基于“模型思想”的高中數(shù)學(xué)立體幾何單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

◎ 海南省華僑中學(xué) 趙 濤◎ 海南省海口市教育培訓(xùn)院 孫元?jiǎng)?/p>

一、問題的提出

高三復(fù)習(xí)不是知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)和再現(xiàn)，而是鞏固和加深學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。教師通過對(duì)學(xué)生已學(xué)過的知識(shí)重新整合與加工，有所創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，可以提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟、內(nèi)化和升華，從而提高高三復(fù)習(xí)教學(xué)的效率。

高中數(shù)學(xué)中立體幾何內(nèi)容作為一個(gè)重要模塊，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容載體。主體幾何內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)多且零散，考查方式題型多樣，學(xué)生掌握較為困難，尤其是空間向量知識(shí)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教學(xué)之后，學(xué)生往往不愿思考，完全依靠向量坐標(biāo)法來(lái)求解，陷入耗時(shí)耗力、會(huì)而不對(duì)的境地。因此，更需要教師站在單元教學(xué)的視角下，幫助學(xué)生加深對(duì)幾何圖形結(jié)構(gòu)特征及基本圖形之間關(guān)系的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。

二、“立體幾何中的模型思想”單元教學(xué)設(shè)計(jì)

喻平教授認(rèn)為，從數(shù)學(xué)單元教學(xué)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用層面分析，數(shù)學(xué)單元教學(xué)主要有“以問題解決過程線索為主題”“以建立個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)（個(gè)體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)）為主題”“以概念生長(zhǎng)為主題”和“以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題”四種單元教學(xué)設(shè)計(jì)模式。其中“以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題”的單元教學(xué)按照“確定數(shù)學(xué)思想方法—圍繞方法設(shè)計(jì)題組—師生共同解決問題—回顧反思總結(jié)規(guī)律”組織實(shí)施。下面根據(jù)“以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題”的單元教學(xué)模式，進(jìn)行“立體幾何中的模型思想”教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.情境引入。

引導(dǎo)語(yǔ)：《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”

師生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)朗讀，并解釋含義。

設(shè)計(jì)意圖：用鱉臑生僻字活躍課堂氣氛，吸引學(xué)生注意，引入本堂課的主題。

2.解密鱉臑，垂直一線牽。

探究一：?jiǎn)栴}1：如圖1，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，四面體P-ABC中有幾個(gè)直角三角形?你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直？為什么？

圖1

師生活動(dòng)：通過師生交流，明確△PAB，△PAC，△ACB，△PCB是直角三角形。

追問1：為什么？你能分別哪個(gè)角是直角？如何證明？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)拘延洃洠谥苯侨切蔚呐卸ó?dāng)中，復(fù)習(xí)線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)換。從△PAB，△PAC是直角三角形的判斷中復(fù)習(xí)直線與平面垂直的判定定理，從線面垂直得到線線垂直；在△PCB是直角三角形的判斷中，體會(huì)從線線垂直轉(zhuǎn)化至線面垂直，再?gòu)木€面垂直的定義轉(zhuǎn)化為線線垂直，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。

追問2：你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直？為什么？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PBC⊥平面PAC，在師生交流過程中理解平面與平面垂直判定定理。

設(shè)計(jì)意圖：將線線垂直與線面垂直關(guān)系進(jìn)一步向面面垂直轉(zhuǎn)化，復(fù)習(xí)平面與平面垂直的判定定理。在探究過程當(dāng)中，復(fù)習(xí)三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，明確線面垂直在三種垂直關(guān)系中的核心作用。引入基本圖形，給出鱉臑定義，引導(dǎo)學(xué)生在研究空間圖形的過程中學(xué)會(huì)思考，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

3.巧識(shí)鱉臑，妙解空間角。

問題2：如圖2，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值。

圖2

師生活動(dòng)：?jiǎn)柎穑瑢W(xué)生板演，展示。

設(shè)計(jì)意圖：高三復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生容易重視空間向量法，忽視幾何法，對(duì)線面角的作法不熟悉，答題困難。在鱉臑?zāi)Ｐ偷幕A(chǔ)上，附加條件，從證明問題變?yōu)榍笾本€與平面成角問題。引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)線面角的作法，復(fù)習(xí)借助面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)作平面的垂線，并從幾何法的角度給出解答。

分析：取PC中點(diǎn)E，連接AE，EM，由PA=AC，則AE⊥PC，由平面PBC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC=PC，則AE⊥平面PBC，則∠AME為AM與平面PBC所成角。易得t。

探究二：?jiǎn)栴}3：如圖3，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，各個(gè)面形成幾個(gè)二面角？分別是哪些？你會(huì)求嗎？

圖3

師生活動(dòng)：在交流的過程中引導(dǎo)學(xué)生找出圖3中6個(gè)二面角的平面角。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)二面角的概念，并根據(jù)二面角的平面角定義，明確作出二面角的平面角的方法——定義法、垂面法和垂線法，如上圖4所示。

圖4

問題4：如圖5，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，若PA=AC=BC，試求二面角C-PB-A的大小。

圖5

分析：設(shè)PA=AC=BC=1，取PC中點(diǎn)E，連接AE，由PA=AC，則AE⊥PC，由平面PBC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC=PC，則AE⊥平面PBC，作EF⊥PB，則PB⊥平面AEF，連結(jié)AF，PB⊥AF，則∠AFE為二面角A-BP-C的平面角，因?yàn)椤鱌FE∽△PCB，易得，△AEF中，，則二面角的大小為。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)二面角的平面角的作法，體會(huì)立體幾何問題平面化的思想。

