自旋-軌道相互作用下X型渦旋光束的傳播特性

肖維維，張晗，趙馨穎，馬洋，龐曉炎

（1 西北工業(yè)大學電子信息學院，西安710072）

（2 陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院，西安710119）

0 引言

渦旋光束是一類具有螺旋等相位面的光束，其橫截面中心存在相位奇點，光強為零。渦旋光束理論上可以攜帶具有任意模態(tài)的軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM），并且不同軌道角動量模態(tài)的渦旋光束彼此相互正交［1-3］。由于這些特殊性質(zhì)，渦旋光束已經(jīng)在無線通信［4-7］、光鑷［8-9］、顯微鏡［10］等領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用。然而，渦旋光束的研究主要集中在經(jīng)典渦旋領(lǐng)域［11-19］，而對于螺旋相位結(jié)構(gòu)非線性變化的非經(jīng)典渦旋光束的研究較少。

非經(jīng)典渦旋光束的研究主要集中在二維標量場中［20-28］，比如自由空間中非經(jīng)典渦旋光束的運動軌跡［21］，非經(jīng)典渦旋偶極子Airy 波束的相位奇點和能量通量［24］。2020年，LI Jinhong 等［27］對三維矢量光場中高數(shù)值孔徑系統(tǒng)中渦旋光束的傳播特性進行了研究，當入射波為傳統(tǒng)非經(jīng)典波束，即旋轉(zhuǎn)相位因子對強度和相位均有影響的渦旋光束時，傳統(tǒng)非經(jīng)典渦旋光束在實驗中不易進行調(diào)制。PANG Xiaoyan 等［28］提出了一種新型的非經(jīng)典渦旋光束（X 型渦旋光束），此類非經(jīng)典渦旋光束的旋轉(zhuǎn)相位因子只對其光場相位分布有影響，并且通過空間光調(diào)制器或者螺旋相位板調(diào)制即可產(chǎn)生，并研究表明X 型渦旋光束在緊聚焦系統(tǒng)中會產(chǎn)生一些有異與傳統(tǒng)經(jīng)典渦旋和傳統(tǒng)非經(jīng)典渦旋光束的橫向焦移和光強旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，而且其旋轉(zhuǎn)相位梯度對非經(jīng)典渦旋光束具有調(diào)控作用。但是這些研究都未涉及渦旋光束攜帶的軌道角動量與圓偏振攜帶的自旋角動量（Spin Angular Momentum，SAM）之間的相互作用（Spin-Orbit Momentum Interactions，SOIs），本文考慮存在SOIs 情況下X型渦旋光束在緊聚焦場中的傳播特性，并研究X 型渦旋光束在光場調(diào)控中的特點。

1 理論推導(dǎo)與分析

傳統(tǒng)非經(jīng)典渦旋光束在其橫截面上通?？梢员硎緸椋?1-22］

式中，el為LCP 場分量，er為RCP 場分量，ez仍為縱向場分量。后面的結(jié)果與討論主要基于式（4）和式（5）展開。

2 計算結(jié)果與討論

2.1 X 型渦旋光束在焦平面上的橫向焦移

2.1.1n=1

本節(jié)討論在n=1，即渦旋光束的拓撲荷數(shù)為±1 時，X 型圓偏振渦旋光束在焦平面上的總光場分布特性。入射波為X 型LCP 渦旋光束和X 型RCP 渦旋光在焦平面上的總光場分布如圖2所示，這里半孔徑角α均取80°。圖2（a）、（b）、（c）為LCP 渦旋光，圖2（d）、（e）、（f）為RCP 渦旋光，c=0.5，1.0，1.5。由圖2 分析可知：1）整體來講X 型LCP 和X 型RCP 有相同的分布趨勢，即相位分布因子c對焦平面上光強的分布有很強的調(diào)控作用，橫向焦移取決于c的大小，當c=0.5 時，焦平面光強的兩個最大值均位于xs軸上，當c=1.5 時，兩個最大值均位于ys軸上，當c=1 時，光強沿φs方向均勻分布，即橫向焦移現(xiàn)象消失；2）不同圓偏振入射時也具有不同的特性，當入射光為LCP 時，幾何焦點處，即光軸處一直是強度最小值點；而入射光為RCP 時，光軸上強度并非光強最小值點，且在c=1 時，強度為最大值，即幾何焦點也為實際焦點。

圖2 焦平面上的光強隨c 變化α=80°，n=1Fig.2 Intensity distribution on the focal plane with the different anisotropic parameters c，where α=80°，n=1

