源于教材 高于教材
——例談ex≥x+1在高考導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用

符強(qiáng)如

(新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 830026)

1 源于教材的不等式

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》第32頁(yè)習(xí)題1.3B組第1題第(3)題：利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式ex>x+1,x≠0，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.

這個(gè)不等式的證明比較簡(jiǎn)單，只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1(x≠0),則f′(x)=ex-1.

當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，則

f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，則

f(x)在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減.

故x≠0時(shí)，f(x)>f(0)=0.

不等式ex>x+1,x≠0得證.

函數(shù)圖象如圖1.

圖1 圖2 圖3

這個(gè)不等式亦可以這樣表述：當(dāng)x∈R時(shí)，ex≥x+1(當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立).其可稱為“指數(shù)基本不等式”，其活躍在近幾年高考真題、各地模擬考試題和競(jìng)賽題中.它可演繹出很多經(jīng)典不等式，為解決函數(shù)大小問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)含參問(wèn)題等提供一種簡(jiǎn)潔高效的解題視野.

2 級(jí)數(shù)背景

3 不等式演繹

對(duì)于ex≥x+1，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)可得x≥ln(x+1)(x>-1)，易得x-1≥lnx(x>0)，當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).圖2為其圖象視野，即函數(shù)y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1.

4 應(yīng)用舉例

例1(2020年全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解法1 由ex≥x+1，易得x-1≥lnx.

由ex≥x+1可得aex-1=elna+x-1≥lna+x-1+1.

由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

故f(x)≥lna+x-1+1+1-x+lna≥2lna+1.(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))

由題知f(x)≥1，所以2lna+1≥1，解得a≥1.

解法2改頭換面進(jìn)行合情合理放縮.故此題也可以從這個(gè)角度去解決，

由ex≥x+1可得aex-1≥ax.

由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

因?yàn)閒(x)=aex-1-lnx+lna≥1，

所以ax-x+1+lna≥1.

所以(a-1)x≥-lna恒成立.

當(dāng)a≥1時(shí)，(a-1)x≥-lna恒成立,

當(dāng)a<1時(shí)，(a-1)x<-lna,與題意不符.

綜上a≥1.

例2(2017年全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值.

解析(1)定義域?yàn)閤∈(0,+∞).

由題知f(x)≥0，即x-1≥alnx.

易知函數(shù)y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1,如圖2.

對(duì)于x-1≥alnx左右兩邊函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)(1,0)，

當(dāng)a=1，x-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))恒成立.

當(dāng)a<1時(shí)，在[1,+∞)必存在一根x0使x0-1=alnx0，

所以x∈(1,x0),x-1

同理，當(dāng)a<1，x∈(0,1),x-1

綜上可得，a=1.

當(dāng)n≥3時(shí),

故所求m的最小值為3.

評(píng)注根據(jù)不等式特征，利用指數(shù)基本不等式ex≥x+1進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.其實(shí)本題是有一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系的導(dǎo)函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題(1)中的不等式的恒成立，利用不等式x-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)，對(duì)不等式進(jìn)行變形放縮處理即可，具體解法如下：

x∈(1,+∞)時(shí)，lnx

故m的最小值為3.

證明要證f(x)≥0，即證aex-lnx-1≥0.

只需證ex-1-lnx-1≥0.只需證ex-1-1≥lnx.

易知ex≥x+1.故ex-1-1≥x-1+1-1.

即ex-1-1≥x-1.知x-1≥lnx.

故ex-1-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))恒成立，

評(píng)注對(duì)于例3的解法諸多，有的是通過(guò)設(shè)而不求的方法，判函數(shù)y=f(x)的最小非負(fù);有的是根據(jù)f(x)≥0通過(guò)分參或分類的方法求出a的范圍從而證得f(x)≥0；還有的是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或者放縮證明，但對(duì)運(yùn)算能力和思維能力有一定要求.其實(shí)本題的命題者是站在函數(shù)y=ex在x=0處的泰勒展開式的背景下進(jìn)行命題的，站在高處來(lái)俯視高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，若教師與學(xué)生能夠領(lǐng)會(huì)命題者的意圖，就能快速準(zhǔn)確地找到解決問(wèn)題的方向與方法.

評(píng)注根據(jù)前面的解題，此題的解法思路清晰，放縮也有章可循，操作性強(qiáng)，可一步到位.

導(dǎo)函數(shù)證明不等式方向有很多，一般通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，遇到不可求的極值點(diǎn)時(shí)，可選擇代換，再由單調(diào)性證明不等式.有時(shí)遇到指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)不等式證明時(shí)，指數(shù)基本不等式是一種可以快速解決的方法.

5 不等式鏈的拓展

通過(guò)ex≥x+1可以延拓得到另外的一些相關(guān)不等式鏈.(可以用求導(dǎo)來(lái)證明，過(guò)程略)

ln(x+1)

通過(guò)上面一系列的例題，我們可以很清楚看到它們有相同的源頭，即源于教材的不等式ex≥x+1，其演繹變形出豐富有用的不等式鏈，是解決高考某些導(dǎo)函數(shù)不等式問(wèn)題的有力工具，其不同于教材，不拘于教材，又高于教材.這啟示高三復(fù)習(xí)回歸教材是正道，回歸教材不是簡(jiǎn)單閱讀教材、不是簡(jiǎn)單羅列知識(shí)、不是簡(jiǎn)單梳理方法、不是對(duì)教學(xué)過(guò)程的簡(jiǎn)單重現(xiàn)，而是對(duì)學(xué)科知識(shí)脈絡(luò)的建構(gòu)、對(duì)教材編者意圖的領(lǐng)悟、對(duì)教材隱性知識(shí)的挖掘、對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的把握.不能僅局限于教材正文部分，還應(yīng)拓展教材習(xí)題部分和閱讀材料.對(duì)教材中間接隱含的一些結(jié)論需要開發(fā)，這些結(jié)論往往會(huì)成為高考命題的重要素材，是解答高考試題的重要工具，對(duì)平時(shí)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生要尋“根”究“本”有重要啟示作用，唯有如此復(fù)習(xí)便高質(zhì)有效.