基于隨機(jī)差分進(jìn)化算法的最優(yōu)PID參數(shù)整定方法

楊茂華，譚 飛,2，尹宋麟

（1.四川輕化工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，四川 宜賓 644000;2.人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 宜賓 644000）

引 言

PID 控制由于其控制適應(yīng)性能好，有較強(qiáng)的魯棒性，算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成為工業(yè)中最常見的一種控制技術(shù)，廣泛用于各大控制行業(yè)中[1]。同時(shí)根據(jù)不同工況的要求，也對(duì)PID 進(jìn)行了一系列改進(jìn)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在PID 控制參數(shù)整定方面進(jìn)行了深入研究，目前已有很多種PID參數(shù)整定方法。文獻(xiàn)[2]采用了模糊控制的方式對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行整定，用超前控制與迭代PID 型學(xué)習(xí)律相結(jié)合的方法有效地提高了控制的精準(zhǔn)度，改善了控制的效果。文獻(xiàn)[3]選取一階時(shí)延系統(tǒng)進(jìn)行研究，總共引用了6 種PID 整定技術(shù)并分析了它們的性能。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種遞階預(yù)測(cè)控制優(yōu)化算法，基于時(shí)間分解，將優(yōu)化時(shí)域長(zhǎng)度增加所引起的大規(guī)模參數(shù)優(yōu)化問題分解成獨(dú)立的小規(guī)模參數(shù)優(yōu)化問題，得出顯式優(yōu)化解，并通過Matlab 仿真驗(yàn)證，取得了較優(yōu)的控制效果。文獻(xiàn)[5]將改進(jìn)動(dòng)態(tài)變異差分進(jìn)化（DMDE）算法用于最優(yōu)PID 控制中，通過靈敏度分析，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性，縮短了響應(yīng)時(shí)間。文獻(xiàn)[6]介紹了一種基于PID的最優(yōu)控制策略，采用改進(jìn)版的爬山算法和Firefly算法，在性能和魯棒性方面進(jìn)行了4種控制器之間的比較分析，并通過仿真證明了即使存在干擾的情況下，仍能保持良好性能。文獻(xiàn)[7]將一種預(yù)測(cè)自動(dòng)耦合PID（PAC-PID）控制算法應(yīng)用于設(shè)計(jì)煙草溫度和水分含量的控制，并通過仿真結(jié)果表明，該方法能夠平滑、快速、高精度地跟蹤目標(biāo)信號(hào)。文獻(xiàn)[8]提出了一種離散時(shí)間的分?jǐn)?shù)階PID 控制，通過在真實(shí)的三階單輸入單輸出系統(tǒng)上進(jìn)行評(píng)估，將分?jǐn)?shù)階PID與經(jīng)典整數(shù)階PID 進(jìn)行比較，得到了更好的最終響應(yīng)。模糊控制及神經(jīng)元控制近些年發(fā)展成果不斷。引入模糊和神經(jīng)元這兩種模塊對(duì)控制器進(jìn)行改進(jìn)，使控制系統(tǒng)具備學(xué)習(xí)功能，此類控制器不依賴于具體的模型因而魯棒性很強(qiáng)[9]。邢鵬飛[10]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與繼電振蕩法相結(jié)合，研制出了一種新型的PID 調(diào)節(jié)器。湯趙建等[11]將內(nèi)模PID 控制應(yīng)用到多變量時(shí)滯系統(tǒng)并取得了良好的性能。李瑤瑤[12]將模糊控制與內(nèi)模控制相結(jié)合開展研究，并將研究結(jié)果用到高壓共軌柴油機(jī)進(jìn)行仿真，最終取得了較好的成果。

本文針對(duì)一階時(shí)滯系統(tǒng)和三階系統(tǒng)，提出了一種基于隨機(jī)差分進(jìn)化算法（SDE）的PID 參數(shù)整定方法，通過大量數(shù)據(jù)的擬合計(jì)算，最終得出一個(gè)PID 參數(shù)整定公式，該公式能夠大大提高參數(shù)整定效率，并且整定效果良好。其中的隨機(jī)差分進(jìn)化算法（SDE），將原有差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，不僅保證了差分算法種群多樣性，還能確保收斂速度快。

1 PID參數(shù)整定

1.1 PID參數(shù)整定方法

PID 控制器作為一種線性控制器，將給定值與實(shí)際值的差構(gòu)成偏差，再將偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）通過線性組合構(gòu)成控制量來對(duì)受控對(duì)象進(jìn)行控制，最終轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)Kp、Ki、Kd3 個(gè)參數(shù)的調(diào)節(jié)。其中：Kp為比例系數(shù)；Ki=Kp/Ti，為積分系數(shù)；Kd=Kp×Td，為微分系數(shù)。而Ti為積分時(shí)間常數(shù)，Td為微分時(shí)間常數(shù)。

