如何解答排列組合問題

田勇強(qiáng)

排列組合問題的難度一般不大，但考查的形式較多，因而很多同學(xué)在解題時經(jīng)常出錯，究其原因是沒有找到解題規(guī)律和方法.下面結(jié)合實例，談一談三類排列組合問題的解法，以供大家參考.

一、相同元素分組問題

例1.從8個班級中選出12名學(xué)生參加籃球比賽，要求每班至少有1人參加，則名額的分配方案有____種.

分析：需要分配的12個名額沒有區(qū)分，故將其看做相同的元素，將12個相同元素分成8組，采用隔板法解題.首先12個相同元素之間的11個空隙，把7塊隔板插入11個空隙中，列出相應(yīng)的式子并進(jìn)行運(yùn)算，即可得到名額的分配方案數(shù).

運(yùn)用捆綁法解答不相鄰元素的排列問題，需分兩步進(jìn)行，尤其不要忽略了對捆綁起來的內(nèi)部元素進(jìn)行全排列.

例3.從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有________種.

運(yùn)用捆綁法解題，往往要靈活運(yùn)用分步計數(shù)原理，這是解題的關(guān)鍵.值得注意的是，因為“qu”順序不變，所以在本題中，不需要再對qu的順序進(jìn)行排列.

三、特殊元素排列問題

有關(guān)特殊元素的排列問題比較常見，當(dāng)問題中有特殊要求的元素時，需采用優(yōu)先法解題，即需要優(yōu)先考慮有特殊要求的元素，或排列有特殊要求的元素的位置，再對剩余沒有要求的元素進(jìn)行排列.

例3.某班班會上，要從7名學(xué)生中選出4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，若甲乙同時參加，則他們發(fā)言的順序不能相鄰，那么不同的安排方式為（）種.

A.360B.520C.600D.720

解析：因為甲乙較為特殊，可將其視為特殊元素，采用優(yōu)先法，先考慮甲乙是否被選取的情形，分為“甲乙”同時選中和“甲乙中只有一人選中”兩種情況進(jìn)行討論.

綜上可得，共有120+480=600種安排方式.

總之，解答排列組合問題，要注意兩點(diǎn)：（1）根據(jù)元素的類型和對元素的要求進(jìn)行討論；（2）靈活運(yùn)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理.

（作者單位：甘肅省岷縣第四中學(xué)）