和真數學教學理論下的“五味數學課”研究與實踐
——以人教版五年級下冊旋轉一課為例

李方紅

（重慶市巴蜀小學，重慶 400013）

數學是研究數量關系與空間形式的一門科學。真是數學學習的核心要義，必須要有真問題、真環(huán)境、真經歷、真實踐、真思考、真建構、真認知、真知識、真收獲、真成長。概括起來，包括目標上的真學力、過程上的真經歷、結果上的真發(fā)展。和真數學教學理論就是基于學科本質屬性與相應認識論和方法論基礎而提出的一種數學教學理論，包括“三真實、三價值、五目標、五味道”的“3355”核心理論體系結構[1]。

數學教與學的研究需要對數學學科文化生長機制、學生成長機制、課堂教學認知建構機制等進行本源性探索與揭示。實際上，學科生長機制是學科知識繼承、發(fā)展、創(chuàng)新、衍生的基因，是學科學習方法論，如數學思想便是數學學科生長的核心基因之一。學生成長機制則跳出學科，從學科教學走向學科育人，關注人成長的核心規(guī)律，進而以學科學習為載體，真正培養(yǎng)學生的生長人力（人一生成長的關鍵力量，如愛、志、信念、勇敢……思想、方法、習慣等）[2]，實現(xiàn)學科育人。人成長的本質是讓世界更好，讓生活更美，進而反哺每一個人，實現(xiàn)人與社會、自然、文化、未來、生活的融通。于此，“傳承文化、培養(yǎng)人力、服務生活”是數學學科的三大價值。

三大價值在學生培養(yǎng)目標上，可以具化為“情感態(tài)度、習慣精神、思想方法、能力知識、實踐創(chuàng)新”五大具體目標[3]。五大目標也是中小學生核心素養(yǎng)的數學學習界域內的具化表達，是數學課程標準中的“知識技能、數學思考、問題解決、情感態(tài)度”的改造性具化表達。

五大目標如何在一節(jié)課上扎實落地，在課堂教學上，如何探索建構具有“文化味、生本味、生活味、研究味、數學味”的五味數學課形態(tài)[1]，有待進一步研究與實踐。

一、五味數學課的內涵

五味意指五種形態(tài)，是數學課堂教學展露出的外顯特點的生動描述，一方面是對課堂教學基本要素與結構的理念概述，另一方面也是實現(xiàn)五大目標的基本教學策略。

（一）文化味

《義務教育數學課程標準》（2011年版）在課程目標表述上，從最初的“雙基”，到“三維”，到現(xiàn)在的核心素養(yǎng)。實際上是一個由表及里，由外向內，由結果到過程結果并重，由文化到學科文化生長核心機制的認識轉向和生態(tài)關照。核心素養(yǎng)不僅關注知識與技能，也關注“雙基”生成的方法論，如《普通高中數學課程標準》（2017年版）中提出的“數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析”六大素養(yǎng)[4]，便是數學知識與技能產生的方法論、過程觀、生成場的概括。

所以，和真數學教學理論下的數學課，需關注數學文化生成的方法論的滲透，如結合某個具體內容，適切引入數學發(fā)展歷史啟迪學生感悟數學研究的基本過程，通過數學思想的滲透啟迪學生學會思考與分析問題，通過古今數學家的故事激勵學生求真求實的理性精神等。

（二）生本味

學生何以建構起系統(tǒng)的數學學習的方法論，這需要學生在學習中不斷經歷研究的過程，不斷積累探索的經驗，不斷優(yōu)化自身的學習方法，不斷累積良好的研究情感體驗與效能感。這與系列學習心理學理論不謀而合。如建構主義倡導應為學生學習創(chuàng)設真實的問題解決情境，充分喚醒學生已有的認知經驗，讓學生自主探索、自主建構，如此才能不斷地激發(fā)學生的探究欲，溝通知識結構的聯(lián)系，促進認知的不斷內化與遷移[5]。金字塔學習理論揭示，通過實踐與教授給他人可以大幅度提高學習內容的留存率[6]。數學課堂教學要變成學生的自主與互生學習的研究場，變成思維互相激發(fā)的探索園，變成自信生成與良好情感累積的儲蓄坊。

（三）生活味

數學學習的載體是生活中的具體問題反映的數量關系與空間形式。數學源于生活，服務生活。數學學習的歷程是一個由形象、具象到抽象的思維進階過程，是一個“情境、操作、演示、圖示、數與符號、抽象概念、想象、生活具象、生活應用”的閉環(huán)生態(tài)認知過程[7]。如分數的意義，源于生活中不能用整數表示結果時，可把整體看成單位“1”，平均分成m份，其中的n份就是單位“1”的n/m（m、n≠0）。