為了更加方便觀察c對焦平面光強分布的影響，圖3 是入射光為X 型LCP 渦旋光束和X 型RCP 渦旋光束時，焦平面上的強度最大值隨c的位置變化（注：由于對稱性，此處只展示了一個強度最大值，另一個最大值的位置可由對稱性直接求得）。圖3 中，英文大寫字母代表強度最大值在xs軸上，英文小寫字母代表強度最大值在ys軸上，此外五角星表示位于原點處。基于圖2 結(jié)論，分析圖3 可知：1）入射光為LCP 和RCP 時，整體變化趨勢是一致的，即當0 ＜c＜1 時，最大值位于xs軸上，而當c＞1 時，最大值移動到y(tǒng)s軸上，且在c=1 時，無橫向焦移現(xiàn)象；2）當c的值離1 越遠，橫向焦移越顯著，即最大值離幾何焦點越遠；3）隨著半孔徑角α的增大，入射光為LCP 時橫向焦移與入射光為RCP 時的橫向焦移的差距越大，例如，在α=80°時，當c=0.1 時，入射光為RCP 時最大值位于xs軸0.63λ處，而此時當入射光為LCP 時最大值位于0.55λ處，當c增至0.7 時，入射光為RCP 時最大值位于原點，而入射光為LCP 時最大值位于xs軸0.52λ處。從物理含義上講，入射光為LCP 和RCP 時聚焦情況的差異主要是由于圓偏振攜帶SAM 與渦旋光的OAM 在緊聚焦情況下的相互作用，即SOIs 導(dǎo)致的，由于數(shù)值孔徑越大，SOIs 越強烈（而LCP 與RCP 攜帶的SAM 方向不同，與OAM 的作用也有所不同），這就導(dǎo)致α越大兩者的差異越明顯。這一點也可通過改變SAM 與OAM 的相對方向來證明。

圖3 焦平面上光場強度最大值隨c 的位置變化，α=30°，60°，80°，n=1Fig.3 Locations of the intensity maxima on the focal plane with the different anisotropic parameters c，where α=30°，60°，80°，n=1

由前面的分析可知，當c的符號改變時，渦旋的拓撲荷數(shù)也將改變符號，即渦旋光束的OAM 方向也發(fā)生改變。這里取c為負值，仍討論n=1 時X 型渦旋光束在緊聚焦場中焦平面上的總光場的傳播特性。圖4 是X 型RCP 渦旋光束（n=1）入射時焦平面上的強度最大值隨|c|的位置變化。同樣地，圖4 中，英文大寫表示強度最大值在xs軸上，英文小寫字母表示強度最大值在ys軸上。由圖3 和圖4 對比可得，當c取負值時，入射波為RCP 時橫向焦移與c取正值時入射波為LCP 時的橫向焦移相同，即只要SAM 與OAM 方向的相對關(guān)系不變，橫向焦移也不發(fā)生改變。

圖4 入射光為RCP 時，焦平面上的光場強度最大值隨| c|的位置變化，α=30°，60°，80°，n=1，c ＜0Fig.4 Locations of the intensity maxima on the focal plane with the different anisotropic parameters c for the case of RCP，where α=30°，60°，80°，n=1，c ＜0

觀察圖4 不難發(fā)現(xiàn)：當c=1 時，橫向焦移消失，同時，最大值將從xs軸轉(zhuǎn)向ys軸，換言之，在圓偏振態(tài)下X型渦旋光束在焦平面上的光強最大值有一個相同的軸向轉(zhuǎn)折點csw=1。這一現(xiàn)象實質(zhì)上是由于圓偏振的非極性產(chǎn)生的，可以通過與入射光為線偏振的情況進行對比說明。圖5 為X 型線偏（x偏振）渦旋光束在焦平面上的強度最大值隨c的位置變化。由圖5 可得線偏振光入射時，X 型渦旋光束在焦平面上強度最大值也是隨著c值的增大，逐漸從xs軸轉(zhuǎn)向ys軸，但是與圓偏振情況不同的是，在線偏振光入射時軸向轉(zhuǎn)折點csw會隨著α增大逐漸變小并且在c=1 時強度最大值分布在ys軸上。

圖5 線偏振光入射時，焦平面上光場強度最大值隨c 的位置變化，α=30°，60°，80°，n=1Fig.5 Locations of the intensity maxima on the focal plane with the different anisotropic parameters c for the case of linear polarization，where α=30°，60°，80°，n=1

