葉片涂敷應變依賴性硬涂層的整體葉盤非線性振動特性研究

高 峰， 劉秀婷， 花國祥

(1.南京信息工程大學 濱江學院，江蘇 無錫 214105；2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819;3.東北大學 材料各向異性與織構教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819)

飛機想要實現(xiàn)飛行就離不開巨大的推力，而發(fā)動機就是幫助其對抗飛機自身動力的氣流制造機。因此，能夠有效提升發(fā)動機推力的整體葉盤得到了越來越廣泛的應用。另一方面，由于缺少榫頭和榫槽的摩擦耗能，整體葉盤自身的振動阻尼一般較小，在惡劣環(huán)境下工作時易產(chǎn)生過大的振動應力或響應，甚至會導致疲勞破壞，因此必須對整體葉盤進行有效減振[1]。考慮到盤片不可分離的結構特征和惡劣的工作環(huán)境，應用于傳統(tǒng)榫接葉盤的葉冠[2]、凸肩[3]和緣板[4]等摩擦阻尼器和黏彈性材料[5]都無法有效抑制整體葉盤的振動應力。因此，迫切需要尋找一種能夠適用于整體葉盤的阻尼減振方案。

基于金屬基(接觸面結合性能較好)、陶瓷基(阻尼特性較好)或兩者混合物組成的硬涂層[6]具有抗高溫高壓、抗摩擦腐蝕[7-8]等優(yōu)點，一般用于結構件的表面強化。文獻[9]的研究發(fā)現(xiàn)，硬涂層在較大的溫變范圍內都能保持良好的阻尼能力，可用于高溫高壓環(huán)境下薄壁結構件的阻尼減振[10]。此外發(fā)現(xiàn)，硬涂層的力學參數(shù)具有獨特的非線性特征，其彈性模量與損耗因子總是隨著硬涂層結構件應變的改變而變化，稱之為應變依賴性[11]。與此同時，振動結構件在涂敷硬涂層后也將具有應變依賴性，這種材料非線性特征對硬涂層復合結構件的振動特性分析帶來了很大的困難和挑戰(zhàn)。

考慮到振動結構件的阻尼減振研究，國內外眾多學者廣泛利用復模量理論對附加外部阻尼的復合結構件進行振動分析。在國內，胥小強[12]利用復模量理論和Hencky板/殼理論建立了復合材料層合板等效振動參數(shù)預測模型與動力學有限元模型，并通過與試驗結果的比較驗證了模型的有效性；許海艷[13]利用復模量理論和黏彈性基本理論建立附加黏彈性材料的高架鐵路的能帶計算模型和動力響應模型，分析了黏彈性梁的復模量和黏彈性支座的復剛度對能帶圖的影響。在國外，Gounaris等[14]利用復模量理論、本構模型與迭代復特征值法建立了振動結構件的非線性動力學模型，重點研究了振動結構件在共振域內的滯后阻尼特性。

充分考慮附加外部阻尼材料的夾層結構件特征，在分析其阻尼減振特性時通常需要考慮板厚度方向的剪切變形。因此，很多學者普遍將Mindlin板理論與其他理論相結合來研究附加阻尼層合板的振動特性。Huang等[15]利用Mindlin板理論與傅里葉余弦級數(shù)建立了功能梯度材料矩形板的動力學模型和動力學方程，分析了多功能梯度材料矩形板的自由振動特性，研究了不同高寬比和厚寬比對矩形板前六階振動頻率的影響；此外，基于Mindlin板理論、非線性Kármán’s板理論和Hamilton理論，F(xiàn)ilippi等[16]建立了帶側裂紋矩形板在平面預加載下的非線性動力學方程，通過Galerkin法和Ritz法求解帶側裂紋矩形板的非線性固有頻率，并分別研究了側裂紋及平面預加載對矩形板振動特性的影響規(guī)律。

