基于改進(jìn)的灰色馬爾科夫模型的集裝箱吞吐量預(yù)測(cè)

曾 勇，沈最意

（1.浙江海洋大學(xué)船舶與海運(yùn)學(xué)院，浙江舟山 316022；2.浙江海洋大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，浙江舟山 316022）

集裝箱吞吐量是指某一港口在一段時(shí)間內(nèi)船舶裝卸的集裝箱數(shù)量的總和，單位為TEU。港口集裝箱吞吐量的大小受諸多因素影響，例如港口地理區(qū)位條件、港口自身?xiàng)l件、社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、科學(xué)技術(shù)水平、對(duì)外貿(mào)易水平等因素。選擇合理的方法對(duì)其發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以為政府及相關(guān)的企業(yè)、部門等交通運(yùn)輸發(fā)展規(guī)劃、產(chǎn)業(yè)布局和基本建設(shè)等提供依據(jù)。

縱觀綜合交通發(fā)展研究，在與交通相關(guān)的交通量預(yù)測(cè)方面已有豐富的研究成果。傳統(tǒng)的貨運(yùn)量預(yù)測(cè)通常采用定性與定量相結(jié)合或主客觀相結(jié)合的方法[1]。對(duì)集裝箱吞吐量的預(yù)測(cè)，通常使用時(shí)間序列法、回歸分析法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、指數(shù)平滑法和灰色系統(tǒng)模型法。周盛世等[2]融合了灰色理論與馬爾科夫鏈對(duì)青島市物流需求量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并證明了馬爾科夫方法預(yù)測(cè)序列能夠優(yōu)化灰色預(yù)測(cè)結(jié)果從而提高預(yù)測(cè)的精度。魏輝[3]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)大連港港口物流需求進(jìn)行了預(yù)測(cè)，利用Matlab 軟件編程，得出預(yù)測(cè)結(jié)果，經(jīng)檢驗(yàn)，顯示誤差較小。湯天辰等[4]利用灰色馬爾科夫模型對(duì)上海港集裝箱吞吐量進(jìn)行預(yù)測(cè)，證明了融合模型的預(yù)測(cè)精度更高。這些模型已經(jīng)運(yùn)用于不同領(lǐng)域，例如客流量預(yù)測(cè)、貨運(yùn)量預(yù)測(cè)、消費(fèi)預(yù)測(cè)等，均有較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

每種預(yù)測(cè)方法都有其優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，與其他模型相比，灰色模型建模數(shù)據(jù)需求少、樣本無(wú)需規(guī)律性分布、計(jì)算量較小、短期預(yù)測(cè)精度較高。而馬爾科夫鏈的無(wú)后效性對(duì)中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和波動(dòng)性較強(qiáng)的序列預(yù)測(cè)效果較好，用其解決自然科學(xué)和實(shí)際問(wèn)題可以得到滿意結(jié)果[5]。但集裝箱吞吐量受未知因素影響，存在一定的波動(dòng)性，用單一的預(yù)測(cè)方法通常準(zhǔn)確度較低，本文結(jié)合了2 種預(yù)測(cè)模型，并融入等維新息的思想，能充分發(fā)揮模型的優(yōu)點(diǎn)，削弱缺點(diǎn)，提高預(yù)測(cè)精度。本文首先利用灰色GM（1，1）模型對(duì)寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量進(jìn)行建模獲取預(yù)測(cè)值，利用等維新息思想對(duì)吞吐量進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化，再引入馬爾科夫鏈對(duì)灰色預(yù)測(cè)值及等維新息灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，分別進(jìn)行精度檢驗(yàn)，最后進(jìn)行新的預(yù)測(cè)。

