證明函數(shù)不等式常用的幾種思路

田進(jìn)仁

證明函數(shù)不等式問題具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).證明函數(shù)不等式有多種方法，常見的有導(dǎo)數(shù)法、作差法、作商法、換元法、分離參數(shù)法等.本文主要談一談證明函數(shù)不等式常用的三種思路：作差、換元、分離參數(shù).

一、作差

作差法是比較兩個(gè)數(shù)大小、證明不等式的常用方法.運(yùn)用作差法證明函數(shù)不等式，要先將不等式兩邊的式子作差，然后將差式與0比較，從而證明不等式成立.對(duì)于一些含有多項(xiàng)式的函數(shù)不等式，作差后的式子往往比較復(fù)雜，此時(shí)可利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，或根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得差式的最值，再將其與0進(jìn)行比較即可.

二、換元

有些函數(shù)不等式較為復(fù)雜，其中含有分式、絕對(duì)值、根式、對(duì)數(shù)式、指數(shù)式、高次冪等，此時(shí)我們很難證明不等式成立，需采用換元法，通過尋找問題中潛藏的關(guān)系來進(jìn)行換元，以簡化不等式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而證明不等式成立.在換元時(shí)，可對(duì)不等式進(jìn)行局部換元，也可進(jìn)行整體換元.

三、分離參數(shù)

有些函數(shù)不等式中含有參數(shù)，此時(shí)可采用分離參數(shù)法來證明不等式.首先需將所要求證的不等式進(jìn)行變形，使得參數(shù)與變量分離；再構(gòu)造出關(guān)于變量的函數(shù)，討論其對(duì)應(yīng)的值域，判斷出參數(shù)的取值范圍，從而使問題得解.在構(gòu)造出新函數(shù)后，往往需利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的值域.

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，每一種方法的適應(yīng)情形均不相同，運(yùn)用這三種方法證明不等式的思路也不相同.無論運(yùn)用哪種方法證明函數(shù)不等式，只要遇到含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)不等式，我們都要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法來討論函數(shù)的單調(diào)性和最值.這些常用的證明方法都是我們需學(xué)習(xí)和掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，只有熟練掌握這些解題的方法，才能更快地找到解題的思路，更加高效地解答問題.

（作者單位：寧夏大學(xué)附屬中學(xué)）