考慮整體葉盤的結構特征和工作環(huán)境的特殊性，本文提出一種基于非線性硬涂層的被動阻尼減振方法，并分析了硬涂層整體葉盤的非線性振動特性。首先，基于試驗數(shù)據(jù)與高階多項式得到非線性硬涂層的連續(xù)力學參數(shù)規(guī)律；然后，基于考慮應變依賴性復模量理論和復合Mindlin板理論的能量有限元法創(chuàng)建了硬涂層整體葉盤的非線性動力學模型；其次，提出一套基于Newton-Raphson法的非線性迭代計算流程，求解硬涂層整體葉盤的非線性動力學特性；最后，以葉片涂敷NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的整體葉盤為實例，通過數(shù)值與試驗數(shù)據(jù)比較校驗非線性動力學模型的可靠性，分析了硬涂層及其應變依賴性對硬涂層整體葉盤振動特性的影響。

1 硬涂層的應變依賴性力學參數(shù)

(1)

(2)

式中，q和Q分別是多項式項數(shù)和最大項。

將式(3)和式(4)代入式(2)并整理可得

(5)

(6)

圖1所示為基于硬涂層薄板振動測試和反推法得到的NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的非線性力學參數(shù)，其彈性模量Ec(εe)與損耗因子ηc(εe)分別表示為

圖1 NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的應變依賴性力學參數(shù)

(7)

(8)

2 硬涂層整體葉盤的非線性振動特性分析

2.1 非線性有限元模型的建立

圖2所示為葉片涂敷硬涂層的整體葉盤非線性有限元模型，輪盤與硬涂層葉片分別簡化為單層板和復合板。圖3所示為硬涂層葉片和硬涂層板在笛卡爾坐標系中的示意圖。其中，硬涂層板的中性面與x軸重合，葉片(或Mindlin板)的厚度表示為hs，單層硬涂層的厚度表示為hc,并具有以下關系

圖2 葉片涂敷硬涂層的整體葉盤非線性有限元模型

(a)

(9)

根據(jù)Mindlin板理論可知，硬涂層葉片上某一點在笛卡爾坐標系的位移(u,v,z)表示為

(10)

式中:u、v和w分別為某一點在x軸、y軸和z軸方向上的位移;θx和θy分別為中性面法線繞x軸和y軸的轉角角度。

硬涂層葉片上某一點的平面應變ε和橫向剪切應變γ分別表示為

(11)

(12)

葉片的應變能Us和動能Ts分別表示為

(13)

(14)

應變依賴性硬涂層的應變能Uc可以表示為

(15)

基于此，通過推導可得到具有應變依賴性的硬涂層的應變能Tc，表示為

(16)

硬涂層葉片的應變能U由葉片的應變能Us和硬涂層的應變能Uc共同組成，硬涂層葉片的動能T由葉片的應變能Ts和硬涂層的動能Tc共同組成，分別為

U=Us+Uc

(17)

T=Ts+Tc

(18)

本研究選用圖4 所示的四節(jié)點等參板單元對硬涂層葉片進行離散化。硬涂層葉片復合Mindlin板單元的位移向量δe表示為

(a) 等參Mindlin板單元

(19)

則硬涂層葉片的復合Mindlin板單元形函數(shù)N為

(20)

式中:Nj為節(jié)點j的形函數(shù)矩陣;ξj和nj分別為節(jié)點j坐標值，取值為-1或1。

δ=[wθxθy]T=Nδe

(21)

(22)

根據(jù)式(17)與式(21)可得硬涂層葉片復合Mindlin板單元的應變能Ue，表示為

(23)

(24)

(25)

根據(jù)式(18)與式(22)可得硬涂層葉片復合Mindlin板單元的動能Te，表示為

式中:Te,s和Te,c分別為葉片的單元動能和硬涂層的單元動能;Hs、Huc和Hlc分別表示為

(27)

隨后，基于哈密頓原理可由式(23)得到硬涂層葉片復合Mindlin板單元的質量矩陣me，表示為

(28)

式中，me,s和me,c分別為葉片和硬涂層的質量矩陣。

(29)

(30)

式中:K(εe)和D(εe)分別為硬涂層整體葉盤的應變依賴性剛度和阻尼矩陣;X和F分別為硬涂層整體葉盤的節(jié)點位移向量和基礎激勵力;ω為角頻率。特別的，硬涂層的等效應變影響硬涂層整體葉盤振動特性的計算精度，本文利用材料力學理論與應變能密度相等原則推導獲得了等效應變εe的求解公式[18-19]