問題5：如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。

圖6

（1）求證：PB⊥平面EFD；

（2）求二面角C-PB-D的大小。

師生活動(dòng)：?jiǎn)柎?，?qǐng)學(xué)生說(shuō)出想法。

設(shè)計(jì)意圖：基本圖形識(shí)別，活學(xué)活用，立體幾何問題要學(xué)會(huì)識(shí)圖，能從拆分角度分析識(shí)別基本圖形。

4.玩轉(zhuǎn)鱉臑，補(bǔ)形出體積。

問題6：如圖7，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC=1，求該三棱錐的外接球的體積。

圖7

分析：由于PA、AC、BC兩兩垂直，可將三棱錐P-ABC補(bǔ)形成正方體。三棱錐P-ABC的外接球即為正方體的外接球。PB即為正方體對(duì)角線，也是外接球的直徑，體積為π。

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注鱉臑中的兩兩垂直特點(diǎn)，從補(bǔ)形的角度來(lái)分析基本圖形。

5.再析鱉臑，妙解空間角。

問題7：如圖8，在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若PA=AC=BC，M是PB的中點(diǎn)。

圖8

（1）求AM與平面PBC所成角的正弦值；

（2）求二面角C-PB-A的大小。

分析：立體幾何問題的解決可以選取幾何法也可以選取空間向量坐標(biāo)法，如果能將鱉臑?zāi)Ｐ妥R(shí)別出來(lái)，從正方體的角度來(lái)分析，平面CPB和平面APB的法向量是可以直接給出的，有利于明確解題方向，提高解題速度。

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)幾何法與向量坐標(biāo)法的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到深刻理解空間幾何體中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系對(duì)于解決立體幾何問題的重要性，提高向量坐標(biāo)法解題運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度。

6.回扣主題。

“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也?！?/p>

圖9

師生活動(dòng)：立體幾何問題中常見的模型有長(zhǎng)方體模型、三棱錐模型，而鱉臑就是一個(gè)典型的三棱錐模型，且能聯(lián)系溝通長(zhǎng)方體與三棱錐。

設(shè)計(jì)意圖：明確鱉臑的產(chǎn)生，強(qiáng)化基本模型意識(shí)。

7.教材中來(lái)，高考中去。

問題8：（2015年高考湖北理科第19題）將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在如圖10所示的“陽(yáng)馬”P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE。

圖10

（1）證明：PB⊥平面DEF，試判斷四面體DBEF是否為“鱉臑”，若是，寫出每個(gè)面的直角；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若平面DEF與平面ABCD所成二面角的平面角大小為，求的值。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成。教師通過巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解決問題期間產(chǎn)生的困難或錯(cuò)誤，進(jìn)行針對(duì)指導(dǎo)。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

三、教學(xué)反思

1.在教學(xué)過程中，如果只是就題論題，學(xué)生往往容易陷入題海。但是如果能夠認(rèn)真分析，充分發(fā)掘問題的教育價(jià)值，從中發(fā)現(xiàn)基本圖形，有的放矢，從而選擇恰當(dāng)?shù)耐緩?，獲得更合理的解決方案。就像一棵樹由樹根、樹干、樹枝和樹葉組成一樣，“基本圖形”屬于樹根和樹干部分，有“自我生長(zhǎng)能力”。在立體幾何中“抓基本圖形”是非常重要的。正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐是立體幾何中最重要的基本圖形，鱉臑作為特殊的三棱錐，既蘊(yùn)含了豐富的垂直關(guān)系，又可以聯(lián)系正方體、長(zhǎng)方體，是立體幾何的核心圖形。

2.發(fā)現(xiàn)和歸納基本圖形的主陣地應(yīng)該有兩個(gè)。一是教材，例如，本堂課選擇的探究問題和例題全部來(lái)自教材。二是高考題，作業(yè)的兩個(gè)問題都是高考原題。從這種角度來(lái)講，只有教師先下題海，做題、歸納，才有可能從中分析找到基本圖形，為學(xué)生提供了一個(gè)非常好的范例，努力做到“授人以漁”。充分發(fā)揮“基本圖形”的力量，先“基本圖形”再“變式圖形”再“綜合圖形”，只有在連續(xù)而有邏輯關(guān)聯(lián)的幾何問題解決當(dāng)中才能得到推理論證的技能訓(xùn)練，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用幾何概念、性質(zhì)解決立體幾何問題。

3.強(qiáng)調(diào)向量法的作用是立體幾何改革的基本方向，也是解決立體幾何問題的主要方法，但不能將其理解為一種程序性算法。向量法解題的第一步是用向量表示幾何元素，“表示”合理才能保證后續(xù)運(yùn)算的簡(jiǎn)捷?！昂侠肀硎尽钡谋举|(zhì)是準(zhǔn)確反映立體圖形的特征，要以準(zhǔn)確把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)。

4.高考題的命題一定是源于教材，并高于教材。高三復(fù)習(xí)課一直強(qiáng)調(diào)回歸課本，只有在復(fù)習(xí)的過程中向?qū)W生揭示高考題與教材原型的關(guān)系，才能正確引導(dǎo)學(xué)生回歸課本?？傊n本是使學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體，脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué)。教師最基本且重要的職責(zé)是教好課本。只有從中發(fā)現(xiàn)基本圖形，掌握基礎(chǔ)概念，踏實(shí)訓(xùn)練，才是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的捷徑。