1 灰色馬爾科夫模型

1.1 傳統(tǒng)灰色GM（1,1）模型

灰色模型GM（1,1）的基本原理是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的累加淡化數(shù)據(jù)序列隨機(jī)性，針對(duì)樣本量少、信息缺乏的不確定系統(tǒng)進(jìn)行研究，建模數(shù)據(jù)最少4 個(gè)即可，目的是建立動(dòng)態(tài)微分方程，尋找數(shù)據(jù)序列的內(nèi)在規(guī)律[6]，其過(guò)程如下：

（1）建立原始序列：

（2）對(duì)原始序列累加一次得到新序列：

（3）由原始序列構(gòu)造矩陣B 與向量Yn：

（4）建立灰色GM（1,1）模型的微分方程：

（5）求解灰色GM（1,1）方程（4）得到：

（6）累減運(yùn)算，得還原序列值：

1.2 馬爾科夫模型

灰色預(yù)測(cè)模型在應(yīng)用時(shí)容易受到外界干擾而產(chǎn)生偏差，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度較低。馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N基于系統(tǒng)狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換概念的方法，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)處理問(wèn)題。在灰色模型的基礎(chǔ)上引入馬爾科夫鏈，可以減少長(zhǎng)期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的預(yù)測(cè)誤差[7-9]。馬爾科夫模型優(yōu)化步驟如下：

（1）劃分狀態(tài)區(qū)間：根據(jù)樣本劃分出n 個(gè)狀態(tài)區(qū)間：Ei=[e1i,e2i]（i=1,2,…,n）。其中e1i表示最小比值，e2i表示最大比值。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量：設(shè)A（0）為初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率初始向量，則狀態(tài)向量A（k）為：

（4）預(yù)測(cè)值修正：預(yù)測(cè)下一步的狀態(tài)可取狀態(tài)區(qū)間中間值作為修正值來(lái)計(jì)算組合模型預(yù)測(cè)值，公式如下：

式中：若預(yù)測(cè)值高于實(shí)際值時(shí)，公式（10）中的符號(hào)取+，反之取-。

1.3 等維新息灰色GM（1,1）模型

對(duì)于傳統(tǒng)灰色模型而言，模型僅適用于變化趨勢(shì)明顯且波動(dòng)較小的數(shù)據(jù)序列，一旦數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，離時(shí)間原點(diǎn)越遠(yuǎn)，傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)測(cè)精度會(huì)明顯降低。等維新息灰色GM（1,1）模型是在傳統(tǒng)灰色模型的基礎(chǔ)上，引入動(dòng)態(tài)建模思想，及時(shí)加入新的已知信息或灰色信息，將較長(zhǎng)的原始數(shù)據(jù)序列分解為長(zhǎng)度大于4 的新數(shù)據(jù)序列，依次建模預(yù)測(cè)，把經(jīng)過(guò)新的序列進(jìn)行預(yù)測(cè)得到1 個(gè)預(yù)測(cè)值X（0）（n+1）加入預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列最后摘除原始數(shù)據(jù)序列的第1 個(gè)數(shù)值X（0）（1）保持?jǐn)?shù)據(jù)序列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不變用構(gòu)成的新數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)得出下一個(gè)預(yù)測(cè)值。如此不斷更新數(shù)據(jù)剔除舊數(shù)據(jù)直到得到需要的所有預(yù)測(cè)值為止[10-12]。等維新息灰色預(yù)測(cè)模型流程如圖1 所示。

圖1 預(yù)測(cè)流程Fig.1 Forecasting process

1.4 模型精度檢驗(yàn)

灰色系統(tǒng)模型GM（1,1）是否優(yōu)良，需對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。通過(guò)計(jì)算出的E、K、P 值查模型精度檢驗(yàn)表可知模型是否可用[13]。

