人工光子學(xué)器件的逆向設(shè)計(jì)方法與應(yīng)用（特邀）

瑪?shù)啬?，程化，田建?guó)，陳樹(shù)琪，2，3

（1 南開(kāi)大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，泰達(dá)應(yīng)用物理研究院，弱光非線(xiàn)性光子學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300071）

（2 山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，太原030006）

（3 山東師范大學(xué)光場(chǎng)調(diào)控及應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心，濟(jì)南250358）

0 引言

人工光子學(xué)器件通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的有序設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)振幅、相位和偏振等多個(gè)維度的調(diào)控，在現(xiàn)代光學(xué)工程領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景［1-3］。光子學(xué)器件的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法常采用有限元法，有限時(shí)域差分法等電磁場(chǎng)數(shù)值模擬方法［4-7］。采用數(shù)值模擬方法設(shè)計(jì)復(fù)雜光子學(xué)結(jié)構(gòu)時(shí)通常需要先給定結(jié)構(gòu)的幾何形狀與材料參數(shù)，并經(jīng)過(guò)多次模擬計(jì)算對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行微調(diào)。在優(yōu)化過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的初始幾何形狀與材料參數(shù)通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒o定的，因此結(jié)構(gòu)可優(yōu)化的參數(shù)維度是有限的。除此之外，調(diào)參過(guò)程中需要多次迭代計(jì)算，這也增加了計(jì)算成本與時(shí)間成本。為了有效解決上述問(wèn)題，光子學(xué)器件的智能優(yōu)化方法應(yīng)運(yùn)而生。光子學(xué)器件的優(yōu)化可以概括為三個(gè)方面，分別是尺寸優(yōu)化［8-10］，形狀優(yōu)化［11-13］與拓?fù)鋬?yōu)化［14-16］。尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化是通過(guò)優(yōu)化光子學(xué)器件的幾何參數(shù)（周期，厚度等）與幾何形狀來(lái)提高器件性能的，而拓?fù)鋬?yōu)化是通過(guò)優(yōu)化結(jié)構(gòu)中的布局，即結(jié)構(gòu)中不同性質(zhì)材料的分布來(lái)實(shí)現(xiàn)器件性能的優(yōu)化的，因此拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)比其它兩類(lèi)優(yōu)化方式具有更高的自由度。上述三類(lèi)優(yōu)化方式被廣泛的應(yīng)用于光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)中。近些年，隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的提高和多種算法的提出，光子學(xué)器件的逆向設(shè)計(jì)也得到了快速發(fā)展。常見(jiàn)的逆向設(shè)計(jì)方法可以分為梯度下降算法與遺傳算法兩大類(lèi)。梯度下降算法利用梯度信息指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，由于該算法給定了明確的優(yōu)化方向，因此優(yōu)化速度較快［17-18］。而對(duì)于梯度信息未知的問(wèn)題，可以采用遺傳算法。遺傳算法通過(guò)模擬生物“優(yōu)勝劣汰”的進(jìn)化過(guò)程來(lái)尋找全局最優(yōu)值，因此無(wú)需梯度信息，且具有全局搜索能力［19］。兩類(lèi)算法都已經(jīng)成功的用于光子晶體［20-21］，超構(gòu)光柵［22-23］，超透鏡［24-25］等光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)當(dāng)中。近些年，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，深度學(xué)習(xí)算法在諸多領(lǐng)域備受關(guān)注。在光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)中，深度學(xué)習(xí)模型已被證實(shí)可以表征光子結(jié)構(gòu)與其光學(xué)特性之間的物理關(guān)系［26-28］，并且已經(jīng)成功用于隱身斗篷［29］、編碼超表面［30-32］、模數(shù)轉(zhuǎn)換器［33］等器件的設(shè)計(jì)中。多個(gè)研究工作也證實(shí)，對(duì)比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，逆向設(shè)計(jì)算法得到的器件擁有了更復(fù)雜抽象的形態(tài)，性能上也大有突破［34-39］。

本文對(duì)人工光子學(xué)器件的逆向設(shè)計(jì)工作進(jìn)行了總結(jié)。分別介紹了基于梯度下降算法，遺傳算法和深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)方法及逆向設(shè)計(jì)方法在光譜設(shè)計(jì)，相位設(shè)計(jì)和非線(xiàn)性光學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用。