目前主流的PID 參數(shù)整定方法有5 種：第一種是經(jīng)驗(yàn)法，這種方法需要工程技術(shù)人員了解控制對(duì)象和控制系統(tǒng)的工作機(jī)理和工作情況，該方法較粗糙，具有隨機(jī)性；第二種是等幅振蕩法，通過觀察振幅進(jìn)行調(diào)參，先調(diào)Kp，取較小值，觀察到等幅振蕩后，再根據(jù)周期和控制類型調(diào)節(jié)Ki和Kd；第三種是衰減系數(shù)法，先調(diào)節(jié)積分環(huán)節(jié)，將積分時(shí)間放大，微分環(huán)節(jié)調(diào)為0，調(diào)節(jié)Kp使波動(dòng)情況達(dá)到4∶1 衰減，再根據(jù)控制規(guī)律進(jìn)行調(diào)節(jié)；第四種是響應(yīng)曲線法，也是較普遍的方法，手動(dòng)狀態(tài)下，改變控制器的Kp、Ki、Kd，記錄被控對(duì)象的響應(yīng)曲線，可參考Ziegler-Nichols 參數(shù)整定方法的計(jì)算公式進(jìn)行調(diào)參，最終獲得較好的響應(yīng)曲線，記錄Kp、Ki、Kd；最后一種便是通過智能算法，如遺傳算法[13-14]、差分進(jìn)化算法[15-16]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]等進(jìn)行PID 參數(shù)整定，該方法整定效果最好，具有穩(wěn)定性和快速性，是目前最有效的PID 參數(shù)整定方法。本文采用的PID 參數(shù)整定便是基于隨機(jī)差分進(jìn)化算法（SDE）的PID 參數(shù)整定，通過隨機(jī)產(chǎn)生的Kp、Ki、Kd，將時(shí)間與誤差絕對(duì)值乘積積分（ITAE）性能指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，不斷優(yōu)化迭代進(jìn)化，找到最優(yōu)的控制PID 參數(shù)。其差分進(jìn)化算法進(jìn)行PID參數(shù)整定的流程圖如圖1所示。

圖1 差分算法PID參數(shù)整定流程圖

1.2 隨機(jī)差分進(jìn)化算法

與傳統(tǒng)差分算法不同，隨機(jī)差分算法引入隨機(jī)因子，產(chǎn)生一個(gè)種群維度的0～1 列向量替換縮放因子，使種群多樣性得以提升，避免因種群趨同陷入局部最優(yōu)解的情況，同時(shí)交叉方式選用適應(yīng)度好的精英個(gè)體進(jìn)行交叉，有效地加快了種群的收斂速度。

2 PID參數(shù)整定方法

2.1 內(nèi)?？刂圃?/h3>

若對(duì)系統(tǒng)采用普通閉環(huán)的PID 控制，其PID 控制的系統(tǒng)框圖如圖2 所示。其中，Gc(s)為控制器的傳遞函數(shù)，G(s)為被控對(duì)象，E(s)為偏差，R(s)為輸入，Y(s)為輸出，s為復(fù)頻率。

圖2 普通閉環(huán)控制圖

而內(nèi)?？刂疲↖nternal Model Control，簡(jiǎn)稱IMC）和普通閉環(huán)控制不同，內(nèi)模控制的控制器的輸出不僅輸出到控制對(duì)象，也輸出到模型內(nèi)部，反饋環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的實(shí)際輸出值和內(nèi)部模型的輸出值之差。內(nèi)?？刂频慕Y(jié)構(gòu)如圖3 所示，其主要特點(diǎn)便是具有很高的魯棒性和很強(qiáng)的抗干擾能力。圖3 中，GIMC為內(nèi)模控制器，D(s)為干擾信號(hào)，、?分別為對(duì)應(yīng)的估計(jì)值，C代表控制模塊，U為控制輸入模塊。

圖3 內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)圖

2.2 基于內(nèi)模控制的PID控制器

由于絕大部分的傳遞函數(shù)皆可用一階時(shí)滯模型來代替（對(duì)于高階模型，可通過一階時(shí)滯模型進(jìn)行降階），所以，本文以三階模型為例，將一階時(shí)滯模型進(jìn)行整定方法提取。

當(dāng)過程模型為三階模型，則有：

式中K、A、B、C為三階模型傳統(tǒng)函數(shù)參數(shù)。通過模型轉(zhuǎn)換，可將其近似為一階時(shí)滯模型：

再將純滯后模型通過一階Pade逼近：

式中Km、Tm、τ為一階時(shí)滯模型參數(shù)，則采用一階濾波器得到內(nèi)?？刂破鞯膫鬟f函數(shù)為：

式中λ為時(shí)間常數(shù)。

對(duì)于三階系統(tǒng)來說，基于內(nèi)?？刂破髟硭玫淖顑?yōu)PID參數(shù)整定方法為[18]：

2.3 一階時(shí)滯系統(tǒng)最優(yōu)PID參數(shù)方法

考慮到文獻(xiàn)[18]中的參數(shù)不是最優(yōu)參數(shù)，現(xiàn)將式(5)～(7)進(jìn)行一般化處理，提取出一種新的針對(duì)三階系統(tǒng)的PID 參數(shù)整定公式。通過對(duì)一階時(shí)滯系統(tǒng)的參數(shù)整定規(guī)律可知，一階時(shí)滯系統(tǒng)參數(shù)整定跟τ與Tm的比值，即時(shí)滯大小的參數(shù)[19]有關(guān)，所以對(duì)式(5)～(7)進(jìn)行以下變換。

