理法交融 思維升級
——“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學實踐與思考

浙江海寧市實驗小學（314400）沈瑞華

“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是人教版教材第五冊第六單元的內(nèi)容，是在學生學習了表內(nèi)乘法和兩位數(shù)乘一位數(shù)口算（不進位）的基礎上教學的。它是學習多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的除法的基礎，是學生建立和理解位值概念重要的載體。對于三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算教學，很多教師都認為筆算教學就是理解算理、掌握算法，認為三位數(shù)乘一位數(shù)就是讓學生掌握一位數(shù)分別與三位數(shù)每一位上的數(shù)相乘的計算技能。這樣的認識背后有沒有隱憂？計算教學僅僅是掌握計算程序？在計算教學中如何培養(yǎng)學生靈活的思維能力？

一、隱憂：三位數(shù)乘一位數(shù)的學習起點

在教學“兩位數(shù)乘一位數(shù)”后，教學“三位數(shù)乘一位數(shù)”前，筆者對本校三年級（3）班和（4）班共90位學生進行了前測，結果見表1。

分析數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，學生在計算不進位、進一次位或隔位進位的三位數(shù)乘一位數(shù)時，正確率都超過90%。這說明學生已經(jīng)具備了從筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)遷移到筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的能力。在與學生的交流中發(fā)現(xiàn)，學生筆算錯誤集中在兩個方面。

1.疊加進位易算錯

計算385×6時，385的每一位與6相乘都向前一位進位，而且乘法進位過程中又出現(xiàn)了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法進位——48+3和18+5，這樣的乘法與加法的疊加進位，學生心算時感覺非常困難。

2.中間有0會誤乘

在計算末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時，學生能把口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的方法遷移過來，末尾的0不參與計算，前兩位乘好后再添末尾的0，相當于還是在計算兩位數(shù)乘一位數(shù)。但計算中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時，學生會根據(jù)“從個位起，依次相乘”的運算程序，讓0也參與計算，誤把304×6的十位“0×6+2”的得數(shù)算成8。

計算三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法時，學生會用哪些運算策略呢？表2是對三（3）班和三（4）班的學生的測試結果。

表2 學生計算三位數(shù)乘一位數(shù)的方法統(tǒng)計

這兩道題的數(shù)據(jù)特點很明顯，都可以通過改變運算順序進行簡算。但在參與測試的90位學生中，只有1%至2.2%的學生用了簡算方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學生都是程序化地在用筆算方法計算。這說明，學生只會像計算機一樣，按部就班地從三位數(shù)的個位起，依次相乘。積的書寫也是從個位起，一位一位挨著去寫，不考慮位值。雖然能計算出正確得數(shù)，但教師不清楚學生是否已經(jīng)理解了算理，這會不會給將來的教學埋下巨大的隱患？

懷著這種擔心與猜測，筆者訪談了四年級的數(shù)學老師，發(fā)現(xiàn)部分四年級學生在學習三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時果然出現(xiàn)了問題：位值概念模糊，第二層積的位置反復寫錯。四年級學生出現(xiàn)這些問題，源頭就在于學習多位數(shù)乘一位數(shù)時，學生只記住了乘的順序，但不清楚乘的順序本質(zhì)是什么。造成這些問題，也與教材的編排有一定的關系。

二、分析：多位數(shù)乘一位數(shù)筆算教材編排對比

1.對比四個版本的教材內(nèi)容

表3 四個版本的教材關于“三位數(shù)乘一位數(shù)”的編排

對比四個版本的教材后，可以發(fā)現(xiàn)三個異同點：一是將三位數(shù)乘一位數(shù)作為例題的教材有2個版本，占50%；二是將三位數(shù)中間或末尾有0的乘法作為新課例題的教材有3個版本，占75%；三是教學筆算乘法采用固定程序“個位算起，依次相乘”的教材有3個版本，占75%。從四個版本的異同點來看，人教版、蘇教版、北師大版教材更側重于三位數(shù)乘一位數(shù)的程序教學，筆算方法唯一，即從個位算起，依次相乘，學生容易掌握，但挑戰(zhàn)性不大。浙教版教材注重三位數(shù)乘一位數(shù)的算理教學，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學生根據(jù)實際情況選擇合理的算法，但挑戰(zhàn)性較大。

2.分析人教版教材關于多位數(shù)乘一位數(shù)筆算的編排

表4 多位數(shù)乘一位數(shù)筆算教學內(nèi)容安排

續(xù)表

通過表格分析，可以得到兩個結論。一是教材默認學生能使用遷移的方法自己學會三位數(shù)乘一位數(shù)。但從實際教學來看，學生理解程度不夠，還是需要正式學習的過程。二是教材在學生掌握計算一般三位數(shù)乘一位數(shù)后，再安排新授課學習三位數(shù)中間有0和末尾有0的乘法，是有必要的，對學生理解位值原理有幫助。即使學生在筆算時掌握了“從個位起，依次相乘”的計算程序，并能熟練計算，也不能說明他們真的會算了，只有理解了任意順序的筆算，清楚位值原理才是真正懂了筆算本質(zhì)。

