基于能量一致積分的拉索-阻尼器實時混合試驗方法

楊 格， 孫紅碩， 吳 斌， 潘天林， 王 貞

(1.武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070;2.天津大學(xué) 中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室，天津 300350；3.東北電力大學(xué) 建筑工程學(xué)院，吉林 132012)

斜拉索因其結(jié)構(gòu)柔、質(zhì)量輕，在風(fēng)荷載等外力作用下非常容易發(fā)生振動。由于拉索振動易導(dǎo)致拉索錨固端發(fā)生疲勞破壞等問題，需要采取措施來抑制其大幅度振動，工程中廣泛采用的措施是在拉索錨固位置附近安裝阻尼器。為了研究阻尼器對拉索的減振效果，一般采用數(shù)值模擬[1]或室內(nèi)試驗[2]的方式來獲取拉索-阻尼器系統(tǒng)的動力響應(yīng)。數(shù)值模擬應(yīng)用方便，但現(xiàn)有的阻尼器數(shù)值模型均存在一定的簡化，不能真實反應(yīng)阻尼器在實際結(jié)構(gòu)中的性能。室內(nèi)試驗因試驗場地規(guī)模和技術(shù)等問題，很難對較長拉索進(jìn)行真實工況下的模擬。

結(jié)構(gòu)混合試驗方法可以將結(jié)構(gòu)中無法準(zhǔn)確模擬的部分作為試驗子結(jié)構(gòu)，其他部分采用數(shù)值模型，兩者在線交互完成對整體結(jié)構(gòu)的模擬。該方法解決了因?qū)嶒炇覉龅匾?guī)模限制等因素而無法開展大型結(jié)構(gòu)試驗的問題，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震試驗研究中[3-6]。其中，實時混合試驗方法能夠考慮加載速度的影響，可實現(xiàn)對速度相關(guān)型試件力學(xué)性能的準(zhǔn)確反映。鑒于實時混合試驗的這一優(yōu)點，可以將拉索作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，阻尼器作為試驗子結(jié)構(gòu)，開展拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗。該方法對研究拉索-阻尼器系統(tǒng)中阻尼器的減振效果有著重要意義。

實時混合試驗對數(shù)值模型的計算效率有著極高的要求。為了保證計算效率，現(xiàn)有關(guān)于拉索-阻尼器實時混合試驗的研究大多采用簡化的數(shù)值模型來模擬拉索。Jung等[7]對拉索-阻尼器系統(tǒng)在不同風(fēng)速下的響應(yīng)進(jìn)行了實時混合試驗，其拉索數(shù)值模型采用伽遼金方法得到。伽遼金方法是一種簡化計算方法，其在拋物線假設(shè)的基礎(chǔ)上引入一個參數(shù)來考慮索垂度以減少計算量；而傳統(tǒng)有限元分析是通過自重作用下索的形狀來得到垂度，因此伽遼金方法計算精度要比傳統(tǒng)有限元分析計算精度差。Duan等[8]建立了基于向量式有限元的拉索模型，阻尼器采用線性黏滯阻尼器數(shù)值模型來代替，對拉索-阻尼器系統(tǒng)的一階模態(tài)振動進(jìn)行了實時混合試驗數(shù)值仿真。相對于傳統(tǒng)有限元方法，基于向量式有限元的拉索模型具有更高的計算效率，但其在進(jìn)行質(zhì)點運動方程求解時，采用了顯式的中心差分法。中心差分法是一種對線性體系有條件穩(wěn)定的算法，而拉索-阻尼器系統(tǒng)屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，一方面拉索振動具有較強(qiáng)的幾何非線性;另一方面阻尼器也往往具有很強(qiáng)的非線性，因此無法保證中心差分法在拉索-阻尼器系統(tǒng)動力分析中的穩(wěn)定性。當(dāng)拉索存在高頻振動時，通常需要很小的時間步長來滿足算法的計算精度和穩(wěn)定性要求[9]，仍然存在計算時間可能超過時間步長而導(dǎo)致試驗失敗的問題。