將式(5)分母提出Km，得式(8)：

將式(8)進(jìn)行一般化處理，引入未知參數(shù)α和β，得式(9)：

將式(6)左右同時(shí)除以τ得式(10)：

將式(10)進(jìn)行一般化處理，得式(11)：

將式(7)化簡(jiǎn)為式(12)：

對(duì)式(12)右邊分子分母同時(shí)除以τ，得式(13)：

將式(13)進(jìn)行一般化處理，引入未知參數(shù)μ,得式(14)：

最終得到PID 參數(shù)整定方法公式為式(9)、(11)、(14)。

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，ITAE指標(biāo)較其他誤差指標(biāo)具有快速、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，所以選用ITAE 指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)整定。經(jīng)過多次高階系統(tǒng)降階為一階時(shí)滯系統(tǒng)的程序運(yùn)行結(jié)果統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)大部分高階系統(tǒng)近似為一階時(shí)滯模型后的參數(shù)中的τ在0.5～1 之間，Tm在1～2之間，故選用表1 中參數(shù)，采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行PID參數(shù)整定。

表1 尋優(yōu)的最優(yōu)PID的各參數(shù)及其評(píng)價(jià)指標(biāo)值列表

通過基于差分優(yōu)化算法及ITAE 最優(yōu)1000 多次的PID 參數(shù)整定，得到大量的數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)用Matlab的Curve Fitting工具箱進(jìn)行函數(shù)擬合，最后得到了一系列未知系數(shù)優(yōu)化值分別為：

通過工具箱擬合的圖像如圖4（已刪掉誤差大的點(diǎn)）所示。

圖4 公式擬合圖

圖4 中，X、Y分別為和，X1、Y1 分別為和，Z為。

從圖4 可以看出采集點(diǎn)和設(shè)定曲線擬合度較高，說明了該公式模型的正確性。將以上參數(shù)代入式(9)、(11)、(14)便可得到針對(duì)一階時(shí)滯系統(tǒng)最優(yōu)的PID參數(shù)方法：

最終便得出以上基于差分進(jìn)化算法對(duì)三階系統(tǒng)和一階時(shí)滯系統(tǒng)最優(yōu)PID參數(shù)方法的研究結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 高階模型降階

取文獻(xiàn)[18]中的三階系統(tǒng)被控對(duì)象：

通過隨機(jī)差分進(jìn)化算法進(jìn)行低階等效，獲得一階時(shí)滯模型：

Matlab 程序運(yùn)行結(jié)果如圖5～7 所示。對(duì)比文獻(xiàn)[18]，可以看出本文的近似模型與實(shí)際模型擬合度更高，偏差和適應(yīng)度更小。

圖5 階躍響應(yīng)偏差圖

圖6 適應(yīng)度變化圖

圖7 辨識(shí)模型輸出與實(shí)際輸出對(duì)比圖

3.2 公式法和差分算法整定對(duì)比

通過PID參數(shù)整定公式方法計(jì)算得：

采用差分算法PID參數(shù)整定的結(jié)果為：

采用文獻(xiàn)[18]內(nèi)模PID參數(shù)整定的結(jié)果為：

階躍響應(yīng)信號(hào)曲線如圖8 所示，從圖中可以看出，前兩種PID 參數(shù)整定結(jié)果存在差異，但整定方法得出的曲線達(dá)到了穩(wěn)定，且控制效果較好，均沒有超調(diào)量，說明了該整定公式的可行性。

圖8 響應(yīng)曲線對(duì)比圖

3.3 PID參數(shù)方法評(píng)估

通過隨機(jī)差分算法進(jìn)行PID 參數(shù)整定，最終得出一個(gè)基于一階時(shí)滯系統(tǒng)的PID 參數(shù)整定公式。該公式能快速計(jì)算出PID 各參數(shù)的值，且不需要手動(dòng)調(diào)整和估計(jì)控制參數(shù)的初始值。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過智能優(yōu)化算法中的差分進(jìn)化算法，首先將高階系統(tǒng)近似為一階時(shí)滯系統(tǒng)，并以ITAE作為評(píng)價(jià)函數(shù)對(duì)一階時(shí)滯進(jìn)行PID 參數(shù)整定，得到最優(yōu)PID參數(shù)；其次將得到的PID 參數(shù)進(jìn)行函數(shù)擬合，得到一個(gè)PID 參數(shù)整定公式；最后將公式得到的PID 參數(shù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過Matlab 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該公式的有效性和可行性。