1 逆向設(shè)計(jì)方法介紹

基于智能算法的光子學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)是當(dāng)前光場(chǎng)調(diào)控領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。圖1 總結(jié)了常見(jiàn)的逆向設(shè)計(jì)方法和具體應(yīng)用。1.1 節(jié)將介紹基于梯度下降算法的逆向設(shè)計(jì)方法，其中重點(diǎn)介紹基于拓?fù)鋬?yōu)化的光子學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)，除以之外，還介紹了遺傳算法的基本思路，并通過(guò)一個(gè)典型的逆向設(shè)計(jì)實(shí)例展示了它在逆向設(shè)計(jì)中的作用。在1.2 節(jié)將詳細(xì)介紹不同優(yōu)化目標(biāo)下的深度學(xué)習(xí)方法。

圖1 逆向設(shè)計(jì)方法與應(yīng)用Fig.1 Inverse design methods and their applications in photonics

1.1 基于梯度下降算法與遺傳算法的結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)

光子學(xué)器件的逆向設(shè)計(jì)依賴(lài)于智能算法與數(shù)值仿真技術(shù)。在逆向設(shè)計(jì)的過(guò)程中，通用的方法是給定初始結(jié)構(gòu)，利用電磁場(chǎng)數(shù)值仿真計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的反饋來(lái)更新結(jié)構(gòu)，并多次迭代上述過(guò)程實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。梯度下降算法利用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息來(lái)提供反饋。拓?fù)鋬?yōu)化算法是梯度下降算法中較常用的一類(lèi)算法，它會(huì)根據(jù)給定的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)，在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域?qū)Σ牧戏植歼M(jìn)行優(yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化算法中，目標(biāo)函數(shù)的梯度常用伴隨方法計(jì)算［40］。伴隨方法的主要構(gòu)成為參數(shù)變量p，與p相關(guān)的場(chǎng)變量x，目標(biāo)函數(shù)f(x，p)，約束函數(shù)g(x，p)=0。伴隨方法通過(guò)引入拉格朗日乘子λ，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)于參數(shù)變量p的梯度，則有

令

就得到了目標(biāo)函數(shù)對(duì)參數(shù)p的梯度值實(shí)際應(yīng)用中需要用原方程的解向量與伴隨方程（式（3））的解向量來(lái)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，在計(jì)算過(guò)程中無(wú)論變量多少，都僅需求解兩個(gè)等大小的方程，對(duì)計(jì)算量沒(méi)有顯著的影響，因此該方法在大規(guī)模變量的優(yōu)化中有廣泛的應(yīng)用。

PIGGOTT A Y 等［17］提出了基于拓?fù)鋬?yōu)化的自動(dòng)化逆向設(shè)計(jì)方法，該方法只需指定設(shè)備所需的功能便可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化設(shè)計(jì)，全程無(wú)需人工干涉。以波分復(fù)用器的設(shè)計(jì)為例（圖2（a）），第一步設(shè)定一個(gè)初始材料分布，長(zhǎng)方形設(shè)計(jì)區(qū)域的材料介電常數(shù)允許在硅和空氣的介電常數(shù)之間連續(xù)變化；第二步將離散的介電常數(shù)分布轉(zhuǎn)化為二值化水平集表示；第三步使用正向模擬與伴隨模擬計(jì)算梯度方向，沿梯度下降方向更新結(jié)構(gòu)參數(shù)，使該結(jié)構(gòu)的輸出波可以在不同工作波長(zhǎng)下耦合到指定的端口。將上述過(guò)程迭代一定的次數(shù)直到結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足輸出條件，就可以得到最終優(yōu)化的結(jié)構(gòu)。梯度下降方法得到的優(yōu)化結(jié)果實(shí)際上是參數(shù)范圍內(nèi)的局部最優(yōu)值，若能給定一個(gè)合理的初始結(jié)構(gòu)分布，則算法更容易收斂到全局最優(yōu)值。理想的初始結(jié)構(gòu)分布常由目標(biāo)優(yōu)先方法給定。目標(biāo)優(yōu)先方法中，入射模式產(chǎn)生的電磁場(chǎng)需要滿(mǎn)足目標(biāo)方程，但允許違反麥克斯韋方程，后續(xù)需要利用梯度下降算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)，使其電磁場(chǎng)分布滿(mǎn)足麥克斯韋方程。從圖2（a）看出，利用梯度下降算法逆向設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)具有抽象的分布，這是人腦難以直接設(shè)計(jì)的，且該結(jié)構(gòu)對(duì)比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有更高的魯棒性，更小的面積，更低的串?dāng)_與更寬的帶寬。