(31)

式中:Re[·]為取復數(shù)ke,c(εe)的實值部分;ke,c(εe)和Vc分別為硬涂層的應變依賴性單元剛度矩陣和單元體積;φ和q分別為硬涂層整體葉盤的模態(tài)振型矩陣和正則化振動響應向量。

2.2 非線性振動特性的求解

硬涂層整體葉盤的振動響應向量X表示為

X=φq

(32)

將式(32)代入式(30)可得硬涂層整體葉盤正則化的非線性動力學方程，表示為

(33)

(34)

(35)

(36)

則通過式(33)可得到其殘余向量R，表示為

(37)

隨后，將式(31)、式(35)與式(36)代入式(37)并整理，則可將殘余向量R進一步表示為

(38)

需要注意的是，本研究是利用復模量理論將硬涂層和整體葉盤的阻尼能力引入動力學模型中，所以式(38)中的振動響應向量q是復數(shù)形式，表示為

(39)

為了準確求解硬涂層整體葉盤的非線性動力學方程，本研究提出一種基于Newton-Raphson方法的非線性迭代計算流程。在這里，硬涂層整體葉盤的振動響應向量q在k+1次的迭代公式表示為

(40)

(41)

根據(jù)計算精度自主預設計算精度l，并選擇非線性動力學方程殘余向量R的二階范數(shù)作為迭代計算的終止條件，表示為

(44)

最終，可以求得考慮應變依賴性的硬涂層整體葉盤非線性動力學特性，表示為

(45)

需要注意的是，硬涂層整體葉盤的振動特性在全局上呈現(xiàn)非線性的特點，但在瞬態(tài)上則呈現(xiàn)線性的特點，即：當硬涂層的等效應變取某個確定值時，硬涂層整體葉盤振動特性是線性的。特別的，硬涂層的等效應變在迭代計算過程中的初始值為零，硬涂層整體葉盤的應變依賴性復模量和非線性振動響應會基于前一次的計算結果迭代更新，直至滿足預設的計算精度。

3 實例研究與分析

利用大氣等離子技術對葉片兩側噴涂總厚度為0.3 mm的NiCoCrAlY+YSZ硬涂層。整體葉盤厚度為3 mm，輪盤內、外徑分別為80 mm和100 mm，葉片寬度和長度分別為24 mm和80 mm。硬涂層整體葉盤的力學參數(shù)參考表1，硬涂層的應變依賴性彈性模量和材料損耗因子分別參考式(7)與式(8)。

表1 硬涂層整體葉盤的力學參數(shù)

圖5所示為硬涂層整體葉盤的模態(tài)與受迫振動試驗設備及相關測試流程?？紤]到硬涂層的應變依賴性特征對共振頻率的影響，首先對硬涂層整體葉盤試驗件進行模態(tài)測試確定其固有頻率的大致范圍，然后對試驗件進行掃頻測試確定其準確的共振頻率與響應。

3.1 有限元模型校驗

創(chuàng)建有效可靠的理論分析模型是進行結構振動特性研究的基礎?；诖耍紫?，本文分別利用能量有限元法和振動測試研究硬涂層整體葉盤的非線性振動特性，并通過比較理論數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)進行動力學模型校驗。其中，與有限元分析不同的是，振動測試必定受到試驗環(huán)境和人員操作經(jīng)驗等因素的影響，所以理論和試驗數(shù)據(jù)之間存在不可避免的誤差。

表2和表3所示為基于能量有限元法和振動測試得到的硬涂層整體葉盤在相同基礎激勵下(1g加速度激勵)的二階共振頻率和響應。從中可以發(fā)現(xiàn)，基于能量有限元法得到的理論振動特性數(shù)據(jù)與基于振動測試得到的試驗振動特性數(shù)據(jù)存在可接受的數(shù)據(jù)偏差，即：硬涂層整體葉盤共振頻率的理論與試驗數(shù)據(jù)之間的偏差始終在1.46%～3.99%；共振響應的理論與試驗數(shù)據(jù)之間的偏差最小值為1.02%，最大值不超過7%。這就說明，在相同的激勵下硬涂層整體葉盤的非線性動力學模型具有較高的計算精度。