另外，生活味不僅體現(xiàn)在數學源頭上，還體現(xiàn)在數學應用上，學完相對應內容，應主動連接生活，培養(yǎng)實踐與創(chuàng)新的意識與能力。生活味也要關注數學學習形式的多樣性，生活與生存的萬千方式皆可作為學習的方式，如“乘風破浪的姐姐”中的競演方式可以應用到小組合作學習中去。生活萬千方式豐富了數學學習的方式。在小學階段，課堂教學的趣味性、美感、藝術味是非常重要的。

綜上，生活味關注了數學源、數學用，關注了趣味性與藝術性，讓學生體悟價值，也累積快樂。

（四）研究味

數學學科具有科學的本體論屬性與方法論內核，科學的探索過程，“問題—假設—實驗—結論—驗證—推廣”的過程對于數學學習同樣適用。《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出，要讓學生經歷數學研究的過程，累積探索活動經驗，經歷數學知識建構的過程，這個過程實際上就是讓學生積極參與，自主研究的過程[8]。研究味就是讓學生積極參與，自主探索、合作探究、完整經歷，進而學會自主學習，不斷累積與優(yōu)化自身的數學思想方法體系。

（五）數學味

數學學習有其特有的屬性與規(guī)約，如符號表征、抽象建模，精簡規(guī)范的語言表達，清晰簡明的邏輯推理，嚴謹理性的數據分析，成體系的認知結構圖譜建構，聚焦真實問題的分析解決等。數學是培養(yǎng)學生思維的主陣地，是理性生發(fā)的主戰(zhàn)場。

數學味是數學學科本體論與認識論的集中反映，也是數學學習區(qū)別于其他學科學習的本質特征，也是整體育人下學科育人的具體擔當，還是師生教與學質量反饋評價的重要標尺。

二、五味數學課的實踐路徑

五味數學課是落實“五目標”的總體策略、原則，是理想性的、專業(yè)性的、高階式的數學學習形態(tài)。小學數學學習則不可能每節(jié)課都做到做實，如學了因數和倍數，接著學2、3、5的倍數特征，由于時空局限、資源限制、課型定位，往往是在教師導引下，間接經歷“猜測—尋找—觀察分析—總結—驗證”這樣“精縮”型的研究歷程，是真實研究歷程的復演縮影。而數學學科發(fā)展史中，這個探索過程背后的算理表達、邏輯證明，則可能在時間上經歷上千年，推理上經歷了多種研究歷程和方法設計。由此，小學數學教與學更多是一種類研式的學習[3]，五味的現(xiàn)實實踐路徑反映為一種“簡縮、互生、平衡、生成”性特點，具體體現(xiàn)如下：

（一）能力知識與思想方法結合

文化味倡導體悟數學學科發(fā)展背后的機制與方法論，集中反映為思想方法。但在小學階段，思想方法不能脫離知識而單獨講授，不能脫離生活情境而單獨傳輸，不能為了簡便而由老師系統(tǒng)給出，不能變成填鴨式的教學樣態(tài)。思想方法的習得需要長期的累積、點滴的浸潤、不斷的體悟、反復的實踐，慢慢地深入學生心底，接受并內化成信念，真正掌握每種思想方法的內涵、價值、應用范疇、變式應用，并自動遴選與內化最核心的思想方法。如轉化、類比、整體、分類討論、數形結合、方程等思想絕非一節(jié)課學生能掌握的。當然，再深度挖掘，思想方法背后通用的研究設計、實施、建模等過程，更是需要學生反復經歷與體驗才能真正固化。告知是小學數學學習的大忌，而經歷則是金科玉律。

（二）自主學習與導引互生結合

自主學習強調學生的親自參與，全情投入，全力協(xié)同，積極實踐。但自主學習所需要的方法基礎、知識基礎、資源供給、情境營造、組織建設、環(huán)境氛圍、認知反饋、評價激勵則需要他人的幫助與支持。事實上，絕對意義上的自主學習從未存在，一方面環(huán)境潤澤無處不在，另一方面學校導引無時不有，甚至同伴及他者的影響也靜默發(fā)生。所以，自主學習、合作探究、教師導引、他者支持、社會助力、家庭陪伴等都是必不可少的。