圖2 基于梯度下降算法與遺傳算法的結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)方法Fig.2 Structural inverse design methods based on gradient descent algorithm and genetic algorithm

SELL D 等［41］利用拓?fù)鋬?yōu)化的方法設(shè)計(jì)了大角度、多功能的超構(gòu)光柵，如圖2（b）所示，該結(jié)構(gòu)由非直觀(guān)的納米級(jí)圖形構(gòu)成。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中，仍采用一個(gè)初始的隨機(jī)連續(xù)體分布，并利用正向模擬與伴隨模擬計(jì)算梯度，多次迭代更新每個(gè)位置的介電常數(shù)，從而優(yōu)化整個(gè)結(jié)構(gòu)的偏轉(zhuǎn)效率。對(duì)比其它透射類(lèi)光柵，拓?fù)鋬?yōu)化光柵在大角度偏轉(zhuǎn)中（40°到80°）展現(xiàn)了極高的效率。該單層超構(gòu)光柵結(jié)構(gòu)可以看作一個(gè)垂直取向的法布里-珀羅諧振腔（Fabry-Perot cavity，F(xiàn)-P cavity），襯底與光柵和空氣與光柵的交界處相當(dāng)于腔鏡。當(dāng)平面波入射時(shí)，腔內(nèi)會(huì)激發(fā)多種模式，這些模式傳播到界面處時(shí)會(huì)反射，并與其它模式耦合，再散射到幾個(gè)離散的衍射通道。當(dāng)所需衍射通道中所有布洛赫模式的外耦合平面波相長(zhǎng)干涉時(shí)，可在所需衍射通道中實(shí)現(xiàn)高效率光束偏轉(zhuǎn)（圖2（c）左）。以圖2（b）中的光柵結(jié)構(gòu)為例，當(dāng)外耦合平面波中僅包含一個(gè)模式時(shí)，光束的偏轉(zhuǎn)效率僅為16%，當(dāng)模式數(shù)增加到8 時(shí)，偏轉(zhuǎn)效率也增加至84%。這說(shuō)明拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)構(gòu)可以支持多種模式的激發(fā)與耦合，使器件的性能更接近極限。盡管拓?fù)鋬?yōu)化方法已被用于諸多光學(xué)器件的設(shè)計(jì)，但是優(yōu)化算法中的正向模擬和伴隨模擬過(guò)程仍會(huì)增加結(jié)構(gòu)的優(yōu)化時(shí)長(zhǎng)，尤其是大尺寸光子學(xué)器件的優(yōu)化問(wèn)題，就算采用GPU 加速等方法仍無(wú)法將優(yōu)化時(shí)間壓縮在理想的范圍。PHAN T 等［24］利用分段優(yōu)化的方法有效的解決了這個(gè)難題。圖2（d）中展示了分段優(yōu)化方法的主要思路，首先將所需的相位分布離散為一系列波長(zhǎng)尺度的線(xiàn)性部分，接下來(lái)利用拓?fù)鋬?yōu)化分別設(shè)計(jì)每個(gè)部分，使得各個(gè)部分的相位分布接近期望值，最后再將所有優(yōu)化后的元素組合在一起，形成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)。圖2（e）對(duì)比了直接優(yōu)化方法與分段優(yōu)化方法的計(jì)算時(shí)間，可以發(fā)現(xiàn)利用分段優(yōu)化方法可以在一天內(nèi)產(chǎn)生毫米級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化超表面（使用個(gè)人筆記本電腦），而直接優(yōu)化大約需要一年的時(shí)間?；谶@個(gè)思路，局域周期性近似的思想在大尺寸結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中被廣泛的采用。除了拓?fù)鋬?yōu)化方法外，還有許多基于梯度下降方式的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算法，如牛頓法［42］和移動(dòng)漸近線(xiàn)法［43］等。現(xiàn)在COMSOL Multiphysics，CST STUDIO SUITE 等數(shù)值模擬軟件包含了多種逆向設(shè)計(jì)算法，無(wú)需編寫(xiě)額外的程序便可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)尋參，有效縮短了參數(shù)優(yōu)化時(shí)間。