（1）平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)：

（2）計(jì)算后驗(yàn)差檢驗(yàn)比值：

（3）計(jì)算小概率誤差：

模型精度等級(jí)[14]劃分見(jiàn)表1。

表1 模型精度等級(jí)劃分表Tab.1 Model precision grade classification table

2 吞吐量預(yù)測(cè)實(shí)例

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

寧波舟山港地處我國(guó)大陸海岸線中部，由寧波港和舟山港合并組成，分鎮(zhèn)海、北侖等19 個(gè)港區(qū)，是全球首個(gè)吞吐量破10×108t 的港口，是我國(guó)的主樞紐港之一。2021 年12 月16 日，寧波舟山港成為繼上海港、新加坡港之后，全球第3 個(gè)3 000×104TEU 級(jí)集裝箱大港。本文選取寧波舟山港2006—2021 年數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 2006—2021 年各年寧波舟山港集裝箱吞吐量Tab.2 Container throughput of Ningbo Zhoushan port during 2006-2021

2.2 灰色GM（1,1）預(yù)測(cè)

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，可進(jìn)行如下操作：

第一步，建立序列X（0）=（741,943,…，2 873，3 108）。

第二步，進(jìn)行累加得到累加序列X（1）=（741,1 684,…,26 798,29 906）。

第三步，對(duì)X（0）進(jìn)行準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)公式p（k）=X（0）（k）/X（1）（k-1）得p（2）≈0.56,p（3）≈0.39,p（4）≈0.27,p（5）≈0.26…當(dāng)k＞3 時(shí)p 均小于0.5，知原始序列滿足光滑性檢驗(yàn)[15]；對(duì)X（1）進(jìn)行準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)，由檢驗(yàn)公式σ（1）（k）=X（1）（k）/X（1）（k-1）得σ（1）（2）≈2.27,σ（1）（3）≈1.65,σ（1）（4）≈1.38,σ（1）（5）≈1.34,…當(dāng)k＞3 時(shí)σ（1）（k）∈[1,1.5]，p 均小于0.5，知累加序列滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗(yàn)，可進(jìn)行GM（1,1）建模。

第四步，將X（0）、X（1）代入公式（3）-（5），可計(jì)算得灰色GM（1,1）模型的參數(shù)值a=-0.080 404 777 同時(shí)得出u=948.930 571 6。由（6）式可得出寧波舟山港集裝箱吞吐量的灰色GM（1,1）預(yù)測(cè)模型為e-ak+u/a=12 542.917 8e0.0804k-11 801.917 8。

根據(jù)上式可以得出2006—2021 年的集裝箱吞吐量的預(yù)測(cè)值見(jiàn)表3。

2.3 等維新息灰色模型預(yù)測(cè)

為進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度，現(xiàn)引入等維新息思想方法進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化過(guò)程如下：首先，以2006—2011 年為原始數(shù)據(jù)，設(shè)置數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為6，從而建立灰色模型得到響應(yīng)公式：X（1）（k+1）=8 711.193 259 e0.102210612t-7 970.193 259，對(duì)公式進(jìn)行累減運(yùn)算可計(jì)算出2007—2011 年的灰色模型預(yù)測(cè)值，再將X'（1）中的第一個(gè)值741 去除，計(jì)算出2011 年的預(yù)測(cè)值，將2011 年的值加入新的數(shù)列X″（1）。如此重復(fù)操作，就能得到GM（1,1）的等維新息灰色模型預(yù)測(cè)值，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量預(yù)測(cè)表Tab.3 Container Throughput forecast table of Ningbo Zhoushan port 2006-2021

由表3 及公式（10）—（13）可計(jì)算得灰色GM（1,1）模型預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差E=0.041 7，S1=723.712 6，S2=84.894 021 26，后驗(yàn)差K=0.117 3，小概率誤差P=1，查精度檢驗(yàn)表可知預(yù)測(cè)模型精度等級(jí)為Ⅱ級(jí)（良好），等維新息灰色GM（1,1）模型預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差E=0.0198，S2=39.751 7，后驗(yàn)差K=0.054 9，小概率誤差P=1，查精度檢驗(yàn)表可知預(yù)測(cè)模型精度等級(jí)為Ⅱ級(jí)（良好），可繼續(xù)用馬爾科夫模型進(jìn)一步優(yōu)化。