（三）課堂探索與課外實踐結合

生活味要求打通學習的時空場，實現(xiàn)數學與生活的銜接，課內與課外的融合，學校與社會的合力，線下與線上的協(xié)力，基于學科界域與跨界的結合，國內與世界的聯(lián)通，現(xiàn)在與未來的交匯，方可真正還原數學研究的源，方可真正嫁接數學的用，方可真正活化數學學習的趣味性、多樣性與藝術性。學習的過程不僅是文化的傳承與創(chuàng)造過程，還應是人力培養(yǎng)過程，在習得知識的同時，要訓練思維，要拓寬視野，要活化思考維度，要關注研究歷程。

（四）完整經歷與部分經歷結合

研究味強調讓學生完整經歷數學探究的過程，積累豐富的活動經驗，形成多元的思考視角。但這樣的完整經歷往往因為各方面原因而變成了部分經歷。

一是課型定位，導致部分內容不需要完整經歷。如認知分類上的遷移課，它只需要學生根據已學的舊知進行演繹推理，如學了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積后，再學組合圖形的面積，只需要讓學生掌握背后的轉化思想的思考框架即可，不需要再讓學生還原怎樣從組合圖形面積計算的障礙，到計算方法的探索，再經歷不同的轉化，最后得出結論的完整過程。

二是研究重復，后續(xù)部分內容只需要應用經歷。這體現(xiàn)在每個單元后面幾節(jié)課，用了與第一課時同樣的研究方法，經歷了相似的研究歷程，則不需要完整經歷。

三是時空限制，部分內容可間接經歷。如數的認識，十進制計數法的產生，最初結繩法、石頭記錄法，再到習慣十為計數單位間的進率，這些可以通過播放微視頻的形式讓學生間接經歷。

（五）形象具象與數學抽象結合

數學味集中反映在數學符號建模，用抽象的符號語言表達數量關系與空間關系。但限于某一個知識的學習階段不同，限于小學生抽象思維的能力，限于部分概念、公式、定理、定律符號表達未達成共識性，形象與具象，實物、圖式、文字表達同樣不可或缺。數學抽象的過程往往也經歷了“實物、圖式、文字、符號”的表達進階過程。

如統(tǒng)計圖，作為統(tǒng)計中描述數據的主要工具，在低段數學學習時，象形統(tǒng)計圖就是用實物與圖形來進行表達，然后中段學了條形統(tǒng)計圖，高段再學折線統(tǒng)計圖，正是切合學生身心發(fā)展規(guī)律、數學學科發(fā)展規(guī)律而進行獨立的設計。

三、基于五味數學課的課堂教學：以五年級下冊旋轉一課為例

以人教版五年級下冊第五單元《圖形的運動（三）》為例，以“發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題”四能為主線，對五味數學課的課堂教學實踐予以具體陳述。

《圖形的運動（三）》是《圖形的運動（一）（二）》的進階與深入學習。《圖形的運動（一）》是二年級所學的平移與旋轉現(xiàn)象的初步認識。《圖形的運動（二）》是四年級所學的軸對稱圖形等知識。《圖形的運動（三）》重點深入學習旋轉（也涉及平移）的過程描述、特點、軌跡繪制、實踐應用?？梢钥闯?，五年級再學圖形的運動，一是聚焦學習方法的系統(tǒng)梳理，二是知識結構的整體建構，三是現(xiàn)實應用的強化，四是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

（一）發(fā)現(xiàn)問題

開課后，老師拿出鐘表問：秒針在做怎樣的運動。

學生齊答：旋轉。

接著老師追問什么是旋轉？基于已學基礎，學生回答不出準確的定義。老師便啟發(fā)學生舉例，學生舉了生活中很多旋轉運動的例子。如地球繞太陽旋轉，旋轉門的旋轉，電風扇、車桿等的運動。

老師肯定學生們的舉例，進一步啟發(fā)學生思考，這種運動有什么共同特點。讓學生抽取共同點和關鍵信息，再來說一說什么叫旋轉。這實際上是歸納型概念生成的基本過程。學生雖沒有經歷取名的過程，但經歷了概括特點并形成準確概念的過程。

進一步追問，圖形的運動，還學了哪些知識？學生回答“平移”“軸對稱”。這實際上是對整個小學階段圖形運動板塊內容的整體梳理，利于學生建立清晰的認知結構。

老師揭示課題，關于旋轉，你還想知道些什么，進而激發(fā)學生的探究欲，也培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力。

