利用徑向有效勢(shì)能的性質(zhì)巧解競(jìng)賽題

鄭 金

（凌源市職教中心，遼寧 凌源 122500）

1 歸納徑向有效勢(shì)能的性質(zhì)

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)，在極坐標(biāo)系中的總能量為，由于質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，則J=mvθr保持不變，因此總能量為

因此可把第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和稱為徑向運(yùn)動(dòng)的“有效勢(shì)能”，即為

當(dāng)徑向動(dòng)能為0時(shí)，有效勢(shì)能取最大值，即Ueff=E.此時(shí)質(zhì)點(diǎn)徑向速度為0，恰好到達(dá)徑向運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，那么質(zhì)點(diǎn)到力心的距離為最大值或最小值.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)徑向運(yùn)動(dòng)的平衡點(diǎn)時(shí)，有效勢(shì)能取最小值.

有效勢(shì)能的公式、有效勢(shì)能的取值范圍、有效勢(shì)能的極值條件以及有效勢(shì)能在平衡點(diǎn)關(guān)于矢徑的二階導(dǎo)數(shù)的物理含義，實(shí)際都物理學(xué)中的二級(jí)結(jié)論，在用來(lái)解答有關(guān)的物理問(wèn)題時(shí)無(wú)形地省略了某些推導(dǎo)過(guò)程，由此可起到化繁為簡(jiǎn)的作用.

2 利用有效勢(shì)能的性質(zhì)解題

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的某些物理問(wèn)題，可利用有效勢(shì)能的表達(dá)式把復(fù)雜的二維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)解決，這種方法獨(dú)特新穎，簡(jiǎn)便快捷.下面以3道物理競(jìng)賽題為例進(jìn)行分析.

例1.（第26屆決賽題第3題）如圖1所示，在水平面上有兩根垂直相交的內(nèi)壁光滑的連通細(xì)管，管內(nèi)放置兩個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為q的同號(hào)帶電質(zhì)點(diǎn)A和B.開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A至兩管交點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)B位于交點(diǎn)O處，速度相互垂直，方向如圖1所示，大小均為，k為靜電力常量.求在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，它們之間的最小距離.

圖1

解法1：利用機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律.

首先分析某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A和B在平面內(nèi)的受力情況如圖2所示，利用正交分解法可知，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)A有Fsinθ=NA，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)B有Fsinθ=maB.

圖2

若以質(zhì)點(diǎn)B為參考系，則質(zhì)點(diǎn)A受到的慣性力大小為F′=maB，其方向與NA方向相反.由此可知，此慣性力恰好與軌道彈力NA相互抵消，那么質(zhì)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于在有心場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，則相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)B既有縱向運(yùn)動(dòng)，又有橫向運(yùn)動(dòng)即轉(zhuǎn)動(dòng).

質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于B的初速度大小為，方向斜向下，沿第4象限的角平分線方向.在有心力的作用下，角動(dòng)量保持不變，可知質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于B的角動(dòng)量大小為

質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于B的總能量保持不變，即為

有心力為庫(kù)侖斥力，相對(duì)初速度方向與斥力方向夾角為鈍角，瞄準(zhǔn)距離大于0，類似于α粒子散射，因此質(zhì)點(diǎn)A相對(duì)于B的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線，質(zhì)點(diǎn)B位于焦點(diǎn)，可知當(dāng)質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到軌跡的頂點(diǎn)時(shí)二者之間的距離最小，且相對(duì)速度方向與矢徑垂直，設(shè)此時(shí)相對(duì)速度大小為v，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離為r，由角動(dòng)量守恒定律有

聯(lián)立方程可得4r2-2dr-d2=0，

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是選擇其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)為參考系，對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)考慮慣性力，使其只受到有心力的作用，并且需計(jì)算初始角動(dòng)量和總能量.在應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律列方程時(shí)，需首先判斷運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線，以便確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至軌跡頂點(diǎn)時(shí)到力心的距離最??；在列角動(dòng)量守恒方程以及能量守恒方程時(shí)，需選擇兩個(gè)特殊點(diǎn)，而且涉及到的速度都用相對(duì)于參考點(diǎn)的速度，通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)方程來(lái)求出距離的最小值.

解法2：利用徑向有效勢(shì)能的取值范圍.

設(shè)某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)A到B的距離為r，在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，質(zhì)點(diǎn)A的有效勢(shì)能為

點(diǎn)評(píng)：除了選擇質(zhì)點(diǎn)B為平動(dòng)參考系外，還需選擇極徑為轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，以便寫出質(zhì)點(diǎn)的有效勢(shì)能，并且根據(jù)“有效勢(shì)能不大于總能量”求出距離的最小值.若不用拋物線分析距離的最小值，則可對(duì)不等式進(jìn)行觀察，可知r存在最小值，當(dāng)Ueff=E時(shí)r取最小值，則有方程

例2.在真空中有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m和M，帶電荷量分別為+q1和-q2，開始相距為l，其中質(zhì)點(diǎn)M的初速度為0，質(zhì)點(diǎn)m的初速度大小為v，方向垂直于二者的連線，已知兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離存在最小值，不計(jì)萬(wàn)有引力，求它們?cè)谝院筮\(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離的最小值.

解法1：利用等效勢(shì)能和機(jī)械能守恒定律.