基于梯度下降的優(yōu)化方法是局域參數(shù)空間內(nèi)的優(yōu)化，在全局優(yōu)化問(wèn)題中，常利用遺傳算法。遺傳算法是一套模擬生物進(jìn)化的優(yōu)化算法［44］，該方法主要有四個(gè)主要步驟。第一步：生成初始種群分布；第二步：種群中個(gè)體的基因通過(guò)交叉互換生成子代；第三步：子代中的基因隨機(jī)變異，該過(guò)程是為了模擬生物進(jìn)化過(guò)程中的基因隨機(jī)突變；第四步，計(jì)算種群中所有個(gè)體的適應(yīng)性函數(shù)，并按照函數(shù)得分排序。最終淘汰適應(yīng)性差的個(gè)體，剩余的個(gè)體組成新的種群，并開(kāi)始下一輪進(jìn)化。將上述四個(gè)步驟迭代一定的次數(shù)，便可以使種群整體朝期望的方向進(jìn)化。由于初始種群的參數(shù)分布并不局限于特定區(qū)域，因此進(jìn)化算法可以在全局中搜索可能的參數(shù)分布，且種群數(shù)越大，越容易得到最優(yōu)解。遺傳算法不依賴(lài)于初始值的給定，因此無(wú)需人工干涉便可以在全局內(nèi)自動(dòng)尋找最優(yōu)解，基于這個(gè)特點(diǎn)，它常被用于設(shè)計(jì)初始形態(tài)未知的器件。有多種類(lèi)似遺傳算法的優(yōu)化算法，如多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法［45］，協(xié)方差矩陣自適應(yīng)進(jìn)化策略［46］等，它們已成功用于波束整形，熱學(xué)斗篷等方向。圖2（f）展示了一種用來(lái)優(yōu)化大尺寸結(jié)構(gòu)的分階段遺傳算法［47］，待優(yōu)化的超表面由諸多像素構(gòu)成，每個(gè)像素包含“1”和“0”兩種狀態(tài)，其中“1”狀態(tài)表示該像素參與了遠(yuǎn)場(chǎng)圖樣的構(gòu)成，“0”狀態(tài)則相反。第一階段，將整個(gè)大的超表面分割成等尺寸的小面積超表面，然后每個(gè)小結(jié)構(gòu)中的像素按照只變異的形式進(jìn)行進(jìn)化（即“0”與“1”之間轉(zhuǎn)換）。當(dāng)?shù)谝贿M(jìn)化階段的適應(yīng)性方程滿(mǎn)足收斂條件后，將第一階段的最終優(yōu)化結(jié)果整合，并將其作為第二階段的初始結(jié)構(gòu)。第二階段中，整體的超表面結(jié)構(gòu)按照僅變異的形式進(jìn)化，直到最終達(dá)到閾值后輸出最優(yōu)結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出（圖2（f）右），兩種全息圖（寬帶全息圖與彩色全息圖）都可以按照設(shè)定的目標(biāo)產(chǎn)生期望的遠(yuǎn)場(chǎng)圖樣，這證明了分階段遺傳算法的有效性。值得一提的是，該方法通過(guò)分階段，分塊優(yōu)化的方式顯著提高了大型光學(xué)元件的逆向設(shè)計(jì)速度。盡管遺傳算法在一些光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)中表現(xiàn)出色，但它仍存在一些問(wèn)題，如優(yōu)化變量有限，參數(shù)敏感，優(yōu)化時(shí)間長(zhǎng)等。當(dāng)需要優(yōu)化的變量過(guò)多時(shí)，遺傳算法較難得到理想的結(jié)果，同時(shí)它非常依賴(lài)參數(shù)的設(shè)置，如變異強(qiáng)度和種群數(shù)目的大小都會(huì)影響算法最終的結(jié)果，并且算法在每一次迭代中都需要計(jì)算所有個(gè)體的電磁場(chǎng)分布，這也導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程將耗費(fèi)大量的時(shí)間與計(jì)算內(nèi)存。因此在大尺寸結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，拓?fù)鋬?yōu)化方法仍更受青睞。

