CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪效果的研究
——基于黃金收盤價數(shù)據(jù)的實證檢驗

張從巧，王星惠，郭倩倩

(安徽大學(xué) 大數(shù)據(jù)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

金融時間序列的預(yù)測一直是熱門的話題之一，尤其股票價格的預(yù)測更是得到了許多學(xué)者的關(guān)注。郭興義等[1]以美國等成熟市場的高頻數(shù)據(jù)為例，指出其具有高峰度、ARCH效應(yīng)等特征，因此對其建模更具有難度。姚洪剛等[2]指出股票數(shù)據(jù)大多為高頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)中的噪聲不可忽視，并且此類金融時間序列具有非平穩(wěn)、非線性等特點。由于國際形勢動蕩以及世界經(jīng)濟(jì)的不穩(wěn)定，黃金受到了越來越多的關(guān)注，并且隨著現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，黃金在各行業(yè)均具有廣泛的應(yīng)用前景。因此，對黃金價格進(jìn)行預(yù)測具有一定的現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)意義。

金融時間序列數(shù)據(jù)以高頻為主要特征，因此對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，從而更好地利用去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析是有必要的。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)是由Huang等[3]提出的一種針對非線性非平穩(wěn)時間序列的處理方法，該方法將原始序列分解為若干個不同時間特征尺度和頻率的固有模態(tài)函數(shù)(IMF)和一個趨勢項，其中被分解出的IMF分量的頻率依次降低。EMD去噪的思想是采用某種準(zhǔn)則將IMF分量劃分為高頻和低頻兩個組別。由于噪聲主要集中在高頻IMF中，因此EMD去噪是用原始數(shù)據(jù)減去被判定為高頻的IMF分量，從而將噪聲從原始數(shù)據(jù)中過濾掉。李合龍等[4]針對我國股市存在噪聲大的特點，對行業(yè)數(shù)據(jù)采用了改進(jìn)的EMD算法進(jìn)行去噪。但是EMD分解存在模態(tài)混亂、端邊效應(yīng)等缺點，于是Wu等[5]通過在原始數(shù)據(jù)中多次添加白噪聲后再進(jìn)行EMD分解，提出了集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，實驗證明EEMD方法有效地改善了模態(tài)混合現(xiàn)象。Mohguen等[6]將EEMD和改進(jìn)的自定義閾值函數(shù)應(yīng)用于心電信號去噪，文章仿真結(jié)果表明，該方法具有更小的均方誤差。但EEMD在分解重構(gòu)的過程中會出現(xiàn)噪聲殘留的現(xiàn)象，基于此，Yeh等[7]提出了補(bǔ)充的集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD),該算法是通過向數(shù)據(jù)中添加若干組正、負(fù)成對的白噪聲分別進(jìn)行EMD分解，再將分解的結(jié)果進(jìn)行平均從而得到最終的IMF分量。Niu等[8]利用CF-CEEMD算法降低全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)傳感器背景噪聲的影響，并引入了一個帶加性噪聲的非線性信號檢驗CF-CEEMD方法的降噪效果。María等[9]在EMD的基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise,CEEMDAN)，該方法是通過添加經(jīng)過EMD分解后含白噪聲的IMF分量和計算唯一余量信號來執(zhí)行的。Peng等[10]采用帶自適應(yīng)噪聲的CEEMDAN算法對振動信號進(jìn)行分解，并利用濾波算法的目標(biāo)函數(shù)獲得最優(yōu)去噪信號。Zhang等[11]在對風(fēng)速進(jìn)行預(yù)測時，使用CEEMDAN-SVD算法對風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪，最終預(yù)測結(jié)果表明，該模型能提高風(fēng)速預(yù)測效果，減小預(yù)測誤差。

小波閾值去噪的原理是采用Mallat算法對原始信號進(jìn)行小波變換，產(chǎn)生若干個含有重要信息的小波系數(shù)，然后采取某種準(zhǔn)則選擇出一個合適的閾值，將小波系數(shù)小的噪聲信號從原始信號中過濾掉。Donoho[12]指出小波閾值去噪方法的實質(zhì)是先給定固定閾值，再將小波變換得到的小波系數(shù)中小于閾值的小波系數(shù)設(shè)置為零。鐘建軍等[13]利用小波閾值去噪對汽車自動變速器臺架試驗中的汽車角加速度進(jìn)行了去噪處理。Hu等[14]利用基于小波閾值去噪的LS-SVM法對船舶水動力導(dǎo)數(shù)進(jìn)行識別，并證明該方法可以有效地獲得水動力導(dǎo)數(shù)。Zu等[15]結(jié)合軟、硬閾值函數(shù)的特點，提出一種新的閾值計算方法并運用于語音降噪。閾值函數(shù)的選擇會影響降噪的效果，常見的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)，以及近些年發(fā)展起來的軟硬閾值折中函數(shù)。