2.1.2n=2

本節(jié)將討論X 型渦旋光束的拓撲荷為±2 時焦平面上的總光場分布特性。理論分析可知，二階X 型LCP/RCP 渦旋光束入射時，焦平面上的光場分布比一階更為復(fù)雜多樣，圖6 給出了X 型LCP 和RCP 渦旋光束入射時，焦平面上總光強隨相位分布因子c的分布變化情況，此時半孔徑角α均取80°。由圖6 可知：1）二階情況下，最大值比一階變化更加復(fù)雜，可以存在一個，兩個甚至三個最大值。2）當c很小時，如0.1 和0.3，不管入射波是LCP 還是RCP，強度最大值都分布在中心原點；隨著c逐漸增大，其強度逐漸向xs軸方向擴展，當c增大到1 時強度均勻分布，而當c＞1 時強度又逐漸擴散到y(tǒng)s軸上，當c增大到一定程度后強度又回到原點。3）入射波為LCP 和RCP 時聚焦情況不同，例如當c=0.3 時，與入射波為LCP 聚焦情況相比，當入射波為RCP 時，強度明顯更加集中在原點周圍；當c=3 時，入射波為LCP 時，強度最大值已回歸到原點，而入射波為RCP 時，強度最大值仍然分布在ys軸上，并且當c相同時，入射波為LCP 和RCP 時焦平面強度最大值位置是不同的。

圖6 焦平面上的光強隨c 的變化，α=80°，n=2Fig.6 Intensity distribution on the focal plane changes with the different anisotropic parameters c，where α=80°，n=2

為了便于觀察，圖7 給出了X 型LCP 和RCP 渦旋光束入射時焦平面上的強度最大值隨c的位置變化情況。類似的，圖7 中大寫字母表示強度最大值在xs軸上，小寫字母表示強度最大值在ys軸上，五角星表示在原點。分析圖6 和圖7 可以發(fā)現(xiàn)：1）在二階情況下，不管入射波是LCP 還是RCP，它們都有相同的軸向轉(zhuǎn)折點csw=1，且光場在軸向轉(zhuǎn)折點處都呈均勻圓環(huán)分布，并且當α較小時基本上都遵循相同的變化規(guī)律，即當c≤0.3 時強度最大值均分布在原點，當0.3 ＜c≤0.9 時強度最大值均分布在xs軸上，當1 ＜c≤3 時強度最大值均分布在ys軸上；2）當α和c取值較大時，入射波為LCP 和RCP 時焦平面上的光強有較大差異：當α=60°時，入射波為LCP 時強度最大值由ys軸回到原點的轉(zhuǎn)折點是csw=2.8，而入射波為RCP 時轉(zhuǎn)折點是csw=2.9，當α=80°時，入射波為LCP 時強度最大值由ys軸回到原點的轉(zhuǎn)折點是csw=2.8，而入射波為RCP，當1 ＜c≤3 時強度最大值始終未回歸原點，此外，隨著α逐漸增大，入射波為LCP 和RCP 時強度最大值之間的距離逐漸增大。這些差異的本質(zhì)是SOIs 作用的結(jié)果。

圖7 焦平面上的光強隨c 的變化，α=30°，60°，80°，n=2Fig.7 Locations of the intensity maxima on the focal plane with the different anisotropic parameters c，where α=30°，60°，80°，n=2

圖8 給出了X 型線偏振渦旋光束入射時在焦平面上的強度最大值隨c的位置變化情況。由圖8 可知，入射波為線偏振時在焦平面上的強度最大值也遵循先在原點，然后擴散到xs軸上，再移動到y(tǒng)s軸上，最后又回到原點的規(guī)律，其強度最大值的軸向轉(zhuǎn)折點會隨著半孔徑角α的增大逐漸減小，但是入射光為圓偏振時軸向轉(zhuǎn)折點csw均為1，并且在軸向轉(zhuǎn)折點處光強都沿角向均勻分布。偏振態(tài)的極性分布導(dǎo)致了這一現(xiàn)象的產(chǎn)生。

2.2 X 型渦旋光束沿傳播方向的場分布

上一節(jié)討論了X 型LCP/RCP 渦旋光束在緊聚焦場中焦平面上的光強分布，本節(jié)討論它們在緊聚焦場中沿傳播方向的變化情況。為了不失一般性，這里相位因子c取0.3，其它取值可進行類比分析。需要說明的是，當c=1 時，X 型渦旋退化為經(jīng)典渦旋，本節(jié)討論的X 型渦旋光束的傳播行為將不再發(fā)生。