粒子群算法也常用于光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)。粒子群算法是模仿鳥(niǎo)類(lèi)覓食行為的一種全局搜索算法，該算法通過(guò)在解空間中移動(dòng)粒子來(lái)尋找最優(yōu)解［48］。粒子群算法的思路與遺傳算法相似，但它們最大的區(qū)別是，粒子群算法中每個(gè)粒子在解空間中會(huì)單獨(dú)搜尋最優(yōu)解，并根據(jù)適應(yīng)性函數(shù)的個(gè)體極值與全局極值來(lái)更新自己的速度與位置。在光柵結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化中常用到粒子群算法［49］。經(jīng)過(guò)粒子群算法優(yōu)化后的非晶硅光柵在可見(jiàn)光波段可以實(shí)現(xiàn)寬帶，偏振不敏感的光吸收，且吸收效率高于80%。van DIJK L 等［50］將粒子群算法應(yīng)用于等離子體散射反射器的參數(shù)優(yōu)化中，優(yōu)化后的器件可以產(chǎn)生尖銳的吸收峰并且結(jié)構(gòu)的外量子效率得到了提升。在原有結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，電流吸收率提高了32%。但是粒子群算法的局限性與遺傳算法是相似的，變量個(gè)數(shù)，參數(shù)設(shè)置，時(shí)長(zhǎng)等問(wèn)題在粒子群算法中仍存在。因此在優(yōu)化變量較少的情況下，遺傳算法與粒子群算法可以指導(dǎo)參數(shù)優(yōu)化的方向，但高自由度優(yōu)化問(wèn)題上仍需要更多高效靈活的設(shè)計(jì)方法。

1.2 基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)方法

多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一類(lèi)簡(jiǎn)單的深度學(xué)習(xí)模型，該模型包含一個(gè)輸入層與一個(gè)輸出層，輸入層與輸出層之間包含多個(gè)隱藏層［51］。輸入層的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表需要訓(xùn)練的特征，隱藏層中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)均通過(guò)帶權(quán)重的連接與上一層的節(jié)點(diǎn)相連。層與層之間的信息有兩種傳播方法，分別是正向傳播與逆向傳播，在正向傳播過(guò)程中，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都接受了上一層節(jié)點(diǎn)的輸出，并通過(guò)激活函數(shù)處理，繼續(xù)傳播至下一層。逆向傳播過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)計(jì)算結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)間的誤差依照鏈?zhǔn)椒▌t層層逆向傳播，并對(duì)每一層的權(quán)重進(jìn)行更新，通過(guò)一定次數(shù)的迭代，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)就可以完成訓(xùn)練。深度學(xué)習(xí)可以在大量的數(shù)據(jù)中有效的提取特征，但是單一的深度學(xué)習(xí)模型并不是萬(wàn)能的，不同的問(wèn)題與不同的數(shù)據(jù)集需要選擇適用的網(wǎng)絡(luò)模型［52-54］。在光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)優(yōu)化上，許多的復(fù)合模型都被用于解決復(fù)雜的光學(xué)問(wèn)題［55-57］。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常被用于處理已知形狀結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化問(wèn)題。以多層薄膜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化為例，該薄膜由多個(gè)二氧化硅與氮化硅層構(gòu)成，每一層的厚度為待優(yōu)化的參數(shù)變量，優(yōu)化的目標(biāo)是，給定目標(biāo)的透射譜分布，快速得到結(jié)構(gòu)每層的厚度。此類(lèi)問(wèn)題可以歸類(lèi)為回歸問(wèn)題，解決回歸問(wèn)題通常需要先訓(xùn)練結(jié)構(gòu)參數(shù)到譜線(xiàn)的映射網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)常選用網(wǎng)絡(luò)的輸出與真實(shí)譜線(xiàn)數(shù)據(jù)的均方差（或者平均絕對(duì)誤差）。訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)可以在幾秒內(nèi)得到任意結(jié)構(gòu)的透射譜線(xiàn)，其計(jì)算速度遠(yuǎn)快于數(shù)值模擬方法。在實(shí)際應(yīng)用中，存在多組參數(shù)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)一組譜線(xiàn)的情況，因此在逆向設(shè)計(jì)中，若簡(jiǎn)單的訓(xùn)練譜線(xiàn)對(duì)應(yīng)參數(shù)的映射網(wǎng)絡(luò)，往往很難收斂，因此LIU D 等［58］提出了串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)思路。串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3（a）所示，首先固定參數(shù)與譜線(xiàn)之間的映射網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重值，并將該映射網(wǎng)絡(luò)的輸入層作為串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的中間層，再將目標(biāo)譜線(xiàn)作為串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的輸入，目標(biāo)譜線(xiàn)與預(yù)測(cè)譜線(xiàn)的均方差作為損失進(jìn)行訓(xùn)練。該方法將譜線(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)的映射問(wèn)題轉(zhuǎn)化成譜線(xiàn)與譜線(xiàn)之間的映射，提高了網(wǎng)絡(luò)的收斂性。在實(shí)際訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和超參數(shù)的設(shè)置決定了網(wǎng)絡(luò)的性能，而超參數(shù)的設(shè)置過(guò)程需要大量的調(diào)試，因此若能快速準(zhǔn)確給定超參數(shù)，可以提高網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，改善網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)性能。為了有效解決上述問(wèn)題，ZHANG T 等［59］提出利用遺傳算法設(shè)置多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)。如圖3（b）所示，一個(gè)簡(jiǎn)單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)由層數(shù)，每層節(jié)點(diǎn)數(shù)，激活函數(shù)，優(yōu)化器等決定，將它們看作遺傳算法中的優(yōu)化變量，并通過(guò)多次重復(fù)生成子代，變異，淘汰等過(guò)程，便可以得到最終的超參數(shù)分布。從圖3（c）中可以看出，隨著一代一代的進(jìn)化，不同超參數(shù)網(wǎng)絡(luò)的適應(yīng)性函數(shù)得分逐步提高，且最終趨于穩(wěn)定。采用優(yōu)化后的超參數(shù)分布后，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練僅需幾分鐘便可完成，有效提高了訓(xùn)練效率。