開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)M的加速度大小為，

方向由質(zhì)點(diǎn)M指向m.

若以質(zhì)點(diǎn)M為參考系，則質(zhì)點(diǎn)m受到慣性力的大小為F′=maM，方向由質(zhì)點(diǎn)m指向M.設(shè)距離變量為r，則質(zhì)點(diǎn)m受到的合力的大小為

方向由質(zhì)點(diǎn)m指向M.

由此可見，質(zhì)點(diǎn)m受到有心力的作用，由于初速度方向與作用力方向垂直，而且兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離存在最小值，因此質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)M做橢圓運(yùn)動(dòng).取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)能為零，設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a，與衛(wèi)星的機(jī)械能總量表達(dá)式進(jìn)行類比，可知質(zhì)點(diǎn)m在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的總能量為

點(diǎn)評(píng)：之所以沒有利用角動(dòng)量守恒定律列方程，是因?yàn)樵趹?yīng)用機(jī)械能守恒定律列方程時(shí)，利用了橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量公式.但衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能總量公式成立的條件是中心天體的質(zhì)量比環(huán)繞天體的質(zhì)量大得多，即在衛(wèi)星的質(zhì)量比地球的質(zhì)量小得多的條件下，方可認(rèn)為地球固定不動(dòng).對(duì)于題中的兩個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)而言，沒有給出質(zhì)量相差懸殊這個(gè)條件，若認(rèn)為其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)固定不動(dòng)，則需對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)添加慣性力，或者認(rèn)為其折合質(zhì)量為，那么系統(tǒng)的能量守恒方程應(yīng)為

解法2：利用徑向有效勢(shì)能的取值范圍.

當(dāng)徑向動(dòng)能為0時(shí)，有效勢(shì)能等于總能量，即

剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)初速度方向與矢徑垂直，由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒，可知J=m′vl.

考慮到橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量小于0，可得關(guān)于r的一元二次方程

方程的兩個(gè)根分別為距離的最大值和最小值，可知二者之和等于橢圓的長(zhǎng)軸，即

利用求根公式可知

由此可得距離的最大值為r1=l，最小值為

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是利用徑向運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的特點(diǎn)列方程，即當(dāng)徑向動(dòng)能為零時(shí)，有效勢(shì)能等于總能量，通過(guò)解方程可求得質(zhì)點(diǎn)到力心距離的最大值或最小值.要特別注意有關(guān)方程中的質(zhì)量是指折合質(zhì)量.

例3.如圖3所示，兩個(gè)同軸帶電無(wú)限長(zhǎng)半圓柱面，內(nèi)外圓柱面半徑分別為a、b，設(shè)在a＜r＜b區(qū)域內(nèi)只有徑向電場(chǎng)，已知場(chǎng)強(qiáng)分布為，電勢(shì)分布為，其中k和b為常量.現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶電荷量為-q（q＞0）的粒子組成的粒子束以大小相同的初速度v0從左方射入，不計(jì)電荷間的相互作用，其中初速度的方向既與圓柱面軸線垂直又與入射處直徑垂直的粒子剛好沿半徑為R（a＜R＜b）的半圓軌道運(yùn)動(dòng).（1）試求v0的值；（2）若其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個(gè)很小的角度β，粒子將偏離半圓軌道，設(shè)新軌道與半圓軌道相交于圖中的P點(diǎn).試證明：對(duì)于很小的β角，粒子束可以在P點(diǎn)準(zhǔn)確聚焦，其位置與β無(wú)關(guān)，并求出P點(diǎn)的方位角∠AOP的數(shù)值.

圖3

（2）粒子只受徑向電場(chǎng)力的作用，對(duì)O點(diǎn)的力矩為0，因此粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角動(dòng)量守恒，即

J=mv0R=mr2ω，

在非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，以無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，可知有效勢(shì)能為

有效勢(shì)能關(guān)于矢徑的一階導(dǎo)數(shù)為

在r=R處，關(guān)于矢徑的二階導(dǎo)數(shù)為

表明帶電粒子在r=R處時(shí)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).由于β很小，則粒子偏離平衡位置的距離很小，因此徑向運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).可知等效勁度系數(shù)為，所以徑向運(yùn)動(dòng)周期為

利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子從初始位置運(yùn)動(dòng)到交點(diǎn)P經(jīng)歷的時(shí)間為半個(gè)周期，即

所以P點(diǎn)的方位角即粒子橫向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為

點(diǎn)評(píng)：由于其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個(gè)很小的角度β，則粒子運(yùn)動(dòng)軌跡將偏離半圓軌道，那么曲線運(yùn)動(dòng)不是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度將發(fā)生變化，但由于粒子只受到有心力的作用，則角動(dòng)量守恒，因此可利用有效勢(shì)能公式進(jìn)行解答.徑向運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，由于是小振動(dòng)，則屬于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一部分，相繼兩次經(jīng)過(guò)徑向運(yùn)動(dòng)平衡位置的時(shí)間恰好等于半個(gè)周期.

綜上可見，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，除了一般解法外，有時(shí)還可利用有效勢(shì)能的性質(zhì)進(jìn)行解答，不僅拓展了解題思路和方法，還可化繁為簡(jiǎn)，顯得巧妙快捷.