表2 硬涂層整體葉盤在相同激勵下的非線性共振頻率

表3 硬涂層整體葉盤在相同激勵下的非線性共振響應

圖6所示為基于能量有限元法和振動測試得到的硬涂層整體葉盤在不同基礎激勵下(的二階頻域響應曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)，基于能量有限元法與振動測試得到的二階頻域響應之間存在可接受的數(shù)據(jù)偏差，而且兩者的頻域振動響應具有相似的變化趨勢，即：隨著加速度激勵的不斷增大，硬涂層整體葉盤的理論和試驗共振響應都在逐漸增大，且共振響應對應的共振頻率逐漸減小。這就說明，在不同激勵下硬涂層整體葉盤的非線性動力學模型具有較好的計算精度。綜上可知，創(chuàng)建的硬涂層整體葉盤的非線性動力學分析模型是有效的，為應變依賴性的影響分析奠定了可靠基礎。

(a) 非線性動力學理論數(shù)據(jù)

圖5 硬涂層整體葉盤的模態(tài)與受迫振動試驗設備及相關測試流程

Fig.5 Modal and forced response test device and testing process of the hard-coating blisk

3.2 應變依賴性的影響

在不考慮硬涂層應變依賴性的前提下，硬涂層對整體葉盤的阻尼減振研究已在Gao等的研究中詳細討論，這里不再贅述。 本文重點研究硬涂層的應變依賴性特征對葉片力學參數(shù)和整體葉盤振動特性的影響規(guī)律。

圖7所示為葉片、(不考慮應變依賴性)線性硬涂層葉片和(考慮應變依賴性)非線性硬涂層葉片在不同等效應變下的力學參數(shù)。通過圖7(a)可以發(fā)現(xiàn)，隨著等效應變的不斷增大，葉片彈性模量E1和線性硬涂層葉片彈性模量E2保持不變，而非線性硬涂層葉片彈性模量E3逐漸減??；特別的，葉片在涂敷線性或非線性硬涂層后的彈性模量均減小(即E3L1和L3>L1)，這就說明硬涂層可以有效增強葉片的振動阻尼能力；特別的，應變依賴性會進一步提高硬涂層葉片的損耗因子(即L3>L2)，這就說明應變依賴性能夠有效增強硬涂層葉片的振動阻尼能力。

圖8所示為整體葉盤、(不考慮應變依賴性)線性硬涂層整體葉盤和(考慮應變依賴性)非線性硬涂層整體葉盤的二階頻率響應曲線。從中可以看到，在相同的激勵水平下(取5g加速度激勵)，整體葉盤在涂敷線性硬涂層后的共振頻率略微降低(即f2

(a) 彈性模量

圖8 葉片、線性硬涂層整體葉盤和非線性硬涂層整體葉盤的二階頻率響應曲線

4 結 論

本文主要研究了考慮應變依賴性的硬涂層整體葉盤的非線性振動特性，重點分析了硬涂層的應變依賴性對振動特性的影響，得到以下結論：

(1) 基于能量有限元法建立的硬涂層整體葉盤的非線性動力學模型具有較高的計算精度，可為后續(xù)非線性動力學研究提供可靠的理論模型。

(2) 硬涂層及其應變依賴性特征會影響葉片的力學參數(shù)，進而影響整體葉盤的振動特性,硬涂層及其應變依賴性彈性模量會對整體葉盤的共振頻率產(chǎn)生略微影響，而硬涂層及其應變依賴性損耗因則能明顯增強整體葉盤的振動阻尼能力。

(3) 硬涂層對整體葉盤有較好的阻尼減振能力，有助于抑制整體葉盤過大的振動響應；在此基礎上，硬涂層力學參數(shù)具有的應變依賴性特征能夠進一步增強硬涂層對整體葉盤的阻尼減振能力。