在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的探究

程紅霞

（廣東省深圳市寶安區(qū)寶安小學(xué)）

運(yùn)算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出的十大“核心詞”之一。關(guān)于運(yùn)算能力，很多教師對它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位、價(jià)值和實(shí)踐操作等方面都有討論。發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的培養(yǎng)目標(biāo)之一。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，首先要了解其內(nèi)涵，對運(yùn)算能力的培養(yǎng)要求做到心中有數(shù)；其次，要結(jié)合數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際情況，制定具體的培養(yǎng)策略。

一、關(guān)于運(yùn)算能力內(nèi)涵的研究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對運(yùn)算能力的描述是：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。從這段表達(dá)中，我們可以提煉幾個(gè)關(guān)鍵詞：正確運(yùn)算、理解算理、方法合理（運(yùn)算簡潔）。

對于運(yùn)算能力內(nèi)涵的具體解讀，比較有代表性的是上海市特級教師曹培英老師提出的“四面體結(jié)構(gòu)模型”（如圖1）。

圖1 四面體結(jié)構(gòu)模型

該四面體結(jié)構(gòu)模型不僅充分解讀了運(yùn)算能力的內(nèi)涵，還為實(shí)踐提供了指導(dǎo)思想與可操作的方法。

曹老師以四面體模型形象直觀地解讀了運(yùn)算能力的以下四方面內(nèi)涵：

其一，基本口算主要是指20 以內(nèi)的加減與表內(nèi)乘除，基本口算是運(yùn)算能力提升的基礎(chǔ)之一；其二，算法、算理是運(yùn)算能力的“一體兩翼”，兩者相輔相成，不可偏廢；其三，基本口算與算法算理共同構(gòu)成了運(yùn)算能力的底層基礎(chǔ)，運(yùn)算策略的制訂及運(yùn)算能力的進(jìn)一步的提升，都要在這個(gè)基礎(chǔ)之上去進(jìn)行；其四，運(yùn)算策略包括對信息的挖掘、問題的定向與識別、方法的選擇與過程的簡潔、自覺評價(jià)。

除了曹老師這樣比較深度的解讀之外，還有很多學(xué)者對運(yùn)算能力的內(nèi)涵進(jìn)行了研究。其中一種較為合理的觀點(diǎn)是“綜合能力說”，認(rèn)為運(yùn)算能力是一種綜合的能力，是“運(yùn)算技能與邏輯思維能力等的一種獨(dú)特的結(jié)合”“運(yùn)算能力不是簡單的加減乘除的計(jì)算，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力及想象能力等有關(guān)的由低級到高級的綜合能力。”

從以上的內(nèi)涵解讀中，我們可以得到兩點(diǎn)有益的啟示：

一是運(yùn)算能力具有一定的層次性和發(fā)展性。小學(xué)階段的數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的四則運(yùn)算幾乎是同時(shí)發(fā)展的。隨著學(xué)生知識面的拓展，數(shù)的運(yùn)算抽象程度不斷提高，運(yùn)算能力也隨之不斷發(fā)展。教師在教學(xué)中要特別關(guān)注因?qū)W習(xí)內(nèi)容進(jìn)階而引起的對運(yùn)算能力發(fā)展的不同要求，使具體目標(biāo)與教學(xué)策略有助于學(xué)生提升運(yùn)算能力（見圖2）。

圖2 小學(xué)階段“數(shù)的運(yùn)算”的主要內(nèi)容

二是運(yùn)算能力是一種綜合的數(shù)學(xué)能力。這和前文提到的綜合能力是相呼應(yīng)的。運(yùn)算能力絕對不是算得又對又快，而是應(yīng)該包括正確理解數(shù)與基本運(yùn)算概念等相關(guān)知識、辨識理解信息條件、合理選擇運(yùn)算方法與策略、使運(yùn)算過程符合算律、算理，盡可能簡潔地獲得運(yùn)算結(jié)果并判斷運(yùn)算結(jié)果的合理性。因此，每一次的運(yùn)算過程都是諸多從低級到高級思維活動(dòng)綜合應(yīng)用的結(jié)果。

二、運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略

基于對運(yùn)算能力內(nèi)涵的解讀和研究，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際，我認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力可以有如下策略。

（一）重視數(shù)與基本運(yùn)算概念的教學(xué)

重視數(shù)與基本運(yùn)算概念的教學(xué)有助于學(xué)生感悟算理，利用算理推導(dǎo)算法，識別、理解各種數(shù)量關(guān)系，合理選擇運(yùn)算策略，為學(xué)生運(yùn)算能力提升提供有力的支撐。

1.加強(qiáng)對基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)的理解與識別

圖3 是加減法的基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)圖，其中分為添加型、拿走型、部分—部分—全體型、比較型。

圖3 加減法基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)