因此，在拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗中需要對非線性體系無條件穩(wěn)定的時間積分方法。然而，目前混合試驗中常用的無條件穩(wěn)定時間積分方法主要是針對線性體系，如無條件穩(wěn)定的顯式CR方法(Chen and Ricles)[10-12]、顯式Chang方法族[13]、隱式平均加速度法[14]、隱式中點法[15]等。對于非線性體系，Crisfield等[16]采用平均加速度法求解桁架單元的動力方程時，發(fā)現(xiàn)結(jié)果會出現(xiàn)發(fā)散。潘天林[17]通過對具有幾何非線性的桁架體系進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)隱式平均加速法和隱式中點方法不能保證無條件穩(wěn)定。Kuhl等[18]發(fā)現(xiàn)基于桁架單元的能量耗散積分方法也會存在計算結(jié)果不穩(wěn)定的現(xiàn)象。為了實現(xiàn)對非線性體系的無條件穩(wěn)定，Wu等[19]提出了能量一致積分方法，并將基于梁柱單元的能量一致積分方法應(yīng)用到足尺鋼框架結(jié)構(gòu)的混合試驗中。由于能量一致積分方法為隱式算法需要迭代，目前該積分方法方法尚未應(yīng)用于實時混合試驗中?？紤]到近年來混合試驗為應(yīng)對速度相關(guān)型試件的精細(xì)化模擬需求，逐漸趨于有限元化和實時化[20]，因此，將能量一致積分方法應(yīng)用于實時混合試驗中具有重要意義。

能量一致積分方法是一種隱式方法，將其應(yīng)用于實時混合試驗時，會遇到迭代導(dǎo)致作動器加載速度波動較大的問題。對于阻尼器試件，加載速度波動較大會導(dǎo)致測得的阻尼器出力嚴(yán)重失真，致使試驗失敗。為此，本文提出了基于能量一致積分的拉索-阻尼器系統(tǒng)實時混合試驗方法，一方面通過Jung等[21]提出的固定迭代次數(shù)并對迭代位移進(jìn)行插值的方式來求解隱式差分方程，實現(xiàn)平滑加載；另一方面為保證試驗過程中拉索-阻尼器系統(tǒng)的能量一致，對試驗測得的阻尼器出力進(jìn)行恢復(fù)力修正。在不考慮拉索抗彎剛度的情況下，拉索可由若干個桁架單元模擬，本文將基于桁架單元的能量一致積分方法應(yīng)用于拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗中，對拉索-阻尼器系統(tǒng)進(jìn)行了一階模態(tài)振動下的實時混合試驗數(shù)值仿真，驗證了方法的可行性。

1 基于桁架單元的能量一致積分方法基本原理

對于桁架單元，連續(xù)的動力方程可以表示為

(1)

式中,m、v、r和f分別為質(zhì)量矩陣、速度向量、節(jié)點力向量和外荷載向量。其中節(jié)點力向量r可表示為

r=N[-ee1]T

(2)

式中:N為單元的軸力;e1為桁架單元的軸向單位向量

(3)

式中:x=xQ-xP為節(jié)點坐標(biāo)差，xP與xQ分別為桁架兩個節(jié)點的坐標(biāo)向量;L為單元的長度。

桁架單元的節(jié)點力考慮了幾何非線性和材料非線性的影響，其中幾何非線性由向量e1考慮，材料非線性則由N考慮。為了實現(xiàn)單元的能量一致，需要對恢復(fù)力進(jìn)行非線性修正，其修正格式為

(4)

ri+β=r[(1-β)ui+βui+1]，

ri+1-β=r[βui+(1-β)ui+1]

(5)

式中：β為修正系數(shù)；ui、ui+1分別為第i、第i+1個積分點時刻的位移向量。然后分別對式(2)中兩項非線性相關(guān)向量進(jìn)行離散，對e1離散得到

(6)

式中,β1為幾何非線性修正系數(shù)。對N離散得到

(7)

式中,β2為材料非線性修正系數(shù)。能量一致積分方法采用平均加速度法對位移和速度的假設(shè)

(8)

(9)