三、重組：筆算教學學習路徑設計

根據(jù)以上分析，筆者對多位數(shù)乘一位數(shù)筆算單元的教學進行了重組（如表5）。

表5 筆算多位數(shù)乘一位數(shù)教學重組方案

筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)的教學，首先借助數(shù)學教具小棒理解兩位數(shù)乘一位數(shù)，可以看成幾個幾十和幾個幾來算，也就是用口算的方法學習筆算；可以從低位乘起，也可從高位乘起，也就是兩位數(shù)的每一位都要與一位數(shù)相乘，和運算的順序無關。接著，借助小棒依次理解滿十進一、疊加進位的算理。將中間或末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)的教學提前，掙脫固定的計算程序的束縛，引導學生單純從算理的角度去思考，學生很容易就發(fā)現(xiàn)304×6既可以表示6個304，也可以看成6個300和6個4，用300×6+4×6來算。這樣十位的0完全沒有參與計算的必要，只用兩句口訣“三六十八，四六二十四”就輕松計算出結果。在書寫時注意位值原理，明確18表示18個百，即1800，1和8分別記在千位和百位上（如圖1）。

圖1

有了以上兩步的經(jīng)驗，學生在學習一般的三位數(shù)乘一位數(shù)時，也能從“個位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。例如，計算385×6時可以將原式轉(zhuǎn)化成三層積：300×6+80×6+5×6（從高位算起或從低位算起均可），或轉(zhuǎn)化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個法）或305×6+80×6（踢十法）。經(jīng)過轉(zhuǎn)化，三位數(shù)乘一位數(shù)疊加進位的難點被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時，學生不再只是按順序計算，而會去關注位值，思考每部分的積表示的含義。

四、思考：實現(xiàn)從計算教學走向運算教學的策略

運算能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，可見運算能力的培養(yǎng)已經(jīng)得到了極大的重視。那么運算能力的培養(yǎng)如何落地？

1.抓住本質(zhì)促使理法交融

學習是由外在知識與內(nèi)在知識結構之間的交互作用實現(xiàn)的，計算的學習亦是如此。比如將三位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的兩位數(shù)乘一位數(shù)與整百數(shù)乘一位數(shù)的結合（踢百法），或者轉(zhuǎn)化成幾百、幾十和幾分別乘一位數(shù)（三層積），通過小棒、人民幣等素材幫助學生理解每種算法的算理，也就是多位數(shù)的每一位都和一位數(shù)相乘是算法的本質(zhì)，與乘數(shù)的位值有關，而與運算的先后順序無關。在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達“理”。在學習新知的過程中，學生還擁有了用轉(zhuǎn)化的思想來解決問題的能力。

筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的新課結束后，筆者對實驗班和對照班進行了后測。測試題為：一套數(shù)學叢書的價格是67元，王老師買了5套，營業(yè)員用計算器計算時，按錯了一個數(shù)字，結果多收了10元。下面的判斷正確的是（ ）。

A.把6按成8 B.把7按成9 C.把5按成7

3個選項，分別是多算了5個20、5個2、2個67。學生需要充分理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理、明確位值概念，才能找到正確選項。實驗班與對照班對比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實驗班的學生對筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解得更深刻、更到位，這對他們后續(xù)學習的幫助是比較大的。

2.挑戰(zhàn)學習促使思維升級

使學生理解算理、掌握算法，是運算教學的基礎目標，而發(fā)展思維是高階目標。運算教學中的練習題，要避免機械操練，多設計一些富有挑戰(zhàn)性的學習任務，驅(qū)動學生學會分析、學會思考、學會概括、學會推理。

比如，對于兩位數(shù)乘一位數(shù)，可以設計比較開放的挑戰(zhàn)題（如圖2）。

圖2

找出其中一個解并不難，但要準確地找出所有解，光靠計算技能是不夠的，還要具備策略意識。首先考慮積的個位是2，由表內(nèi)乘法得出的積的末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個，所以對應的表內(nèi)乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對。再看得數(shù)，五百多的得數(shù)說明十位上的數(shù)乘一位數(shù)得四百多或五百多，那么一位數(shù)至少是5，只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對。這樣，按一定的策略去思考，就能快速而準確地得到8種不同填法。

再如，對于三位數(shù)乘一位數(shù)，可以設計挑戰(zhàn)性練習：用1、3、5、8組成三位數(shù)乘一位數(shù)的算式，使積最大。如果只是一次次地去試算，那思維是低級又低效的。教師要引導學生分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同；接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數(shù)8作為一位數(shù)，5、3、1依次放在三位數(shù)的百位、十位和個位上。

開放的挑戰(zhàn)性學習任務，能促進學生在運算中提升策略意識，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據(jù)課程標準的理念，從計算教學走向運算教學時講究“理”“法”相融。把計算教學作為載體，少一些機械操練，多一些思維卷入，在提升學生的計算技能的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，促使學生在學習的過程中學會學習。