當(dāng)面對(duì)形狀優(yōu)化問(wèn)題和拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題時(shí)，需要選用更加復(fù)雜的深度學(xué)習(xí)模型。圖3（d）給出了一個(gè)對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)基本組成部分，分別是生成器、模擬器與評(píng)價(jià)器［60］。生成器接受期望的透射譜與噪聲，并生成可能的結(jié)構(gòu)圖案分布。模擬器是一個(gè)已完成訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)，它接受給定的圖案，并生成圖案對(duì)應(yīng)的透射光譜。評(píng)價(jià)器負(fù)責(zé)評(píng)估生成器輸出的圖案與給定的數(shù)據(jù)庫(kù)中的圖案的差異。這三個(gè)網(wǎng)絡(luò)各自有著不同的作用，其中模擬器是最早需要訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)。模擬器將不同圖案的結(jié)構(gòu)與對(duì)應(yīng)的譜線(xiàn)作為輸入與輸出進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練后的模擬器可以以高精度實(shí)現(xiàn)譜線(xiàn)的預(yù)測(cè)。生成器接受期望譜線(xiàn)與噪聲后會(huì)產(chǎn)生預(yù)測(cè)的圖案，將此圖案輸入模擬器可得到預(yù)測(cè)譜線(xiàn)。生成器最終通過(guò)期望譜線(xiàn)與預(yù)測(cè)譜線(xiàn)的誤差來(lái)完成訓(xùn)練。評(píng)價(jià)器則通過(guò)生成器的預(yù)測(cè)圖案與數(shù)據(jù)集中給定的理想圖案的誤差來(lái)完成訓(xùn)練。它的主要作用是使最終得到的結(jié)構(gòu)分布更為緊湊，更易于制備。通過(guò)對(duì)比對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)與簡(jiǎn)單的多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以發(fā)現(xiàn)，隨著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變，網(wǎng)絡(luò)能實(shí)現(xiàn)的功能也日益多樣化，基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)并不再局限于結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的設(shè)計(jì)，而是可以實(shí)現(xiàn)像素級(jí)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

圖3 基于深度學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)Fig.3 Structural inverse design methods based on deep learning