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解去噪是將分解得到的高頻分量從原信號中直接去除，但是在去除高頻噪聲的同時也會壓制高頻IMF分量中的有效信息。小波閾值去噪在處理低于閾值的小波系數(shù)時，雖然會壓制大部分噪聲，但會將小幅度的有效信息一并去除。隨著理論研究的不斷發(fā)展，將這兩種算法組合起來的聯(lián)合去噪方法被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。如杜修力等[16]提出將EMD與小波閾值聯(lián)合的去噪方法，并通過仿真實驗證明了該算法比單獨使用EMD去噪或小波閾值去噪的處理效果要好。朱莉[17]利用EEMD-小波軟閾值對股指期現(xiàn)貨的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，再運用BEKK-GARCH模型來對降噪后的高頻數(shù)據(jù)的波動溢出效應(yīng)進(jìn)行研究。Yang等[18]對SVMD分解得到的IMF根據(jù)噪聲含量不同，分別使用改進(jìn)的小波閾值法和SG法進(jìn)行去噪，有效地抑制了船舶海洋環(huán)境噪聲輻射。Long等[19]針對以低頻波為特點的地震信號，提出了一種改進(jìn)的EMD-小波閾值去噪方法。蔣沅等[20]利用EEMD對超聲水表流速信號進(jìn)行分解，再使用改進(jìn)的小波閾值算法進(jìn)行降噪處理，結(jié)果表明基于EEMD改進(jìn)的小波閾值算法對超聲水表流速信號具有較好的降噪效果。

在對金融時間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測中，國內(nèi)外學(xué)者采用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測較多，其模型簡單，并且不需要借用額外的外生變量，但在實際預(yù)測中，大多數(shù)時間序列經(jīng)過ARIMA模型擬合后仍存在條件異方差[21-23]。因此，許多學(xué)者將ARIMA模型和GARCH模型組合在一起對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。如Yaziz等[24]利用不同分布的ARIMA-TGARCH模型對黃金價格進(jìn)行預(yù)測，并將不同分布下的混合模型進(jìn)行比較。Liu等[25]利用ARMA和ARMA-GARCH模型對SPI-9干旱指數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并證明了ARMA-GARCH模型在旱情預(yù)測方法上的優(yōu)越性。Lin等[26]針對交通客流量的預(yù)測，提出了基于ARIMA-GARCH-M模型的短期高速交通流預(yù)測方法,該模型表現(xiàn)出良好的預(yù)測精度和穩(wěn)定性。劉維源等[27]使用ARIMA-GARCH模型對蘇州軌道節(jié)假日的客流量進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明，該模型可以有效識別節(jié)假日客流特征，并具有較好的預(yù)測效果。

受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，可以先對數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，然后對去噪后的數(shù)據(jù)擬合相應(yīng)的模型進(jìn)行預(yù)測，從而達(dá)到提高模型預(yù)測效果的目的。因此，本研究將基于CEEMDAN-小波閾值方法的ARIMA-GARCH模型運用于預(yù)測上海黃金交易所的Au(T+D)每日收盤價數(shù)據(jù)。首先，使用CEEMDAN方法對2004年9月1日至2021年5月31日的收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，再將判定為高頻的IMF進(jìn)行小波閾值去噪，從而獲得去噪后的黃金收盤價；然后對去噪后的數(shù)據(jù)利用ARIMA-GARCH模型進(jìn)行預(yù)測，將預(yù)測結(jié)果與對照組模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比。研究結(jié)果表明，基于CEEMDAN-小波閾值去噪的ARIMA-GARCH混合模型的預(yù)測效果更好。

1 理論模型

1.1 CEEMDAN算法

CEEMDAN是通過添加經(jīng)過EMD分解后含白噪聲的IMF分量和計算唯一余量信號來執(zhí)行的，該算法能在克服模態(tài)混疊問題的同時，使分解得到的IMF分量中殘留的噪聲更少。CEEMDAN算法實現(xiàn)步驟如下：

(1)

(2)

(2)用原始信號x(t)減去第(1)步得到的第一階模態(tài)分量IMF1(t)得到第一個余量信號r1(t)，即

r1(t)=x(t)-IMF1(t)。

(3)

