．129 26k11+54．062 25k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(1)=108．704 079 7+84．066 000 70k11+104．163 072 8k12;

非退化的Hopf 分岔曲線H(2)=9．869 602 502+7．865 381 192k11+9．625 545 552k12;

同宿分支曲線P=38．530 639 71+30．728 569 23k11+37．594 004 08k12;

環(huán)的折分支曲線K=7．186 894 048+5．732 993 682k11+7．013 182 081k12.

在1．810 486

圖5 控制系統(tǒng)(29)對應(yīng)情形6 形如式(20)的范式映射的分岔圖：(a) <0 時，系統(tǒng)(29)對應(yīng)的分支圖；(b) 對應(yīng)于圖5(a)分岔點上半部分的局部放大圖；(c) 對應(yīng)于圖5(a)分岔點下半部分的局部放大圖Fig.5 Bifurcation diagrams of the normal form mapping like eq.(20) of control system (29) corresponding to case 6: (a) the bifurcation diagram of system(29), 0; (b) the local enlargement of the upper half of the bifurcation points in fig.5(a); (c) the local enlargement of the lower half of the bifurcation points in fig.5(a)

在分岔參數(shù)點Q1的 小鄰域內(nèi)取控制參數(shù)(k11,k12)=Q1+(?0．11,0．12)，存在一個唯一的不動點，其相圖如圖6(a)所示；當(dāng)穿過非退化的Hopf 分岔曲線H(1)時 ，在 (k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05) 處映射(29)發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生一個如圖6(b)中所示的穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過非退化的Hopf 分岔曲線H(2)時，映射(29) 發(fā)生Neimark-Sacker 分岔，產(chǎn)生兩個不穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過同宿分支曲線P時(見圖6(c))，上述的其中一個不穩(wěn)定的不變?nèi)ο?，并且額外出現(xiàn)一個穩(wěn)定的不變?nèi)?；?dāng)穿過環(huán)的折分支曲線K時(見圖6(d))，所有不變?nèi)ο?

圖6 對應(yīng)于圖5 所示分岔圖的相圖：(a) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．11,0．12) 處的穩(wěn)定點；(b) 在 ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05) 處的不變?nèi)Γ?c) 同宿分支曲線P 上的同宿軌道；(d) 環(huán)的折分支曲線K 上的軌道Fig.6 Phase diagrams corresponding to the bifurcation diagrams shown in fig.5: (a) the fixed point at (k 11,k12)=Q1+(?0．11,0．12); (b) the invariable circle at ( k11,k12)=Q1+(?0．1,?0．05); (c) the homoclinic orbit on homoclinic curve P; (d) the orbit on the folded branch curve of ring K

5 結(jié) 論

本文提出一套完整的非線性控制策略，研究了離散動力系統(tǒng)1∶2 共振情形下的余維二分岔的反控制問題.針對四維離散控制系統(tǒng)(或映射), 建立了1∶2 共振分岔的顯式準(zhǔn)則，克服了傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則在反控制過程中需要依賴直接計算特征值帶來的困難，這將更適合含有多個控制增益的離散動力系統(tǒng)此類余維二分岔控制的設(shè)計.本文隨后推導(dǎo)獲得了1∶2 共振的中心流形，將含參數(shù)的四維映射簡化為二維的范式映射，得到了控制分岔解類型和穩(wěn)定性關(guān)鍵指標(biāo)的解析表達(dá)式.基于理論分析，本文針對一個ACT 映射通過該控制策略在指定的參數(shù)位置處成功實現(xiàn)了1∶2 共振情形下的Neimark-Sacker 分岔以及更加復(fù)雜的同異宿分岔.