我們以3 道題為例。第一題，淘氣有8 元，笑笑又給他4 元，兩人一共有多少元？這屬于添加型的題目。第二題，淘氣有8 元，笑笑有4 元，他們兩人一共有多少元？這個(gè)題目是部分—部分—全體型，我們也可以叫它并加型。第三題，淘氣有8 元，笑笑比淘氣多4 元，笑笑有多少元？這個(gè)題目是比較型。雖然這3 道題的做法都是8+4=12 元，但是它們的意義是不一樣的，對應(yīng)的基本的運(yùn)算結(jié)構(gòu)也是不一樣的。由這3 種基本的運(yùn)算結(jié)構(gòu)變換不同的起始量、改變量、結(jié)果量，就構(gòu)成了加減法的豐富多彩的故事情境與問題解決樣態(tài)。同樣，乘除法也有類似的基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)，學(xué)生對于基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)的理解和識別，能夠幫助他們?nèi)ダ斫膺\(yùn)算的概念，并有助于信息的提取、方法的合理選擇等，有利于學(xué)生運(yùn)算能力的提升。

2.以多元表征促進(jìn)運(yùn)算概念和運(yùn)算關(guān)系的理解

圖4出現(xiàn)了3種語言：模型、文字和符號，它們是多元表征5 種形式當(dāng)中的3 種。在小學(xué)階段數(shù)的運(yùn)算里，很多時(shí)候我們會借用3 種語言的模式來協(xié)助學(xué)生去發(fā)展運(yùn)算概念。我曾執(zhí)教了一節(jié)在多元表征中學(xué)習(xí)乘法分配律的課，這節(jié)課用到了模型、圖形、符號、文字4 種表征方式。在執(zhí)教中，我是如何以多元表征來促進(jìn)學(xué)生對運(yùn)算概念和運(yùn)算關(guān)系的理解呢？

圖4 運(yùn)算概念的3種多元表征

首先，引導(dǎo)學(xué)生在模型和數(shù)字、算式之間做聯(lián)接（如圖5）。

圖5 乘法分配律配圖

出示圖5 的左側(cè)圖，提問：可以用什么算式來表示這個(gè)圖形？3 在哪里？5 在哪里？3×5 是什么意思？通過數(shù)形結(jié)合，明確“3”表示的是大方塊每行有3 個(gè)小方塊，“5”表示的是大方塊每列有5 個(gè)小方塊，而“3×5”則表示“橫著數(shù)，每行有3個(gè)，有5行，共有5個(gè)3；豎著數(shù)，每列有5個(gè)，有3列，共有3個(gè)5”。不僅在這里做了模型與數(shù)的聯(lián)結(jié)，更建立起了該模型與乘法運(yùn)算之間的對應(yīng)關(guān)系。

出示圖5 中的右側(cè)圖，提問：怎樣列式表示這兩個(gè)大方塊組合的情況？3×5+4×5 是什么意思？（3+4）×5呢？兩者有什么區(qū)別？

再做算式和圖形之間的轉(zhuǎn)換：算式2×6+3×6=（2+3）×6 表示的圖是什么樣子的？請?jiān)佼嫵鰜恚ㄈ鐖D6）。

圖6 算式和圖形之間的轉(zhuǎn)換

其次，設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)性任務(wù)來促進(jìn)多元表征學(xué)習(xí)。

【任務(wù)一】每個(gè)人用同一種顏色的小方塊拼一個(gè)幾乘幾的大方塊，在拼的同時(shí)要用乘法算式來表示。

【任務(wù)二】思考自己拼出的大方塊是否可以跟目標(biāo)大方塊連接成一個(gè)更大的方塊。我收集全班學(xué)生表征大方塊的乘法算式，與他們一起看算式，判斷哪些算式表示的方塊可以與目標(biāo)方塊連接，哪些是不可以連接的，并思考、表達(dá)為什么不可以連接，為什么可以連接。完成后，啟發(fā)學(xué)生：按照連接方式的不同對這些算式進(jìn)行分類，你想怎樣分？學(xué)生在想象、比較、分類中反復(fù)進(jìn)行模型和算式之間的互相轉(zhuǎn)化。

【任務(wù)三】把5×9 的大方塊拆分成2 個(gè)方塊，可以怎樣拆？收集完拆分方塊的算式后，我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對這些算式進(jìn)行觀察、比較、分類，思考“按照拆分方式的不同，可以將這些算式分成幾類”。

通過這樣不斷地去反思操作過程、細(xì)化多元表征學(xué)習(xí)、促進(jìn)表征形式之間的互換互化，學(xué)生對乘法分配律中復(fù)雜的運(yùn)算關(guān)系和運(yùn)算結(jié)構(gòu)的理解和認(rèn)知會越來越清晰、具體。這樣的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生把握基本運(yùn)算概念和復(fù)雜的運(yùn)算關(guān)系，有助于算理理解與算法掌握，最終促進(jìn)運(yùn)算能力的提升。

（二）強(qiáng)化算理理解與基本算法的學(xué)習(xí)

在曹培英老師提出的四面體模型中，算理理解、算法掌握是提升運(yùn)算能力的兩大基石?；谔嵘龑W(xué)生運(yùn)算能力的計(jì)算教學(xué)需要教師在以下兩點(diǎn)上花費(fèi)更多的心思。