（二）提出問題

學生非常自然地生成了系列研究問題。如旋轉運動有什么特點，在生活中有哪些應用，怎樣畫出旋轉后的圖形等等。

老師總結概括，或啟發(fā)、或引導、或承接……最后將問題概括為“旋轉過程、旋轉特點、實踐應用”三大問題。經歷不應該是學生基于老師布置的任務而進行的工廠流水線加工，而應該是學生自主發(fā)起的一場深度自助思維游。

（三）分析與解決問題

1.描述旋轉過程

旋轉過程實際上就是說清楚到底是怎樣的旋轉，描述準確。

接著老師讓學生進行小組合作，自選素材，填寫設計好的半結構化的研究單，實驗、觀察、討論、總結出某物旋轉的過程。

有的學生拿出鐘表，觀察指針的旋轉過程，有的則將鉛筆繞某中心點進行旋轉。有的又以月球繞地球旋轉為例進行分析，等等。最后讓兩組具有代表性、旋轉過程描述準確清晰的學生上臺分享。

一組匯報是手動旋轉分針，從刻度12到3，分針旋轉了90度。匯報完，學生相互質疑，發(fā)現(xiàn)描述不全面，不準確。學生不斷補充，最后總結出描述旋轉過程必須說清幾要素，包括“起始位置、中心點、旋轉方向、度數、終點”等。

讓學生合作交流、相互質疑、探究總結，這樣才能培養(yǎng)他們的研究能力。

2.旋轉特征分析

在第二組匯報三角尺繞中心點0順時針旋轉90度整個過程后，老師追問，圖形的旋轉有什么特點呢？從始到終過程有什么變化？

學生小組內討論交流，再結合數學書例2的內容進行總結。學生能快速地總結出旋轉過程中什么沒變，什么變了。如圖形的形狀、大小、顏色沒變，圖形的位置變了。還有的學生補充旋轉過程中，中心點沒變。有學生進一步補充道，圖形各部分與圖形整體同頻旋轉（指圖形整體朝一定方向旋轉一定度數，那圖形的各部分，頂點、邊也繞對應中心點同樣方向同樣度數在旋轉）。這些是學生自主探究能發(fā)現(xiàn)的，但還有一些衍生性特點是他們無法自主完成的，如“對應點到中心點距離相等，兩組對應點分別與中心點連線所成夾角度數相等”等。

老師追問還有其他特點嗎？老師進一步啟發(fā)，“觀察對應點，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學生慢慢發(fā)現(xiàn)并總結出以上兩個衍生性特點。而五年級能感知這個特點即可，不需要證明。

3.旋轉實踐應用

任何數學知識的應用總體都體現(xiàn)為“美、用、趣、創(chuàng)”四個方面。如旋轉的生活應用體現(xiàn)在利用旋轉畫出部分旋轉后的軌跡（停滯的圖形）組成美麗的組合圖形；利用旋轉解決生活中的一些生產生活實際問題，如龍骨水車把低位水托到高位、旋轉餐廳、旋轉木馬、摩天輪等；利用旋轉相關知識設計有趣的游戲，如有趣的心理視覺圖、丟手絹、滾鐵環(huán)、數學拼圖游戲（原分圖通過適切的運動變成現(xiàn)組合圖）等；利用旋轉的知識創(chuàng)造一些科技發(fā)明、美術作品、藝術作品等。生活味顯得非常濃郁，文化味也沒有缺位，讓學生感受到數學的價值，感受數學與生活的聯(lián)系，也拓展了視野，活化了思維，激發(fā)了探究興趣。這樣基于教材，又高于教材，走向生活場的設計不僅需要教師有五味的課堂設計意思，更要有平時點滴的積累素材與數學思考的意識與行動。

美、用、趣、創(chuàng)包含了書上的“畫出旋轉后的圖形、根據原分圖和現(xiàn)組合圖分析圖形的運動”這兩個解決問題的題，但又在廣度、深度、高度、寬度上都有所拓展。具體課堂教學呈現(xiàn)如下：

（1）旋轉之美：畫旋轉后的圖形

老師啟發(fā)學生思考，學習旋轉相關知識不僅是為了準確描述，分析特點，更是為了應用它服務生活，你能舉一舉生活中相關的一些應用嗎？

學生舉例，如有很多美麗的圖案是利用旋轉畫出來的。

如香港特別行政區(qū)區(qū)旗。

教師投影出區(qū)旗，追問：想一想，怎樣畫的？誰來說一說？

學生回答，可以先畫五個圖形中的一個，然后利用旋轉留下的四個軌跡，畫出另外四個圖形。

老師予以表揚，說得太好了，那我們就先來研究怎樣畫出一個圖形旋轉后的圖形，以書上三角形ABC繞點A順時針旋轉90°后的圖形為例，請大家先自主思考怎樣畫，然后在方格紙上畫一畫，總結下畫的步驟，待會分享。