(3)將r1(t)和白噪聲經(jīng)過EMD分解得到的第一個分量E1[vi(t)]相加，對其進(jìn)行EMD分解得到第二個CEEMDAN分量IMF2(t)，即

(4)

(4)重復(fù)以上兩步，得到CEEMDAN的第k個分量 ，如下：

(5)

(5)當(dāng)殘差序列不能再分解時，記最終的殘差為r(t)，所有模態(tài)分量與r(t)的關(guān)系如下所示：

(6)

1.2 小波閾值去噪

小波閾值去噪是對原始信號進(jìn)行小波變換，從而產(chǎn)生若干個含有重要信息的小波系數(shù)。有效信息的小波系數(shù)大于噪聲的小波系數(shù)，然后采取某種準(zhǔn)則選擇出一個合適的閾值，過濾掉小波系數(shù)小的噪聲信號。小波閾值去噪可分為以下3步進(jìn)行：

(1)分解信號過程。選擇一種小波基函數(shù)對信號進(jìn)行N層小波分解，通常N取5層左右。

(2)閾值處理過程。對第(1)步分解的各層系數(shù)選擇一個合適的閾值進(jìn)行閾值處理，獲得估計的小波系數(shù)。

(3)信號重構(gòu)過程。把上面去噪后的信號進(jìn)行小波重構(gòu)，獲得去噪后的數(shù)據(jù)。

1.3 CEEMDAN-小波閾值去噪

綜合CEEMDAN算法和小波閾值去噪的思想，本研究提出CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪法。具體步驟如下所示：

(1)使用CEEMDAN算法將原始數(shù)據(jù)分解成k個IMF和一個趨勢項r(t)。

(2)計算k個IMF與原始數(shù)據(jù)x(t)之間的相關(guān)系數(shù)，將第一個相關(guān)系數(shù)大于0.1的分量前k′個IMF定義為高頻分量。

(3)對上步判定為高頻分量的k′個IMF進(jìn)行基于軟硬閾值折中的小波閾值去噪，得到IMF′。

(4)將低頻組IMF和經(jīng)過小波閾值去噪的高頻組IMF′進(jìn)行重構(gòu)，得到CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪后的數(shù)據(jù)。

CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪在抑制噪聲、消除小幅度的有效信息的同時，保留了高頻IMF中有用的信息，將兩種算法的優(yōu)勢進(jìn)行結(jié)合，提高了去噪的效果。

1.4 ARIMA-GARCH模型

ARIMA模型的殘差序列通常波動很大，且容易出現(xiàn)“波動聚集”現(xiàn)象，因此，應(yīng)用中常對殘差序列進(jìn)行GARCH模型擬合。GARCH(1,1)模型簡潔并可以擬合大多數(shù)金融數(shù)據(jù)的ARCH效應(yīng)。因此，本文采用ARIMA(p,d,q)-GARCH(1,1)模型對存在ARCH效應(yīng)的金融時間序列進(jìn)行預(yù)測，其表達(dá)式如下：

均值方程：

(7)

條件方差方程：

(8)

1.5 模型評價標(biāo)準(zhǔn)

(1)均方誤差(Mean Squared Error，MSE)。

(9)

(2)平均絕對誤差(Mean Absolute Error，MAE)。

(10)

(3)平均絕對百分比誤差(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)。

(11)

(4)最優(yōu)次數(shù)。某個模型預(yù)測的最優(yōu)次數(shù)為其預(yù)測值最接近真實值的次數(shù)。在以上4個評價指標(biāo)中，MSE、MAE、MAPE的3個指標(biāo)的值越小，表明預(yù)測值與真實值之間的差距越小，預(yù)測效果越好；最優(yōu)次數(shù)的值越大，表明預(yù)測效果越好。

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)來源

研究使用上海黃金交易所2004年9月1日～2021年5月31日的Au(T+D)每日收盤價作為研究對象，數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫。研究將數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測試集兩個部分，訓(xùn)練集共4 030個數(shù)據(jù)，測試集共30個數(shù)據(jù)。

2.2 實證分析

目前股票數(shù)據(jù)大多為高頻數(shù)據(jù)，此類金融時間序列具有非平穩(wěn)非線性特點，并且存在的噪聲在一定程度上會掩蓋數(shù)據(jù)內(nèi)部規(guī)律，從而增加對其預(yù)測的難度，所以在對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測之前，有必要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。本節(jié)采用CEEMDAN與小波軟硬閾值折中法對黃金收盤價序列(Clsprcd)進(jìn)行聯(lián)合去噪，再利用去噪后的數(shù)據(jù)使用ARIMA-GARCH進(jìn)行預(yù)測，從而達(dá)到提高模型預(yù)測精度的目的，具體流程如圖1所示。同時，本節(jié)使用文獻(xiàn)[28]中的ARIMA-GARCH模型對黃金收盤價序列進(jìn)行預(yù)測，將其結(jié)果與去噪后的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，從而衡量去噪對預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生的影響。

