利用導(dǎo)數(shù)突破高考圓錐曲線壓軸題

賀鳳梅

摘 要：近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題中屢屢出現(xiàn)，圓錐曲線與切線方程的綜合試題，解題時(shí)需要利用導(dǎo)數(shù)作為工具.學(xué)生往往顧此失彼，考慮了圓錐曲線卻忽略了導(dǎo)數(shù)，使得準(zhǔn)確率較低.本文以2021年全國(guó)乙卷的圓錐曲線壓軸題為例，談?wù)勥@類題型的解題方法.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;切線;導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）01-0005-03

4 追根溯源

（2013年遼寧理科20題） 拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過(guò)點(diǎn)M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B，（M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于原點(diǎn)O），當(dāng)x0=1-2時(shí)，切線MA的斜率為-12.

（1）求p的值;

（2）當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程.

評(píng)注 此題也有多種解法，可以直接設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再利用求軌跡的方法求解.此法的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)而不求，思路直接，難點(diǎn)是參數(shù)多，需要注意消參的技巧;也可以借助拋物線的參數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程，進(jìn)而求出兩切線的方程，轉(zhuǎn)化為以t1，t2為兩根的方程，最后利用韋達(dá)定理求解，關(guān)鍵點(diǎn)是方程的轉(zhuǎn)化和消元的技巧.此題解法從略，有興趣的讀者可以自己嘗試.

從近幾年全國(guó)各地的高考圓錐曲線的壓軸題來(lái)看，圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)及直線與圓錐位置關(guān)系仍是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).文中兩題以圓錐曲線中的拋物線為背景，過(guò)曲線外一點(diǎn)引曲線兩條切線問(wèn)題為載體展開.一道題是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，并求所得到的三角形面積的最大值;另一道是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，尋求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.兩題均考查了圓錐曲線的一些基本知識(shí)及消參等基本運(yùn)算;從思想方法上來(lái)看，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.

要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，就應(yīng)該對(duì)所學(xué)知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)和把握，即理解這些知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題乃至實(shí)際問(wèn)題中所起的作用.我們也要明確，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，邏輯思維、數(shù)形結(jié)合、概括與綜合等都是數(shù)學(xué)的重要思想方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]王敏.導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用[J].高中生學(xué)習(xí)，2014（04）：33-35.[2]謝幸達(dá).一道與圓錐曲線的切線方程有關(guān)的高考題引起的思考[J].未來(lái)英才，2015（05）：303.

[責(zé)任編輯：李 璟]