除了常見(jiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)外，深度學(xué)習(xí)方法還可以與其它算法結(jié)合實(shí)現(xiàn)更靈活的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。ZHU D 等［61］提出了一種混合深度學(xué)習(xí)框架（圖3（e）），有效拓展了逆向設(shè)計(jì)的自由度。該框架由生成器、模擬器與優(yōu)化器構(gòu)成，其中生成器是一個(gè)合成圖案生成網(wǎng)絡(luò)，它可以解碼一批向量并生成相應(yīng)的納米結(jié)構(gòu)。模擬器輸入納米結(jié)構(gòu)，并生成對(duì)應(yīng)的光譜分布。優(yōu)化器是一個(gè)基于進(jìn)化算法的選擇器件，它通過(guò)無(wú)梯度的全局搜索尋找滿(mǎn)足期望的最優(yōu)編碼向量。進(jìn)化算法與深度學(xué)習(xí)的結(jié)合可以很大程度的解決進(jìn)化算法計(jì)算規(guī)模大，計(jì)算速度慢等問(wèn)題，同時(shí)進(jìn)化算法無(wú)需梯度的特點(diǎn)也可以使得該框架更容易找到全局最優(yōu)的結(jié)果。另外，在此工作中，研究者利用散射矩陣鏈?zhǔn)接?jì)算的方法將單層結(jié)構(gòu)推廣到少層結(jié)構(gòu)，少層結(jié)構(gòu)相較于單層結(jié)構(gòu)具有很多優(yōu)勢(shì)，而且可以實(shí)現(xiàn)單層結(jié)構(gòu)較難實(shí)現(xiàn)的功能。利用散射矩陣的計(jì)算方法沒(méi)有引入更多的模擬過(guò)程，縮短了少層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)間。這套設(shè)計(jì)框架無(wú)需人工干預(yù)，具有高效率、高精度、數(shù)據(jù)需求少等卓越的特點(diǎn)，同時(shí)也為少層超表面的設(shè)計(jì)提供了思路。復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以有效的解決多種的物理問(wèn)題，但是一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練通常需要大量的數(shù)據(jù)，而且隨著問(wèn)題復(fù)雜度的提高，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間也會(huì)隨之增加。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，為了減少計(jì)算成本，常利用遷移學(xué)習(xí)的方法來(lái)訓(xùn)練數(shù)據(jù)。遷移學(xué)習(xí)是將其它數(shù)據(jù)集上已經(jīng)訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)作為起點(diǎn)訓(xùn)練的一種網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練方式，它可以有效縮短新網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間［62-63］。ZHU R 等［64］將遷移學(xué)習(xí)的思想引入了超表面的設(shè)計(jì)當(dāng)中。如圖3（f）所示，預(yù)訓(xùn)練的Inception V3 模型常用于處理圖像分類(lèi)問(wèn)題［65］，但經(jīng)過(guò)遷移，該模型可以將圖像識(shí)別功能遷移到相位預(yù)測(cè)功能。該網(wǎng)絡(luò)以隨機(jī)不規(guī)則圖形為輸入，預(yù)測(cè)的相位分布為輸出進(jìn)行訓(xùn)練。訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以按照90%的精確率實(shí)現(xiàn)相位預(yù)測(cè)。利用該網(wǎng)絡(luò)建立結(jié)構(gòu)庫(kù)，則可以實(shí)現(xiàn)任意相位所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)的快速搜素，能有效降低結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)成本，提高多功能器件設(shè)計(jì)的靈活性。遷移學(xué)習(xí)可以有效減少網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練所需的數(shù)據(jù)量，也可以減少前期數(shù)據(jù)準(zhǔn)備時(shí)間與計(jì)算機(jī)的運(yùn)算成本。

深度學(xué)習(xí)除了通過(guò)訓(xùn)練多種圖形數(shù)據(jù)集來(lái)實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化外，還可以與其它梯度下降方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化。JIANG J 等［66］將伴隨方法與生成網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，提出了一種新型的全局拓?fù)鋬?yōu)化網(wǎng)絡(luò)（圖3（g））。該網(wǎng)絡(luò)由全連接層、反卷積層與高斯濾波器構(gòu)成，網(wǎng)絡(luò)的輸入為設(shè)備的工作波長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)角度與噪聲矢量，網(wǎng)絡(luò)的輸出是設(shè)備的折射率分布，網(wǎng)絡(luò)的最后一層加入了高斯濾波器，可以用于消除小像素級(jí)的特征，使網(wǎng)絡(luò)生成的結(jié)構(gòu)不會(huì)過(guò)于離散化。該網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練目標(biāo)是利用多次迭代，更新網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使特定波長(zhǎng)與出射角度下的衍射效率最大化。與其它基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)工作不同的是，該拓?fù)鋬?yōu)化網(wǎng)絡(luò)無(wú)需訓(xùn)練集，這是因?yàn)檎麄€(gè)訓(xùn)練過(guò)程是直接通過(guò)數(shù)值模擬方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)的衍射強(qiáng)度，誤差反饋過(guò)程中的梯度的計(jì)算也是通過(guò)伴隨方法實(shí)現(xiàn)的，因此整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練僅需要物理梯度信息。對(duì)比1.1 節(jié)介紹的普通的拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過(guò)全局拓?fù)鋬?yōu)化網(wǎng)絡(luò)生成的器件效率高于（或相當(dāng)于）基于伴隨方法的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)，且計(jì)算的成本更少，這也說(shuō)明生成網(wǎng)絡(luò)與伴隨方法的結(jié)合能為拓?fù)鋬?yōu)化方法帶來(lái)革新。