圖1 數(shù)據(jù)去噪后預(yù)測流程圖

首先，采用CEEMDAN分解方法對Clsprcd序列進(jìn)行分解，得到IMF時序圖如圖2所示。由圖2可知，分解結(jié)果為8個固有模態(tài)函數(shù)IMFi(i=1,2,…,8)和一個趨勢項，即原始非線性非平穩(wěn)的黃金收盤價序列被分解為9個相對平穩(wěn)的子序列。并且分解得到的8個IMF分量和趨勢項的頻率依次降低，其中IMF1分量波動幅度最為劇烈并且其蘊含的噪聲最多。從圖2中可以看出，IMF1有很多趨于時間軸的小幅度高頻波動，之后各個分量的震動頻率越來越小，曲線也逐漸趨于平緩，最后的趨勢項已可近似為一條隨時間上升的曲線。

表1 IMF與Clsprcd相關(guān)系數(shù)

高頻IMF中所含的噪聲多于低頻分量，其可利用的有效信息也遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于低頻分量。因此可以采用某種準(zhǔn)則對IMF劃分為高頻和低頻兩個組別，然后再對含噪聲多的高頻IMF使用小波閾值算法進(jìn)行降噪處理。本文是通過計算CEEMDAN分解得到的IMF和趨勢項與Clsprcd序列之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分組，如果相關(guān)系數(shù)大于0.1，則判定此IMF為低頻分量，反之為高頻分量。然后對高頻IMF進(jìn)行小波閾值去噪。IMF與Clsprcd之間的相關(guān)系數(shù)如表1所示。從表1中可知，IMF1～I(xiàn)MF6的相關(guān)系數(shù)小于0.1，即為含噪聲多的高頻分量，而IMF7和IMF8這兩個則為低頻分量，因此，本研究選取前6個IMF分量進(jìn)行進(jìn)一步的降噪處理。

圖2 IMF時序圖

影響小波閾值降噪的兩個重要因素是小波基的選擇和閾值函數(shù)的選擇，因此在對數(shù)據(jù)進(jìn)行小波閾值去噪時需要選擇合適的小波基，小波基不同，分解的效果也不同。本研究選取具有較好對稱性的sym8小波基函數(shù)對黃金收盤價進(jìn)行5層小波分解，其可以在一定程度上降低數(shù)據(jù)重構(gòu)時帶來的誤差。對小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理時，常見的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)以及軟閾值函數(shù)。硬閾值法處理時注重局部信息的保留，但是有附加震蕩因而會導(dǎo)致局部失真；軟閾值法處理時使重構(gòu)信號更加光滑但是誤差相對較大。軟、硬閾值方法在實際中得到了廣泛的應(yīng)用，但存在的缺點也不容忽視，為了克服這兩個方法存在的問題，本研究使用結(jié)合軟、硬閾值方法的軟硬閾值折中方法，對IMF1～I(xiàn)MF6分別進(jìn)行小波閾值降噪。

圖3 IMF1小波閾值去噪前后對比圖

對去噪后的黃金價格X(t)進(jìn)行建模預(yù)測，結(jié)果如圖4所示。從圖4a中可以看出，收盤價序列隨時間的變化有明顯的上升趨勢，不滿足ARMA模型建模所需的平穩(wěn)性條件。因此對數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分處理以消除其單位根，記為diff_X(t)。從圖4b可以看出，一階差分后的數(shù)據(jù)在0附近上下波動，并且沒有明顯的單調(diào)性和周期性。

圖4 去噪后黃金價格序列及一階差分后時間序列趨勢圖

使用R軟件中的auto.arima()函數(shù)確定ARIMA模型的參數(shù)，最終確定為ARIMA(2,1,5)模型。對均值方程繪制時序圖發(fā)現(xiàn)“波動聚集”現(xiàn)象減輕，但ARCH檢驗還是存在條件異方差性，因此有必要利用ARIMA-GARCH模型對去噪后的收盤價X(t)進(jìn)行預(yù)測。利用ARIMA(2,1,5)和ARIMA(2,1,5)-GARCH(1,1)模型對檢測集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表2所示。采用ARIMA(2,1,5)和ARIMA(2,1,5)-GARCH(1,1)模型預(yù)測的均方誤差分別為1.981、1.796，表明在存在ARCH效應(yīng)的條件下采用ARIMA-GARCH模型聯(lián)合預(yù)測要好于單個模型預(yù)測。