學生上臺匯報，我先畫出線段AB繞點A順時針旋轉90°后的線段AB’；然后根據BC與AB的關系，畫出線段B’C’；最后連接C’A。

老師讓學生給這種方法取名，學生取了拆分法、定邊法、定線法等。最后達成共識，可以叫定邊法。

老師進一步啟發(fā)學生，還有其他方法嗎？

學生自然想到了定點法等。

最后師生一起總結，畫圖過程中要注意的規(guī)范。如用工具畫圖，標出各頂點和旋轉后對應的各頂點，標出旋轉方向和度數，以便更完整、更清晰、更規(guī)范地展示出旋轉的過程。

（2）旋轉之用：古今圣賢奇思妙用

欣賞完旋轉之美后，老師讓學生想一想，旋轉還有哪些應用？

學生提及很多，老師展示已準備好古今圣賢利用旋轉解決生活實際問題的廣泛應用，并以微視頻的形式呈現(xiàn)，既生動形象，讓學生間接經歷，也滲透數學學科實踐應用的價值與古今圣賢的探索精神。如三國時期，龍骨水車利用旋轉將低位水托到高位，灌溉良田；古埃及利用木棒旋轉搬運大石頭；汽車利用旋轉實現(xiàn)移動變位；迪拜甚至修建了旋轉大樓讓每戶可定期欣賞各方向美景等。學生視野一下子就打開了，也體會到了多角度、多行業(yè)、多領域、多時代、多層次、多方面的應用。

（3）旋轉之趣：拼圖游戲培養(yǎng)正逆思維

研究完旋轉之用后，再回到最初學生提到的利用旋轉設計的游戲，利用旋轉、平移進行拼圖。老師進行導引，一是正向思考，根據指定的運動，畫出新組合圖；二是根據原分圖或組合圖，反過來分析分圖是怎樣進行運動變成組合圖的。

學生從小就玩拼圖，但有意識描述分圖運動過程，提前判斷、設計運動，并進行理性的分析，則是數學高于生活、服務生活的體現(xiàn)。這個環(huán)節(jié)讓學生經歷“規(guī)劃設計—實操驗證—精練表達—方法總結—實踐驗證”的探究過程。學生會生成很多方法，如定點法、定邊法，最后對比各方法，優(yōu)化方法，總結出“判斷平移運動用定點法，分析旋轉運動用定邊法更好”。最后，再讓學生不操作，直接想象，表達散亂的分圖通過怎樣的運動變成組合圖，讓學生在玩中學、學中思、思中悟，感受數學學習的魅力，累積良好的學習情感體驗。

（4）旋轉之創(chuàng)：課后利用旋轉相關知識設計一個原創(chuàng)作品

因為課堂時間的限制，加之學習內化需要一定的時間，由學生談本節(jié)課學到了什么知識？怎么學的？學得怎樣？最后教師總結，“本節(jié)課我們通過操作演示、觀察分析、交流討論、歸納總結”學習了旋轉的過程描述、旋轉的特征、旋轉的應用三大知識。經歷了發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的全過程，感受到了旋轉獨特的美、用、趣。課后，學生可利用本節(jié)課所學相關知識，設計一個原創(chuàng)作品，可以是一幅畫、一項生活小發(fā)明、一個游戲、一段舞蹈等。

綜上，四能培養(yǎng)的過程，真正讓學生主動參與、完整經歷、數學抽象、數學建模，形成了較為完整的認知體系。相比于教材，本課設計更加完整、系統(tǒng)、深刻、連貫、生動、開放、多元。如旋轉描述，教材只強調了方向和度數。教材中無旋轉軌跡的介紹，但這是生活中旋轉的重要應用。教材素材也較為單一，而本節(jié)課豐富的素材，讓學生積累豐富的表象，拓寬視野，激活思考，驅動創(chuàng)新，真正落實學科育人的目標。

五味本質上是交互交織的，與其說五味是一種數學課設計的原則，毋寧說是一種意識，一種理念。這需要教師內化于心，方可靈活應用，真正讓每個學生愛上數學，學有用的數學，人人在數學學習中得到不同的發(fā)展。