從二次根式的性質(zhì)教學(xué)淺談初高數(shù)學(xué)教學(xué)銜接

劉克華

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、案例背景

浙教版數(shù)學(xué)七上第1章《有理數(shù)》的學(xué)習(xí)，完成了數(shù)的第一次拓展——負(fù)數(shù)的產(chǎn)生。再到第3章《實(shí)數(shù)》的學(xué)習(xí)，完成了數(shù)的第二次拓展——無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生。至此初中階段數(shù)的拓展已全部完成。其中，平方根和立方根的學(xué)習(xí)在完成這個(gè)拓展中起到了至關(guān)重要的作用。然而，初中階段對(duì)于根式的研究?jī)H停留在根指數(shù)為2次和3次的階段，高中提出了更高的要求——n（n為正整數(shù)）次方根。這個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)又將初中階段的整數(shù)次冪拓展到分?jǐn)?shù)乃至實(shí)數(shù)次冪，學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷數(shù)的拓展過(guò)程，完善了對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)（圖1-1）。

數(shù)系雖然拓展了，但是數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律卻沒(méi)有發(fā)生變化。數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程就是數(shù)學(xué)家研究和發(fā)展數(shù)學(xué)的過(guò)程，每步研究都吸取了前人的成果和經(jīng)驗(yàn)。因此，數(shù)學(xué)的教學(xué)也應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)和數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，用已解決的問(wèn)題作為解決新問(wèn)題的支點(diǎn)。從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來(lái)看，初中階段根式的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是高中根式學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，這是從能力立意走向素養(yǎng)立意，關(guān)注學(xué)生可長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的高階思維。

二、初高階段方根 和根式教學(xué)內(nèi)容對(duì)比和教學(xué)銜接分析

（一）從“二次根式”到“根式”

下面從根式的概念和根式的性質(zhì)兩個(gè)角度對(duì)初高中根式的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行比較。

1.根式的概念

[銜接分析]二次根式的概念源自平方根的概念（算數(shù)平方根），同樣根式的概念源于方根的概念。不同的是，高中將根式拓展到n次之后，表示n為奇數(shù)時(shí)的n次方根和n為偶數(shù)時(shí)的非負(fù)n次方根。

2.根式的性質(zhì)

[銜接分析]如上文所說(shuō)，表示n為奇數(shù)時(shí)的n次方根和n為偶數(shù)時(shí)的非負(fù)n次方根。因此高中根式的性質(zhì)1：中不再要求被開(kāi)方數(shù)（圖2-12）?？紤]到學(xué)生思維水平的差異，《新浙教版》教材中二次根式性質(zhì)1的得出并不是像高中那樣根據(jù)n次方根的概念直接給出，而是通過(guò)歸納、類比得到。為做好初高教學(xué)銜接，教師在經(jīng)歷了二次根式性質(zhì)1的發(fā)現(xiàn)過(guò)程之后，應(yīng)適時(shí)指出：實(shí)際上這個(gè)性質(zhì)的依據(jù)是平方根的概念，并在教學(xué)伊始對(duì)平方根的概念進(jìn)行回顧。

[銜接分析]對(duì)于性質(zhì)2初中階段的二次根式僅是n為偶數(shù)2的情況，高中還需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行分類討論（圖2-14）。因此，為了避免產(chǎn)生負(fù)遷移，在初中階段學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)2（圖2-13）的時(shí)候不能一味強(qiáng)調(diào)的非負(fù)性，更要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為做好初高教學(xué)銜接打下基礎(chǔ)。因此，教師在經(jīng)歷了歸納、類比得到性質(zhì)2的過(guò)程之后，根據(jù)學(xué)生情況可適當(dāng)介紹演繹推理的方法：是的算術(shù)平方根，即。同時(shí)，在課上或單元復(fù)習(xí)課上，讓學(xué)生思考與有哪些區(qū)別和聯(lián)系。

總結(jié)

從數(shù)學(xué)的發(fā)展角度來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是連續(xù)銜接的，而不是間隔跳躍的。因此在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，不能完全以應(yīng)試為主導(dǎo)，強(qiáng)制地將初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)分割開(kāi)來(lái)。這對(duì)初中數(shù)學(xué)老師如何做到知識(shí)的螺旋上升提出了更高的要求。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等，其中數(shù)學(xué)抽象要求學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系。縱觀初中到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法不斷完善的過(guò)程。因此，不妨站在學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的角度來(lái)審視初中的數(shù)學(xué)教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)融入一些高中的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才能逐步具備所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.

[2]金才華.數(shù)學(xué)教學(xué)參考書.七年級(jí).上冊(cè)[M].杭州：浙江教育出版社， 2012.8.