值得回味的三角形的“四心”

■賀顯孟

三角形的“四心”，即重心，垂心，內(nèi)心，外心，它是三角形的重要性質(zhì)。下面舉例說明其應(yīng)用。

一、三角形的重心

二、三角形的內(nèi)心

例2已知△ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，I為△ABC所在平面上的一點，且點I滿足:a·＝0，則點I為三角形的（ ）。

A.外心 B.垂心

C.重心 D.內(nèi)心

圖1

評注：三角形的內(nèi)心，也是三角形的內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心到三邊的距離相等。

三、三角形的外心

評注：三角形的外心是三邊的中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。外心到三個頂點的距離相等。

四、三角形的垂心

五、等邊三角形的“中心”

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形

D.等邊三角形

評注：等邊三角形的“四心”共點，也稱為等邊三角形的“中心”。

六、三角形的“四心”的綜合應(yīng)用

例6（多選題）已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB＝4，AC＝2，則下列各式正確的是（ ）。

圖2

評注：三角形的外心、垂心和重心在一條直線上，而且外心到重心的距離是垂心到重心的距離之半。此直線稱為三角形的歐拉線，該定理稱為歐拉線定理。