2.4 馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

分別對(duì)傳統(tǒng)灰色模型及等維新息灰色模型進(jìn)行馬爾科夫優(yōu)化，以減少長(zhǎng)期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的預(yù)測(cè)誤差，優(yōu)化過(guò)程如下：

2.4.1 灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

（1）狀態(tài)劃分：由灰色模型相對(duì)誤差區(qū)間[-0.174 6,0.521]將2006—2021 年的相對(duì)誤差分別劃分E1[-0.174 6,-0.129 3）E2[-0.129 3,-0.083 9）E3[-0.083 9,-0.038 6）E4[-0.038 6,0.006 8）E5[0.006 8,0.052 1]5 個(gè)狀態(tài)，劃分結(jié)果如表4 所示。

表4 灰色馬爾科夫模型相對(duì)誤差狀態(tài)劃分表Tab.4 Classification table of relative error states of Grey-Markov model

（2）建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：由公式（8）可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

（3）預(yù)測(cè)值修正：通過(guò)公式（10）對(duì)2006—2021 年灰色預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。例如2007 年預(yù)測(cè)值為1 050.163 9，馬爾科夫狀態(tài)處于E4，經(jīng)過(guò)馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測(cè)值為y=1 050.163 9/（1+0.5×|-0.038 6+0.006 8|）=1 020.141 1。同理可計(jì)算出2008—2021 年預(yù)測(cè)值如表5 所示。

表5 寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)表Tab.5 Grey-Markov model forecast table for container throughput of Ningbo Zhoushan port from 2006 to 2021

2.4.2 等維新息灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

按照同樣方法對(duì)等維新息灰色模型進(jìn)行修正如下：

（1）狀態(tài)劃分：由相對(duì)誤差區(qū)間[-0.095 3,0.050 0]將2006—2021 年的相對(duì)誤差分別劃分E1[-0.095 3,-0.063 3）E2[-0.063 3,-0.037 2）E3[-0.037 2,-0.008 1）E4[-0.008 1,0.020 9）E5[0.020 9,0.050 0] 5 個(gè)狀態(tài)，劃分結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 等維新息灰色馬爾科夫模型相對(duì)誤差狀態(tài)劃分表Tab.6 Classification table of relative error states of equal dimension and new information Grey-Markov model

（2）建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：由公式（8）可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

（3）預(yù)測(cè)值修正：通過(guò)公式（10）對(duì)2006—2021 年等維新息灰色模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正。例如2007 年預(yù)測(cè)值為937.470 1，馬爾科夫狀態(tài)處于E4，經(jīng)過(guò)馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測(cè)值為y=937.470 1/（1-0.5×|-0.008 1+0.029 0|）=971.935 1。同理可計(jì)算出2006—2021 年預(yù)測(cè)值見(jiàn)表7，對(duì)比圖如圖2 所示。

圖2 實(shí)際值、灰色預(yù)測(cè)值、灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值與等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.2 Comparison of actual value,gray predicted value and equal dimension new information gray predicted value with equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.4.3 預(yù)測(cè)模型效果分析及精度檢驗(yàn)

通過(guò)表7 可計(jì)算知加入等維新息思想的灰色GM（1,1）模型經(jīng)過(guò)馬爾科夫鏈的修正平均相對(duì)誤差E 由傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型的0.028 9 下降到0.016 8；后驗(yàn)差比值K 從0.094 6 下降到0.053 4，小概率誤差均為1。查精度檢驗(yàn)表表1 可知此模型的精度為Ⅱ級(jí)（良好），證明了加入等維新息思想灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)精度更高，預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確。從圖3 也可以看出灰色模型與灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)結(jié)果趨勢(shì)線與實(shí)際值偏差較大而加入等維新息思想后的灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)值偏差明顯更小。通過(guò)對(duì)后驗(yàn)差比值K 的計(jì)算（0.094 6-0.053 4）/0.094 6=0.435 5，即模型精度提升了43.6%。

