轉(zhuǎn)移條件下邊界中含有譜參數(shù)的兩類三階邊值問題的研究

朱軍偉， 顧麗娜, 李生彪

(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 陜西 楊凌 712100； 2.蘭州文理學(xué)院， 蘭州 730000)

0 引言

近年來，學(xué)者們對Sturm -Liouville有限譜問題進(jìn)行了較多研究[1-7]，但對于奇數(shù)階具有有限譜的微分方程邊值問題研究得較少.2013年， Ao等[8]討論了一類邊界條件帶有譜參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的正則Sturm -Liouville問題的特征值數(shù)量.2017年， Ao[9]研究了如下兩類三階邊值問題：

研究顯示，對于每一個正整數(shù)m， 上述問題至多有2m+1個特征值.受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文對如下轉(zhuǎn)移條件下邊界中含有譜參數(shù)的兩類三階邊值問題進(jìn)行研究：

(1)

(2)

r=1/p,q,w∈L(J,C),

(3)

其中L(J,C)為Lebesgue可積的復(fù)值函數(shù)在J上構(gòu)成的集合.

1 預(yù)備知識

令u1=y,u2=y′,u3=py″， 則與方程(py″)′+qy=λwy等價的系統(tǒng)可表示為：

u′1=u2,u′2=ru3,u′3=(λw-q)u1.

(4)

定義1設(shè)y=y(t)為問題的解.若y≡0,u2=y′≡0,u3=py″≡0， 則稱y為問題的平凡解，反之稱為非平凡解.

引理1設(shè)Φ(x,λ)=[φij(x,λ)]是系統(tǒng)(4)滿足初始條件Φ(a,λ)=I的基解矩陣，則λ∈C是式(1)的特征值當(dāng)且僅當(dāng)

Δ(λ)=det[Aλ+BλΦ(b,λ)].

(5)

特別地

(6)

其中:

h11(λ)=-(λβ′1+β1)(λα′2-α2+λα′3+α3),h12(λ)=(λβ′1+β1)(λα′3+α3-λα′1+α1)，

h13(λ)=-(λβ′1+β1)(λα′2+α2-λα′1+α1),h21(λ)=(λβ′2+β2)(λα′3+α3+λα′2-α2)，

h22(λ)=(λβ′2+β2)(λα′1-α1-λα′3-α3),h23(λ)=-(λβ′2+β2)(λα′2-α2+λα′1-α1)，

h31(λ)=-(λβ′3-β3)(λα′2-α2+λα′3+α3),h32(λ)=(λβ′3-β3)(λα′3+α3-λα′1+α1)，

h33(λ)=(λβ′3-β3)(λα′1-α1-λα′2-α2).

2 三階含譜參數(shù)問題的有限譜

首先假設(shè)J=(a,c)∪(c,b)存在如下劃分：

(7)

(8)

當(dāng)q(t)=w(t)=0時有：

(9)

為便于后續(xù)計(jì)算，在式(7)—(9)的基礎(chǔ)上本文補(bǔ)充如下相關(guān)條件：

(10)

引理2令Φ(t,λ)=[φij(t,λ)]是系統(tǒng)(4)滿足初始條件Φ(a,λ)=I的基解矩陣，則有

(11)

(12)

其中：φ11(a3,λ)=(a3-a1)r0(λw0-q0)+1,φ12(a3,λ)=(a3-a1)[r0(λw0-q0)(a1-a0)+1]+(a1-a0),φ31(a3,λ)=[(a3-a1)r0(λw0-q0)+1](λw1-q1)+(λw0-q0),φ32(a3,λ)=(λw1-q1)(a3-a1)r0+1.當(dāng)1≤i≤m時有：

(13)

證明由式(4)可知，在r恒等于零的子區(qū)間上u2是常數(shù)，在q和w恒等于零的子區(qū)間上u3是常數(shù).于是根據(jù)Φ(a1,λ)和Φ(a3,λ)以及式(4)即可遞推出引理2中Φ(a2i+1,λ)的結(jié)構(gòu)，引理2得證.

引理3令Ψ(t,λ)=[ψij(t,λ)]是系統(tǒng)(4)滿足初始條件Ψ(c,λ)=I的基解矩陣，則有

(14)

(15)

(16)

證明由于證明方法與引理2的證明方法相同，故本文在此省略.

