掃描平面向量中的解題誤區(qū)

■楊 立 劉大鳴（特級(jí)教師）

平面向量融“數(shù)”與“形”于一體，具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。下面匯集了同學(xué)們?cè)谇蠼庀蛄繂?wèn)題中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，并剖析其原因，展示其正解，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

誤區(qū)1：忽視零向量的特殊性

例1已知向量a＝（3，2－m）與b＝（m，－m）平行，則m值的個(gè)數(shù)是______。

錯(cuò)解：由a∥b得，即m2－5m＝0，解得m1＝5，m2＝0（舍去），所以m值的個(gè)數(shù)是1。

正解：零向量與任一向量平行，當(dāng)m＝0時(shí)，b為零向量，也與a平行。由a∥b得3（－m）－m（2－m）＝0，解得m1＝5，m2＝0，所以m值的個(gè)數(shù)是2。

警示：零向量的模為0，記作0，其方向是任意的，0 與任意向量平行。零向量的性質(zhì)有:0·a＝0，0＋a＝a。在判斷向量有關(guān)命題的真假時(shí)，不能遺漏零向量。

誤區(qū)2：忽視兩個(gè)向量的夾角

例2等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則a·b＋b·c＋c·a＝______。

錯(cuò)解：由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，可得a·b＋b·c＋c·a＝1·1·cos60°＋1·1·cos60°＋1·1·cos60°＝。

正解：題中向量a與b的夾角是120°，而不是60°，錯(cuò)解把兩個(gè)向量的夾角與三角形的內(nèi)角混淆了。在等邊△ABC中，a與b的夾角為120°，b與c夾角為60°，c與a夾角為60°，所以a·b＋b·c＋c·a＝1·1·cos120°＋1·1·cos60°＋1·1·cos60°＝。

警示：利用向量可以平移的特點(diǎn)，將兩向量平移到從同一定點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量的正方向所夾的角即為兩向量的夾角。需要注意的是:兩向量夾角的取值范圍是[0，π]。

誤區(qū)3：混淆一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影

正解：上述解法混淆了一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影，結(jié)果求得的是向量a在b方向上的投影。

誤區(qū)4：忽視向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法的區(qū)別

例4已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b與7a－5b垂直，向量a－4b與7a－2b垂直，求向量a與b的夾角θ的值。

錯(cuò)解：由已知兩個(gè)向量垂直得據(jù)此化簡(jiǎn)整理得兩式相減得46a·b－23b2＝0，即b（2a－b）＝0，所以b＝0（不合題意）或2a－b＝0。由2a－b＝0知a與b同向，故向量a與b的夾角θ＝0°。

正解：對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0，但對(duì)于向量a，b，若a·b＝0，則不一定有a＝0 或b＝0。由a·b＝|a|·|b|cosθ知，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝0也成立，此時(shí)a，b均可以不為0。

據(jù)此可知，把b2＝2a·b代入7a2＋16a·b－15b2＝0 得a2＝2a·b，所以a2＝b2＝2a·b，所以cosθ＝。又θ∈[0，π]，故所求夾角θ＝60°。

警示：向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，也不滿足消去律。

誤區(qū)5：誤認(rèn)為a 與b 的夾角為鈍角(銳角)?a·b＜0（＞0）

例5已知向量a＝（2，1），b＝（λ，1），λ∈R，a與b的夾角為θ。若θ為銳角，則λ的取值范圍是______。

正解：當(dāng)cosθ＝1 時(shí)，θ＝0°，也滿足cosθ＞0，但θ不是銳角，不合題意，所以要排除兩向量共線且同向的情況。

誤區(qū)6：混淆共線向量或三點(diǎn)共線的條件

例6已知同一平面上的向量a，b，c，兩兩所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的長(zhǎng)度。

錯(cuò)解：易知a，b，c皆為非零向量。設(shè)a，b，c所成的角均為θ，則3θ＝360°，即θ＝120°，所以a·b＝|a|·|b|cos120°＝－1。同理可得，b·c＝－3，c·a＝－。因?yàn)閨a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，所以|a＋b＋c|＝。

正解：當(dāng)向量a，b，c共線且同向時(shí)，所成的角也相等，均為0°，也符合題意，這時(shí)|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6；當(dāng)向量a，b，c不共線時(shí)，由錯(cuò)解得|a＋b＋c|＝。綜上所述，向量a＋b＋c的長(zhǎng)度為6或。

警示：處理共線向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要注意向量的方向。若（λ，μ為常數(shù)），則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1。

感悟與提高

圖1