基本不等式的配湊技巧

朱東海

(云南省蒙自市蒙自第一高級(jí)中學(xué) 661119)

1 拆項(xiàng)與添項(xiàng)

就是在保證正數(shù)和相等的前提下，通過拆項(xiàng)與添項(xiàng)配出定值.

有的時(shí)候需要對(duì)給出的式子變形后，才能看出怎樣配湊.

解析由已知，得

a2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(a+b)

=(a+b)(a+c)

所以3a+b+2c=(a+b)+(2a+2c)

當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2a+2c時(shí)等號(hào)成立.

2 乘方與開方

對(duì)有些無理式問題，可以先化為有理式，然后再配湊.

≤(a+1)+(b+1)+(a+1)+(b+1)

=2(a+b+2)=8，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào).

3 配系數(shù)

配系數(shù)的目的是為了配出定值.

4 部分代入法

對(duì)某些二元函數(shù)的條件最值問題，可以用一個(gè)變量來表示另一個(gè)變量，代入目標(biāo)式子，從而變?yōu)橐粋€(gè)變量的問題.

例5已知x>1，y<0，且3y(1-x)=x+8，求x-3y的最小值.

解析因?yàn)?y(1-x)=x+8，

所以x-3y的最小值為8.

5 整體代入

就是把已知的式子或變形后代入目標(biāo)式子，從而配出定值.

有時(shí)候需要先把式子變形后再代入.

解析由a>1,b>0，若a+b=2，得(a-1)+b=1.

所以a+2b=(a+1)+2(b+1)-3

6 整體解出

就是把目標(biāo)式子看成一個(gè)整體，利用基本不等式構(gòu)造出新的不等式，然后通過解這個(gè)不等式求解.

≥k2+6+10.

解得2≤k≤8.

故a+b的取值范圍是[2,8].

7 利用等號(hào)成立的條件

若不能直接取等號(hào)，則可以利用等號(hào)成立的條件來拆分式子，滿足等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=1時(shí)取等號(hào).

注意兩次放縮后必須每一次取等號(hào)的條件一樣，最后等號(hào)才能成立.

8 多次應(yīng)用基本不等式

有時(shí)候需要多次應(yīng)用基本不等式才能求解.

解析因?yàn)閍，b都為正實(shí)數(shù)，