引理4令Φ(t,λ)=[φij(t,λ)]是系統(tǒng)(4)滿足初始條件Φ(a,λ)=I的基解矩陣，且Ψ(t,λ)=[ψij(t,λ)]與引理3中給出的意義一致，則有

Φ(b,λ)=Ψ(b,λ)GΦ(c,λ),

(17)

其中G=[gij]3 ×3=-D-1C，Ψ(c-,λ)為Ψ(c,λ)在c點(diǎn)處的左極限.

證明由轉(zhuǎn)移條件可知CΦ(c-,λ)+DΦ(c+,λ)=0, 從而有Φ(c+,λ)=-D-1CΦ(c-,λ)=GΦ(c-,λ).注意到Φ(c,λ)=Φ(c-,λ)=Φ(a2m +1,λ),Ψ(b,λ)=Φ(b2n +1,λ)，Φ(c-,λ)=I， 故由引理2和引理3得Φ(b,λ)=Ψ(b,λ)GΦ(c,λ), 其中Ψ(b,λ)=Φ(b2n +1,λ).證畢.

引理5令Φ(t,λ)=[φij(t,λ)]是系統(tǒng)(4)滿足初始條件Φ(a,λ)=I的基解矩陣，則對于每一個λ∈C,Φ(b,λ)有：

證明由引理1可知：

其中:

θ11=1+rm -1(λwm -1-qm -1)=rm -1(λwm -1-qm -1)+o(λwm -1-qm -1),

θ12=2+rm -1(λwm -1-qm -1)=rm -1(λwm -1-qm -1)+o(λwm -1-qm -1),

θ13=2rm -2+rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)+o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)),

θ21=rm -1(λwm -1-qm -1)=rm -1(λwm -1-qm -1)+o(λwm -1-qm -1),

θ22=1+rm -1(λwm -1-qm -1)=rm -1(λwm -1-qm -1)+o(rm -1(λwm -1-qm -1)),

θ23=rm -2+rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)+o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)),

θ31=λwm-qm+rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)=

rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)+o(rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)),

θ32=2(λwm-qm)+rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)=

rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)+o(rm -1(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)),

θ33=2rm -2(λwm-qm)+rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)=

rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)+o(rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)).

η11=θ11+(λwm -2-qm -2)θ13=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η12=θ11+θ12+(λwm -2-qm -2)θ13=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η13=rm -3θ11+rm -3θ12+rm -3(λwm -2-qm -2)θ13=rm -1rm -2rm -3(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2rm -3(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η21=θ21+(λwm -2-qm -2)θ23=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η22=θ21+θ22+(λwm -2-qm -2)θ23=rm -1rm -2(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm -1-qm -1))((λwm -2-qm -2)),

η23=rm -3θ21+rm -3θ22+rm -3(λwm -2-qm -2)θ23=

rm -1rm -2rm -3(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+o(rm -1rm -2rm -3(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η31=θ31+(λwm -2-qm -2)θ33=rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η32=θ31+θ32+(λwm -2-qm -2)θ33=rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)+

o(rm -1rm -2(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)),

η33=rm -3θ31+rm -3θ32+rm -3(λwm -2-qm -2)θ33=rm -1rm -2rm -3(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)·

(λwm -2-qm -2)+o(rm -1rm -2rm -3(λwm-qm)(λwm -1-qm -1)(λwm -2-qm -2)).

(18)

再結(jié)合引理4中的結(jié)果(Φ(b,λ)=Ψ(b,λ)GΦ(c,λ))可得：

(19)

定理1設(shè)m,n∈N，g12≠0， 且式(8)—(10)成立，H(λ)=(hij(λ))3 ×3與引理1中的定義一致，則問題(1)至多有m+n+2個特征值.

下面考慮區(qū)別于式(1)的另一類情形，即：

由式(1)和式(2)可知，兩類含譜參數(shù)問題的區(qū)別僅是對方程中py″和py′的求導(dǎo)不同，即式(1)中是對py″求一階導(dǎo)數(shù)，而式(2)中是對py′求二階導(dǎo)數(shù)，因此在證明過程中僅給出各自方程等價系統(tǒng)的矩陣形式即可.故令u1=y,u2=y′,u3=py″， 由此可得與方程(py″)′+qy=λwy和(py′)″+qy=λwy等價的系統(tǒng)為：

u′1=ru2,u′2=u3,u′3=(λw-q)u1.

(20)

由于證明式(2)的方法與證明式(1)的方法相似，故本文在此省略.其中的區(qū)別是：在系統(tǒng)(20)中，u1在r恒等于零的子區(qū)間上是常數(shù)，u3在q和w恒等于零的子區(qū)間上是常數(shù).