式中：Δt為時間積分步長；vi、vi+1分別為第i、i+1個積分點時刻速度向量；ai、ai+1分別為第i、第i+1個積分點時刻加速度向量。

基于此，式(1)的離散形式可表示為

(10)

式中:fi、fi+1分別為第i、第i+1個積分點時刻外荷載向量;εi、εi+1分別為第i、第i+1個積分點時刻的應(yīng)變;A0為桁架單元原截面面積;L0為桁架單元原長;σ為工程應(yīng)力;第三式和第四式分別為關(guān)于β1和β2的非線性方程。由于能量一致積分方法為隱式算法，整體節(jié)點力方程的求解通過牛頓迭代實現(xiàn)。

2 基于能量一致積分的拉索-阻尼器實時混合試驗方法

2.1 基于能量一致積分的拉索-阻尼器實時混合試驗方法基本原理

在拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗中，以拉索作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，阻尼器作為試驗子結(jié)構(gòu)，連續(xù)的動力方程可以表示為

(11)

式中:rN為數(shù)值子結(jié)構(gòu)恢復(fù)力向量；rE為試驗子結(jié)構(gòu)恢復(fù)力向量，即阻尼器的出力。采用基于桁架單元的能量一致積分方法，式(11)可以離散為

(12)

式中:nN為桁架單元數(shù)目;βN1、βN2分別為幾何非線性修正系數(shù)和材料非線性性系數(shù)。本文假定拉索材料為線彈性，故第四式中所有桁架單元的材料非線性修正系數(shù)βN2=0。由于測得的試驗子結(jié)構(gòu)恢復(fù)力rE不是連續(xù)的，故修正后的等效恢復(fù)力rEβ沒有理論解，需根據(jù)試驗數(shù)據(jù)結(jié)合第五式計算。

(13)

(14)

式中:k=0，1，…，n-1,n為每一積分步固定迭代次數(shù),n=Δt/δt，Δt為積分步長，δt為采樣步長；系數(shù)m=(k+1)/n；v0、u0分別為初始速度向量和初始位移向量。在計算第一個積分步時，因為沒有上一積分點時刻的位移，位移命令可通過式(14)獲得。

在純時滯與總時滯相比非常小的情況下，作動器系統(tǒng)的動力性能可用不包含純時滯環(huán)節(jié)的二階傳遞函數(shù)來代替，傳遞函數(shù)可寫為

(15)

式中：s為Laplace變量；ξ為作動器系統(tǒng)的阻尼比；ω為作動器系統(tǒng)的頻率。時滯會影響實時混合試驗仿真精度[22]，但在阻尼器作為試驗子結(jié)構(gòu)的實時混合試驗中，時滯對仿真精度影響一般較小，故本文不進(jìn)行作動器的時滯補(bǔ)償。

基于能量一致積分的拉索-阻尼器系統(tǒng)實時混合試驗實施過程,如圖1所示。第i+1個積分步的第k次迭代實施過程可簡述為：

圖1 拉索-阻尼器系統(tǒng)實時混合試驗實施過程示意

重復(fù)上述步驟，直至達(dá)到預(yù)定的固定迭代次數(shù)n，完成第i+1個積分步的模擬，并依此實現(xiàn)0～t時間內(nèi)的仿真。

2.2 恢復(fù)力修正模塊計算方法

為保證與系統(tǒng)能量一致，需要通過恢復(fù)力修正模塊對測得的試驗子結(jié)構(gòu)恢復(fù)力進(jìn)行修正，計算等效恢復(fù)力rEβ。在拉索-阻尼器系統(tǒng)中，第i+1個積分步中前j次迭代阻尼器出力所做的實際總功為

(16)

(17)

(18)

通過式(18)可以看出，分子是第i+1個積分步中前j次迭代的阻尼器出力所做總功的近似值，分母是第i+1個積分步中前j次迭代的總位移增量。通過式(18)對測得的阻尼器出力進(jìn)行修正獲得等效恢復(fù)力，實現(xiàn)整個過程系統(tǒng)能量一致。

3 拉索-阻尼器系統(tǒng)實時混合模擬

3.1 模型的建立

表1 J26號拉索結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 拉索-阻尼器系統(tǒng)模型示意圖

