關于一道狄利克雷邊界條件下電勢計算題的思考*

胡夢蓉 勾 翰 鄧永菊

(湖北第二師范學院物理與機電工程學院 湖北 武漢 430205；湖北第二師范學院理論物理研究所 湖北 武漢 430205)

鄭 華

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119)

求解特定邊界條件下的電勢是電動力學學習過程中需要掌握的重難點之一.這一類問題常用的求解方法為格林函數(shù)法,格林函數(shù)法的核心思想是疊加原理[1].在應用格林函數(shù)法之前，必須先得到滿足相應邊界條件的格林函數(shù).

格林函數(shù)是指在某空間區(qū)域V中由處于x′的單位點電荷所激發(fā)的電勢G(x,x′).如果在V的邊界S上有邊值條件G(x,x′)|S=0，那么G(x,x′)稱為第一類邊界問題(也稱狄利克雷問題)的格林函數(shù)[2].當求出給定邊界條件下的格林函數(shù)后，原則上利用格林函數(shù)法可以求出相同幾何邊界條件下任何電荷分布的電勢.因為任何電荷分布都可以看成點電荷的疊加，利用疊加原理就可以由一個點電荷的電勢求出在相同幾何邊界條件下任意電荷分布的電勢.

對于邊界為無窮大平面、邊界電勢由在x=±1和y=±1四個點形成的正方形區(qū)域內為1、其他地方為零的上半空間的電勢，利用上半空間的格林函數(shù)[3]

G(x,x′)=

(1)

和狄利克雷邊界條件下的格林函數(shù)公式，可以得到電勢的表達式為

(2)

對于這一具體問題，本文給出了電勢式(2)的解析解即精確解；分別用電勢的精確解和近似解討論了在z→ 0的邊界電勢，兩者給出了相同的結果.

1 電勢的精確解

求解電勢精確解的過程是將式(2)解析積分的過程.式(2)直接積分困難，不容易求解[4].為將問題簡化，采用變量代換，并把z= 0平面分解成不同的區(qū)域進行分別計算.做變量代換

y-y′=Atanθ

式(2)變?yōu)?/p>

(3)

由于y不是積分變量，再次采用變量代換，取

B=y+1C=y-1

將式(3)簡化為

(4)

觀察可以發(fā)現(xiàn)，式(4)等號右邊的兩項積分形式是完全相同的.因此求解式(2)的問題簡化成了求解積分

(5)

的問題，其中T代表式(4)中的B或C.由于A，B，C3個變量的正負號取決于所考慮的區(qū)域，因此計算式(5)時需要采用分區(qū)域求解.

ΦΤ=

(6)

再次取變量代換

并假設T>0，式(6)變?yōu)?/p>

ΦΤ=

(7)

這樣積分式(5)就變成了常見積分

之和，因此可得

(8)

因為在式(7)的變量代換中假設了T>0，所以可得到式(5)的解析解式(8).在電勢解式(4)中B=y+1和C=y-1，它們的正負性與y所在的區(qū)域有關.為了利用式(8)，需要把y也分成不同的區(qū)域來考慮.取-10且C=y-1<0，因此電勢在區(qū)域[-1

Φ(x,y,z)=ΦΒ+Φ-C

(9)

將式(8)代入式(9)就可得到具體表達式，我們在第二部分中給出.利用相同的變量變換，可以給出電勢在其他區(qū)域 (-∞

(10)

當1

(11)

表1 在不同區(qū)域內電勢的精準解

2 邊界電勢

初始邊界電勢Φ(x,y,z)在由x=±1和y=±1的4個點形成的正方形區(qū)域內為1、其他地方為零.如果簡單從格林函數(shù)法給出的電勢式(2)看，很容易地會誤認為當z→ 0時，Φ(x,y,z)=0，得出格林函數(shù)法不能給出正確邊界電勢的結論.下面將從精確解和近似解兩種結果出發(fā)，證明格林函數(shù)法給出正確的邊界電勢.

以區(qū)域[-1

Φ(x,y,z)=ΦΒ+Φ-C=

(12)

當z→0時

將表1中其他區(qū)域的電勢寫出，然后令z→0，可以得到Φ(x,y,z)=0.可見，格林函數(shù)法給出了正確的初始邊界電勢.

還可用近似的方法分析式(2)能給出正確的邊界電勢.在區(qū)域[-1

圖1 式(2)中被積表達式在x=-0.1,y=-0.8與z=0.005,0.05和0.5的函數(shù)圖像

當z→0時，式(2)中的被積表達式

在x′→x，y′→y和z→0時的值非常大，而其他積分區(qū)域趨于零，積分的主要貢獻來自于點(x,y)附近的區(qū)域.因此我們可以把式(2)中在[-1

(13)

而在[-1

3 總結

本文用格林函數(shù)方法計算了在狄利克雷邊界條件下，邊界為無窮大平面、邊界電勢在由x= ± 1和y=±1的4個點形成的正方形區(qū)域內為1、其他地方為零的上半空間電勢的精確解.用函數(shù)圖像輔助分析，得到了電勢合理的近似解.用計算得到的電勢精確解和近似方法得到的近似解討論了格林函數(shù)法給出的電勢在z→ 0時的邊界電勢，其是滿足初始邊界條件的.在計算過程中所利用的分區(qū)、變量代換及近似思想能有效地將一個復雜問題簡化，有助于問題的解決.本文以一典型狄利克雷邊界條件下電勢的計算為例，為學生闡釋了如何遵循一般邏輯、利用簡單的技巧或近似將復雜的物理問題化繁為簡.這種過程是為學生“授之以漁”，希望能為學生的學習帶來啟發(fā).