談?wù)劚容^函數(shù)式大小的技巧

李新霄

比較函數(shù)式大小問題的難度一般不大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，側(cè)重于考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用.解答此類問題的常用方法有函數(shù)單調(diào)性法、比較法、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)法等.那么如何選用合適的方法，才能正確、快速地比較出兩個函數(shù)式的大小呢？下面結(jié)合實例來進行探討.

一、比較同類型函數(shù)式的大小

同類型的函數(shù)式是指要比較的函數(shù)式的類型相同，如同為二次函數(shù)式、同為指數(shù)函數(shù)式.

（一）比較指數(shù)式的大小

對于比較指數(shù)式的大小問題，往往要分以下兩種情況：（1）比較底數(shù)相同的兩個指數(shù)式的大小，可以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較它們的大??；（2）比較底數(shù)不同的兩個指數(shù)函數(shù)式的大小，通常要通過研究指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律，或者將函數(shù)式轉(zhuǎn)化成對數(shù)函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進行比較.若要比較三個底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)式的大小，還需借助中間值.

例1（2022年全國甲卷）已知9m =10， a =10m -11，b =8m -9， 則（? ） .

A. a >0> b????????? B. a > b >0

C. b > a >0?????????? D. b >0> a

a 、b 均為指數(shù)函數(shù)式，且其底數(shù)均不相同，但其指數(shù)相同，需先利用換底公式和基本不等式，求得關(guān)于 m 的范圍；然后通過指對數(shù)互化，將三個函數(shù)式變形為同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)式；再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.

（二）比較對數(shù)式的大小

比較對數(shù)式的大小，要分為三種情況：（1）比較兩個底數(shù)相同的對數(shù)式的大小，可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)?shù)讛?shù) a >1時，對數(shù)函數(shù) y = loga x 為增函數(shù)；當(dāng)?shù)讛?shù)0< a <1時，對數(shù)函數(shù) y = loga x 為減函數(shù)來進行比較；（2）比較兩個底數(shù)不同、真數(shù)相同的對數(shù)式的大小，可根據(jù)兩個對數(shù)函數(shù)的圖象進行比較，也可先利用換底公式將兩個對數(shù)式變形，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進行比較；（3）若兩個對數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常要引入中間變量來進行比較.

例2.已知55<84 ， 134<85 ，設(shè) a = log53， b = log85，c = log138， 則（? ） .

a 、b 、c 均為對數(shù)式，其底數(shù)、真數(shù)均不相同，可先利用作商法，根據(jù)換底公式以及基本不等式來比較 a 、b 的大小.對于 b 、c ，則可通過指對數(shù)互化，將其化為指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來進行比較.

二、比較不同類型函數(shù)式的大小

若要比較的函數(shù)式為不同類型的函數(shù)式，往往可以通過適當(dāng)?shù)淖冃巍⒒?，先初步確定其大致的取值范圍；然后利用作差（商）法、函數(shù)單調(diào)性法、中間值法、構(gòu)造法等來比較兩函數(shù)式的大小.此類題目較為復(fù)雜，需根據(jù)函數(shù)式的特點來選擇合適的方法.其中較為常用的是中間值法、構(gòu)造法.

例3.（2022年新高考Ⅰ卷）設(shè) a =0.1e0.1，b = ，c =-ln 0.9，則（? ） .

我們先將 a、b 相除，然后構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，利用作商法和導(dǎo)數(shù)法比較出 a、b、c 的大小.在構(gòu)造函數(shù)時，可先將兩式變形，如作差、作商，也可構(gòu)造兩式的同構(gòu)式，這樣便可利用函數(shù)的單調(diào)性快速比較出函數(shù)式的大小.

三、比較抽象函數(shù)式的大小

由于抽象函數(shù)沒有具體的函數(shù)解析式，所以比較抽象函數(shù)式的大小問題的難度通常較大.在比較函數(shù)式的大小時，往往要充分利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等，以將各個函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，這樣便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號“ f”，將問題轉(zhuǎn)化為比較常規(guī)函數(shù)式的大小問題.

例4.設(shè) f（x）是定義域為 R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則（? ） .

仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)要比較的函數(shù)式為f（2-3）、f（2-2）、 f（log3），需先根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，將三個函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到（0，+∞）內(nèi)，然后根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)比較它們的大小.抽象函數(shù)問題看似很復(fù)雜，其實只要把握函數(shù)的性質(zhì)，問題就變得容易得多.

一般地，若要比較三個不同類型函數(shù)式的大小，往往要先比較其中兩式的大小，再根據(jù)不等式的傳遞性比較出三式的大小.從上述分析中可以發(fā)現(xiàn)，有時比較函數(shù)式的大小，要同時用到兩種或者兩種以上的方法，才能順利解題.這就要求同學(xué)們在解題時，要做到靈活變通.

（作者單位：江蘇省揚州市江都區(qū)丁溝中學(xué)）