相較于使用文獻(xiàn)[28]中的ARIMA-GARCH模型對黃金價格進(jìn)行預(yù)測，使用CEEMDAN-小波閾值去噪的ARIMA-GARCH模型的預(yù)測結(jié)果在MSE、MAE、MAPE和最優(yōu)率4個指標(biāo)上具有更好的表現(xiàn)。同時，模型評價指標(biāo)如表3所示。由表3可知，CEEMDAN-小波閾值去噪的ARIMA-GARCH模型在預(yù)測黃金收盤價上明顯優(yōu)于其他模型。

從誤差評價指標(biāo)來看，預(yù)測效果最好的為CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪的ARIMA-GARCH模型，聯(lián)合去噪在對收盤價序列去噪的同時并未損失數(shù)據(jù)中的有效信息，并且ARIMA-GARCH模型考慮了金融時間序列的異方差性，提高了模型的預(yù)測精度。預(yù)測效果最差的是使用CEEMDAN去噪的ARIMA-GARCH模型，原因是簡單使用CEEMDAN進(jìn)行去噪，會將判定為噪聲主導(dǎo)的高頻分量中蘊含的有效信息去除，導(dǎo)致數(shù)據(jù)過度去噪，從而該模型的預(yù)測誤差最大，預(yù)測效果最差。從最優(yōu)次數(shù)指標(biāo)來看，除了CEEMDAN去噪，去噪數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果最優(yōu)次數(shù)明顯好于未去噪的。

表2 ARIMA(2,1,5)和ARIMA(2,1,5)-GARCH(1,1)預(yù)測結(jié)果(去噪后Clsprcd)

表3 模型評價指標(biāo)

圖5 模型預(yù)測效果對比圖

由于CEEMDAN去噪效果不理想，為了更好地看出各模型的預(yù)測效果，聯(lián)合去噪的ARIMA-GARCH的預(yù)測結(jié)果與其他對照組的模型預(yù)測結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，研究所采取的CEEMDAN-小波閾值聯(lián)合去噪的ARIMA-GARCH的預(yù)測結(jié)果相對平穩(wěn)，在30期的預(yù)測上沒有出現(xiàn)很大的相對誤差，該模型的預(yù)測結(jié)果與真實值更為接近。而僅使用ARIMA-GARCH模型的預(yù)測結(jié)果，雖然預(yù)測出原始序列的大致趨勢，但在某些時間點上丟失了部分信息，導(dǎo)致出現(xiàn)較大波動。

3 結(jié)論

在世界經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定，國際形勢動蕩的情形下，黃金作為一種具有價值存儲功能的交換媒介在國際交易中被廣泛使用，因此對其進(jìn)行預(yù)測有一定的經(jīng)濟(jì)意義。但是作為一種金融時間序列，其含有的噪聲不容忽視，如果不對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理而直接預(yù)測，可能會出現(xiàn)預(yù)測誤差大，預(yù)測結(jié)果與真實值存在一定偏差的現(xiàn)象，因此有必要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的去噪處理。

CEEMDAN去噪會在抑制噪聲的同時將高頻分量中的有用信息一并去除，而如果簡單的使用小波閾值去噪也會損失小幅度的有用信息。本研究將這兩種去噪方法結(jié)合起來，并同時考慮到小波閾值去噪中軟、硬閾值去噪的缺點，提出了CEEMDAN結(jié)合軟硬閾值折中法的小波閾值去噪的方法對黃金收盤價序列進(jìn)行去噪。此外，研究在考慮黃金收盤價序列中存在噪聲的同時，考慮到作為一種時間序列數(shù)據(jù)會存在異方差的現(xiàn)象。因此在對去噪后數(shù)據(jù)擬合ARIMA模型的基礎(chǔ)上，使用GARCH(1,1)模型擬合殘差序列，從而提高模型的預(yù)測精度。

通過測試集30期的收盤價的預(yù)測結(jié)果來看，本研究所提出的基于聯(lián)合去噪的ARIMA-GARCH模型不僅將軟硬閾值折中的小波閾值去噪法與CEEMDAN去噪結(jié)合在一起，還考慮到了金融時間序列的異方差性，其預(yù)測效果較僅使用ARIMA-GARCH模型的預(yù)測更為突出，且具有最小的預(yù)測誤差，最優(yōu)次數(shù)最高。因此，利用此模型來預(yù)測黃金收盤價是有效的，可為投資者提供一定的決策意見。