3.2 拉索模型的幾何非線性和正確性驗證

對拉索模型跨中處施加一個周期的正弦位移，幅值取1 m。通過靜力分析可得拉索跨中節(jié)點恢復(fù)力-位移曲線如圖3所示。可以看出節(jié)點恢復(fù)力與位移并非呈線性關(guān)系，驗證了拉索模型的幾何非線性。

圖3 拉索跨中節(jié)點恢復(fù)力-位移曲線

記錄模擬得到的拉索1/4跨處位移時程，最大振動幅值約為2.5 mm。通過圖3可以看出，在小位移下拉索模型的恢復(fù)力-位移曲線基本處于線性階段，此時可忽略幾何非線性的影響。隨后對該位移時程進(jìn)行快速傅里葉變換，可得拉索前三階模態(tài)頻率如圖4所示。與Duan等的研究中基于ANSYS軟件分析得到的拉索前3階模態(tài)頻率對比，可看出兩者所得前3階模態(tài)頻率基本一致，驗證了本文拉索模型的正確性,如表2所示。

圖4 位移功率譜密度函數(shù)

表2 拉索模態(tài)頻率對比

3.3 實時混合試驗的數(shù)值仿真

本文假定作動器系統(tǒng)頻率和阻尼比分別為ω=3.14 rad/s、ξ=0.8[24],以式(15)所示傳遞函數(shù)來模擬實際作動器系統(tǒng)。在積分步長Δt=0.05 s下，取固定迭代次數(shù)n=15，對拉索-阻尼器系統(tǒng)進(jìn)行實時混合試驗數(shù)值仿真。為了盡可能真實地再現(xiàn)實際試驗的情況，阻尼器出力采用迭代點時刻的實際速度來計算，在第i+1個積分步第k個迭代點時刻速度為

(19)

(20)

將頻率為拉索第1階模態(tài)頻率的正弦荷載300×sin(2π×0.5t)N施加于拉索的23個結(jié)點上，荷載方向均垂直于拉索，激勵100 s后釋放荷載。在阻尼器作用下，振動自由衰減，可獲得前150 s的拉索跨中位移時程，其仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。從圖5、圖6可以看出，本文所提實時混合試驗方法的仿真結(jié)果與整體模擬的數(shù)值解吻合較好。計算得到拉索跨中位移的均方根誤差為1.96%，滿足精度要求。

圖5 拉索跨中位移時程曲線對比(1階模態(tài))

通過圖6可以看出，本文方法計算幅值比數(shù)值解偏大。因此，本文方法的計算結(jié)果偏于保守，有利于保證結(jié)構(gòu)的安全性。

在計算效率方面，該實時混合試驗數(shù)值仿真時長為150 s，計算總耗時為9.45 s，每一積分步平均計算耗時0.003 15 s?？梢钥闯霰疚乃岱椒ㄓ嬎阈瘦^高，滿足實時要求。其中，MATLAB軟件版本為MATLAB2017b，計算機(jī)配置如表3所示。

表3 計算機(jī)配置

為了觀察基于能量一致積分的拉索-阻尼器系統(tǒng)實時混合試驗方法的迭代效果，取第二個積分步發(fā)給作動器模型的位移命令，如圖7所示?？梢钥闯霭l(fā)給作動器的位移命令時程曲線較光滑，因此本文所提方法可保證對阻尼器試件的平滑加載。

該仿真中阻尼器出力與速度關(guān)系曲線如圖8所示。阻尼器出力與速度關(guān)系曲線滿足本文阻尼器力學(xué)模型。

4 結(jié) 論

本文提出了基于能量一致積分的實時混合試驗方法，并應(yīng)用于拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗仿真中，主要結(jié)論如下：

(1) 基于桁架單元的能量一致積分方法可考慮拉索的幾何非線性，實現(xiàn)對拉索-阻尼器系統(tǒng)的振動過程數(shù)值模擬。

(2) 基于能量一致積分的實時混合試驗方法可以實現(xiàn)速度相關(guān)型試件的光滑加載，可應(yīng)用于拉索-阻尼器系統(tǒng)的實時混合試驗中。