2.2.1n=1

首先，討論當n=1 時X 型LCP 和RCP 渦旋光束在緊聚焦光場中沿傳播方向的光場分布。圖9 是X 型LCP 和RCP 渦旋光束沿傳播方向的總光強分布，這里zs=?2λ，0，+2λ，半孔徑角均為80°，相位因子c均為0.3。由圖9 可知，入射波不管是LCP 還是RCP，當zs=0 時，其兩個強度最大值（此處定義為A，B兩點）對稱分布在xs軸上，當zs=±2λ時強度最大值不再分布在xs軸上，而是沿著傳播方向出現(xiàn)偏離軸的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

圖9 光強沿傳播方向的分布，其中zs 單位為λ，α=80°，n=1，c=0.3Fig.9 Intensity distribution on the transverse planes along the propagation direction，where the unit of zs is λ，α=80°，n=1，c=0.3

為了觀察這種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，圖10 給出了入射波為LCP、RCP 以及線偏振入射時強度最大值的方位角隨傳播距離的變化情況（?10λ≤zs≤10λ）。分析圖10 可知，不管是何種偏振態(tài)的入射波，其強度最大值的旋轉(zhuǎn)角度范圍均為?50°～50°，并且沿著傳播方向均為逆時針旋轉(zhuǎn)；入射波為線偏振時旋轉(zhuǎn)角度變化趨勢位于入射波為LCP 和RCP的中間并且與LCP 和RCP 的旋轉(zhuǎn)角度差距甚小，可見沿傳播軸方向的光場旋轉(zhuǎn)特性受入射波偏振態(tài)的影響較小。比較入射波為LCP 和RCP時沿傳播方向強度最大值的旋轉(zhuǎn)角度可知，其旋轉(zhuǎn)角度是存在差距的，但旋轉(zhuǎn)角度差距會隨著傳播距離的增大而減小。

圖1 入射光場為X 型渦旋光的緊聚焦系統(tǒng)Fig.1 A tightly focusing system with a X-type vortex beam as the incident field

圖10 光強最大值沿傳播方向的方位角，α=80°，n=1，c=0.3Fig.10 Variation of the azimuthal angles of the intensity maxima along the propagation direction，here α=80°，n=1，c=0.3

2.2.2n=2

上一小節(jié)討論了n=1 時光場沿傳播方向的傳播特性，本節(jié)討論當n=2 時X 型LCP/RCP 渦旋光束在緊聚焦場中沿傳播軸的光場分布。圖11 為入射波為LCP 和RCP 時沿傳播方向的總光強以及LCP 和RCP 的場分量（el，er）相位分布（?10λ≤zs≤10λ），半孔徑角均為80°，相位因子c均為0.3。由圖11 總光強分布可知：入射波不管是LCP 還是RCP，當zs=0 時，其強度最大值在原點即幾何焦點；當zs=±0.5λ時，入射波為LCP 時強度最大值在原點，并且存在旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，入射波為RCP 時強度最大值分離為兩個并且出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；當zs=+1λ時，入射波為LCP 和RCP 時強度最大值都分離為兩個并且出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。從圖11 總光強所對應(yīng)的主要場分量el，er的相位分布可知，其場分量相位均存在兩個主要的渦旋點，當zs=0 時兩個主要渦旋點對稱分布在xs軸上，當zs≠0 時渦旋點具有與強度最大值類似的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

圖11 傳播方向上光強和相應(yīng)的主要場分量相位分布，其中zs 單位為λ，α=80°，n=2，c=0.3Fig.11 The intensity distribution and the corresponding phase of the main field component with the beam propagation.Here the unit of zs is λ，α=80°，n=2，c=0.3

為了觀察光強的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，入射波為LCP 和RCP 時傳播方向光強最大值的方位角變化情況如圖12所示（?10λ≤zs≤10λ），圖中半孔徑角α=80°，藍色代表入射波為LCP，紅色代表入射波為RCP。由圖12 可知：1）當n=2 時，入射波為LCP 和RCP 時強度最大值沿傳播軸的旋轉(zhuǎn)角度范圍都為?50°～50°，沿著傳播方向逆時針旋轉(zhuǎn)；2）當zs=0 時，正如前一節(jié)的分析，當c=0.3 時無論入射波為LCP 還是RCP，在焦平面上都不存在橫向焦移現(xiàn)象，即強度最大值無旋轉(zhuǎn)角度，因此圖12 中在zs=0 時不連續(xù)，而當n=1 時，入射波為LCP 和RCP 時，沿傳播軸方向強度最大值的方位角曲線均是連續(xù)的；3）當入射波為LCP 和RCP 時，強度最大值的具體位置仍具有差異，越靠近焦平面差異性就越明顯。這種差異性的物理本質(zhì)是SOIs 作用的結(jié)果，也可通過入射波為LCP 和RCP 時三個場分量的分布情況進行討論。