圖3 實(shí)際值、灰色預(yù)測(cè)值、等維新息灰色預(yù)測(cè)值與等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差比較Fig.3 Comparison of relative errors between actual value,gray-predicted value,equal dimension new information gray predicted value and equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.5 寧波舟山港2022—2024 年集裝箱吞吐量預(yù)測(cè)

根據(jù)2.3 中求出的等維新息灰色GM（1,1）預(yù)測(cè)公式可計(jì)算得出2022—2024 年寧波舟山港集裝箱吞吐量預(yù)測(cè)值，由表4 可知2021 年馬爾科夫狀態(tài)為E3，得初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量A（0）=（0，0，0，0，1），由公式（9）可計(jì)算2022 年?duì)顟B(tài)轉(zhuǎn)移概率向量A（1）=A（0）*P=（0.5，0，0，0.5，0），同理可計(jì)算出2023 及2024 年：A（2）=（0，0，0.214 3，0.214 3，0.571 4），A（3）=（0.285 7，0，0.177 6，0.506 1，0.030 6），取狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量A（1）中概率的最大值作為未來(lái)狀態(tài)，可知2022 年吞吐量均處于E1或E4的狀態(tài)概率相等，取E1及E4的中值，同理2023 年取狀態(tài)E5，2024 年取狀態(tài)E4?？紤]到2020 年爆發(fā)的新冠疫情，全球海洋運(yùn)輸受到?jīng)_擊，各航運(yùn)企業(yè)和相關(guān)領(lǐng)域受到影響，國(guó)際貿(mào)易減少使得集裝箱運(yùn)輸量減少。目前海運(yùn)業(yè)逐漸恢復(fù)，但影響還在持續(xù)，為體現(xiàn)疫情對(duì)寧波舟山港集裝箱吞吐量的影響，在組合模型預(yù)測(cè)時(shí)，將馬爾科夫模型中狀態(tài)采用高估狀態(tài)[16]。以2022 年為例，將灰色模型預(yù)測(cè)值帶入公式（10）可得2022 年經(jīng)過(guò)馬爾科夫優(yōu)化后的吞吐量y=3 256.823 0/（1+0.5×0.058 1）=3 164.834 8。同理可計(jì)算出2023 及2024 年馬爾科夫優(yōu)化后預(yù)測(cè)值，見(jiàn)表8。

表8 2022—2024 年寧波舟山港集裝箱吞吐量馬爾科夫優(yōu)化后預(yù)測(cè)值Tab.8 Container throughput of Ningbo Zhoushan port after Markov optimization predicted value in 2022-2024

3 結(jié)論

本文以寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)構(gòu)建灰色GM（1,1）模型，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，由于數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性、非線性及復(fù)雜性等特點(diǎn)，于是引入等維新息的思想對(duì)傳統(tǒng)灰色模型進(jìn)行修正。經(jīng)精度檢驗(yàn)，模型精度為Ⅱ級(jí)（良好），相較于傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型，加入等維新息思想的組合模型精度提升了43.6%，表明了組合預(yù)測(cè)模型即等維新息灰色馬爾科夫模型對(duì)寧波舟山港集裝箱吞吐量的預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確，此方法削弱了傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測(cè)的缺點(diǎn)提高了預(yù)測(cè)精度。因此，改進(jìn)后的灰色馬爾科夫模型可以用來(lái)對(duì)寧波舟山港集裝箱吞吐量進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算。2022—2024 年預(yù)測(cè)結(jié)果顯示近3 年寧波舟山港集裝箱吞吐量呈逐步上升趨勢(shì)。同時(shí)，也可以考慮使用該模型應(yīng)用到其他類型的數(shù)值預(yù)測(cè)。