1.在具體情境與操作活動(dòng)中理解算理

在學(xué)習(xí)小數(shù)除法單元時(shí)，我專門設(shè)計(jì)了一節(jié)活動(dòng)課，讓學(xué)生經(jīng)歷換錢、分錢的操作活動(dòng)，記錄換錢和分錢的每一個(gè)步驟，用自己的方法解決小數(shù)除法的實(shí)際問題。

【活動(dòng)背景】

你和你的4 個(gè)小伙伴收集了一些廢品，一共賣了12元錢。5個(gè)人要平分賣廢品的收入。

【活動(dòng)內(nèi)容】

想一想：廢品站的叔叔給了你1 張10 元，2 張1元的鈔票，每個(gè)人拿到的錢數(shù)要相同，你會遇到什么問題？

換一換：每個(gè)小組有一次兌換零錢的機(jī)會，請先想好如何兌換，再到“零錢銀行”按需換取。

分一分，記一記（以元為單位）：小組內(nèi)將12 元錢平分給5 個(gè)小朋友，用算式記錄整個(gè)分的過程（分失敗的小組，請思考如何修正才能成功）。

學(xué)生在活動(dòng)中有如下的一些記錄方法：

（1）10元÷5=2元，1.5元÷5=0.3元，2+0.3=2.3元

（2）10元÷5=2元，1元÷5=0.2元，0.5元÷5=0.1元，2+0.2+0.1=2.3元

（3）10元÷5=2元，10角÷5=2角，5角÷5=1角，2角+1角=3角，2元+3角=2.3元

（4）10 元÷5=2 元，15 角÷5=3 角，2 元+3 角=2.3 元

通過討論，學(xué)生意識到（1）和（2）中的1.5元÷5=0.3 元和 1 元÷5=0.2 元、0.5 元÷5=0.1 元不符合換錢分錢的實(shí)際情況，因?yàn)?元換成了10角，分錢時(shí)分的是15 角或者先分10 角再分5 角，所以符合操作過程的記錄應(yīng)該是（3）或者（4）。換錢、分錢、記錄都體現(xiàn)了細(xì)分計(jì)數(shù)單位的小數(shù)除法的本質(zhì)。這樣的活動(dòng)為下一節(jié)課理解小數(shù)除法豎式計(jì)算的算理提供了具體而形象的支撐。具體的操作活動(dòng)不僅加強(qiáng)了學(xué)生對于細(xì)分計(jì)數(shù)單位的體驗(yàn)，更有助于將比較抽象的小數(shù)除法變得具體、可視化、易理解。

2.在算法多樣化中派生出基本算法

算法多樣化并不是簡單的“百花齊放”或先多樣再優(yōu)化，而是應(yīng)該從多樣化的算法中尋找到共通的算理，從而派生出具有普適性的基本算法。

如“小數(shù)乘整數(shù)”一課，這節(jié)課的主要任務(wù)是：計(jì)算0.3×4，并對自己的計(jì)算方法做簡單說明。學(xué)生有以下7種做法與相應(yīng)的說明。

（2）3×4=12，12÷10=1.2

交流時(shí)學(xué)生補(bǔ)充：0.3×10=3。

（3）0.3+0.3+0.3+0.3=1.2

交流時(shí)學(xué)生補(bǔ)充：0.3+0.3=0.6，0.6+0.3=0.9，0.9+0.3=1.2。

（4）4×0.3=0.1×（3×4）=0.1×12=1.2

說明：0.3=0.1×3，3×4=12，12×0.1=1.2。

（5）3×4=12（分為10和2）

10×0.1=1，2×0.1=0.2，1+0.2=1.2

把學(xué)生的方法梳理出來之后，我提出了兩個(gè)相應(yīng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找多樣化算法中的共通之處：找出想法相同，但形式不同的方法有哪些？所有的方法都需要計(jì)算什么？（需要計(jì)算3×4=12，12 個(gè)0.1是1.2）

教師在計(jì)算教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試多樣化的算法，并引導(dǎo)學(xué)生比較各種算法之間的聯(lián)系，揭示不同算法背后的算理本質(zhì)，從共通的算理中自然生長出基本算法。這也是“算法多樣化”的內(nèi)涵，即要在學(xué)生原生的非基本算法和通用的基本算法之間找到關(guān)聯(lián)處和生長點(diǎn)。

（三）突出對基本數(shù)學(xué)思想的感悟

基本數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用在“數(shù)的運(yùn)算”版塊中占據(jù)的份量很重。如將未知轉(zhuǎn)化成已知，幫助學(xué)生理解算理、探究算法，這在教材里有相當(dāng)多的體現(xiàn)。北師版教材中，在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的時(shí)候，我們是把它轉(zhuǎn)化成表內(nèi)乘法來計(jì)算、理解算理；在學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的時(shí)候，則是將它轉(zhuǎn)化成“兩位數(shù)乘一位數(shù)”去理解算理和探究算法。轉(zhuǎn)化（化歸）的思想在計(jì)算教學(xué)中的應(yīng)用非常普遍。除此以外，在小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)的運(yùn)算當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法還有數(shù)形結(jié)合、推理、符號化、類比、數(shù)學(xué)模型等。教師要善于挖掘“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與思想方法，助力學(xué)生探究學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。