圖12 光強最大值沿傳播方向的方位角變化，α=80°，n=2，c=0.3Fig.12 Variation of the azimuthal angles of the intensity maxima along the propagation direction，here α=80°，n=2，c=0.3

當入射波為LCP 和RCP 時X 型渦旋光束在聚焦區(qū)域的三個場分量el，er，ez的強度和相位分布如圖13所示，圖13（a）、（b）、（c）分別為入射波為LCP 時el，er，ez強度分布，圖13（g）、（h）、（i）分別為入射波為RCP 時el，er，ez的強度分布；圖13（d）、（e）、（f）分別為入射波為LCP 時el，er，ez相位分布，圖13（j）、（k）、（l）分別為入射波為RCP 時el，er，ez的相位分布，傳播距離zs=?1λ，半孔徑角α=80°，相位因子c=0.3。分析圖13 可知：1）入射波為LCP 時對總光強起主要作用的是el，ez兩個分量（見圖13（a）、（b）、（c）），而入射波為RCP 時對總光強起主要作用的是er，ez兩個分量（見圖13（g）、（h）、（i））；2）入射波為LCP 時el分量的強度、相位分布和入射波為RCP 時er強度、相位分布相同，兩者的渦旋點的位置也相同（標記為SM和SN）。眾所周知，渦旋點的位置對渦旋所在場分量的光強分布起著重要的作用，因此為了觀察這兩個分量渦旋點（SM和SN）沿傳播方向的傳播特性，圖14 展示了沿傳播方向入射波為LCP 時el分量的渦旋點位置（方位角）和入射波為RCP時er分量的渦旋點位置，圖中半孔徑角α=80°，相位因子c=0.3（注：由于對稱性，只展示了一對渦旋點中的一個）。由圖14 可得，這兩種情況下渦旋點沿傳播方向均為逆時針旋轉(zhuǎn)，并且旋轉(zhuǎn)角度范圍均為?65°～65°。這說明，入射波為LCP 時el分量和入射波為RCP 時er分量對總光強分布具有相同的影響，因此兩種情況下最大光強分布的差異主要是由ez分量的差異產(chǎn)生的；3）入射波為LCP 時ez分量的相位分布有三個渦旋點，而入射波為RCP 時僅有一個中心渦旋點。基于以上分析，從場分量角度來講，不同的ez分量的相位分布或者是其相位渦旋點分布，是導(dǎo)致X 型LCP 和RCP 渦旋光束在傳播方向上光強最大值旋轉(zhuǎn)角度差異的主要因素。

圖13 傳播方向el，er，ez 三個分量強度和相位分布，α=80°，n=2，c=0.3Fig.13 Field component distribution with the beam propagation，here α=80°，n=2，c=0.3

圖14 LCP 和RCP 入射時，el/er 分量渦旋點沿傳播方向的方位角變化，α=80°，n=2，c=0.3Fig.14 Variation of the azimuthal angles of the vortices of el/er components along the propagation direction for the cases of LCP and RCP，here α=80°，n=2，c=0.3

3 結(jié)論

研究了在SOIs 作用下，X 型渦旋光束在高數(shù)值孔徑系統(tǒng)中的光場傳播特性，并得到了X 型渦旋光束相位分布因子c，半孔徑角α，偏振態(tài)和拓撲荷數(shù)等對光強分布的調(diào)控作用。研究發(fā)現(xiàn)：1）當相位分布因子|c|≠1 時，焦平面上存在橫向焦移，沿傳播方向的光強分布呈現(xiàn)逆時針旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并且旋轉(zhuǎn)方向和整體的旋轉(zhuǎn)角度不受入射波偏振態(tài)的影響；2）入射波為LCP 和RCP 時，在焦平面和傳播方向上光強分布出現(xiàn)差異，本質(zhì)上是由SOIs 導(dǎo)致的；3）無論入射波為LCP 還是RCP，X 型渦旋光束在焦平面上強度最大值的軸向轉(zhuǎn)折點均為csw=1，這與線偏振態(tài)下csw≤1（且隨孔徑角可變）不同，這是入射波偏振態(tài)使得光場非極性分布的結(jié)果；4）當X 型渦旋光束為二階時，在與入射波相同偏振態(tài)的場分量中，會出現(xiàn)兩個主要渦旋點，這兩個渦旋點也會沿傳播方向逆時針旋轉(zhuǎn)，并且入射波為LCP 和RCP 時兩個主要渦旋點位置相同，旋轉(zhuǎn)一致；二階情況下，入射波為LCP 和RCP 時縱向場的不同導(dǎo)致了光強分布的差異。本文研究為三維光場的調(diào)控提出了思路和方法。