2 逆向設(shè)計(jì)算法的應(yīng)用

逆向設(shè)計(jì)的方法多樣，且相較于傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法具有更高的靈活度。逆向設(shè)計(jì)方法可以將單個(gè)或多個(gè)光學(xué)參量作為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)振幅、相位、偏振等參量的調(diào)控。近年來(lái)逆向設(shè)計(jì)方法在光譜設(shè)計(jì)、相位設(shè)計(jì)與非線(xiàn)性光學(xué)中取得了卓越的成就，因此本節(jié)著重介紹逆向設(shè)計(jì)在這三個(gè)方向上的主要應(yīng)用，我們相信這些工作會(huì)為未來(lái)光子學(xué)器件新穎設(shè)計(jì)提供新的靈感。

2.1 基于逆向設(shè)計(jì)方法的光譜設(shè)計(jì)

光譜設(shè)計(jì)在光學(xué)領(lǐng)域有著重要的意義，例如結(jié)構(gòu)色光譜設(shè)計(jì)問(wèn)題，若結(jié)構(gòu)出射光譜改變，結(jié)構(gòu)透射（或反射）光的顏色也會(huì)隨之改變［67-69］。而對(duì)完美吸收器件而言，寬帶、高效率的吸收光譜是器件設(shè)計(jì)的首要目標(biāo)［70-72］。此類(lèi)器件的設(shè)計(jì)中，期望的光譜是清晰明確的，但是依靠已知的光譜分布逆向?qū)ふ医Y(jié)構(gòu)是困難的，因此逆向設(shè)計(jì)算法常被用于光譜設(shè)計(jì)問(wèn)題。LI Z 等［73］結(jié)合微型遺傳算法和數(shù)值模擬方法，成功設(shè)計(jì)了中紅外波段的寬帶吸收器件。如圖4（a）所示，該結(jié)構(gòu)由頂部離散的鎢結(jié)構(gòu)、中部的氧化鋁層和底部的鎢層構(gòu)成。頂部的鎢結(jié)構(gòu)被分為11×11 個(gè)像素陣列，每個(gè)像素位置的材料可以用二進(jìn)制狀態(tài)表示（‘1’代表鎢結(jié)構(gòu)，‘0’代表空氣）。該算法可以在35 代內(nèi)收斂到理想值。實(shí)驗(yàn)測(cè)量譜線(xiàn)與模擬譜線(xiàn)也證明逆向設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)寬帶的高效吸收。觀(guān)察不同波長(zhǎng)下的電場(chǎng)分布，可以發(fā)現(xiàn)，逆向設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)對(duì)電場(chǎng)有增強(qiáng)作用(圖4（b）），這也說(shuō)明，逆向設(shè)計(jì)算法可以對(duì)一些光學(xué)現(xiàn)象的深度物理機(jī)制進(jìn)行挖掘。在光譜設(shè)計(jì)領(lǐng)域，深度學(xué)習(xí)憑借其出色的擬合譜線(xiàn)的能力脫穎而出。在手性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，基于結(jié)構(gòu)的幾何特征，兩個(gè)環(huán)形開(kāi)口環(huán)諧振器的堆疊可以實(shí)現(xiàn)手性鏡子的作用，但通過(guò)微調(diào)諧振器的幾何參數(shù)得到理想光譜是困難的，因此可以結(jié)合逆向設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)期望的光譜與實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)。MA W 等［74］利用雙向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了該功能。如圖4（c）所示，該網(wǎng)絡(luò)具有譜線(xiàn)正向預(yù)測(cè)與結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)兩個(gè)功能，譜線(xiàn)正向預(yù)測(cè)中，輸入幾何參數(shù)，網(wǎng)絡(luò)可以在0.000 8 的均方誤差范圍內(nèi)精確的預(yù)測(cè)譜線(xiàn)。在基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)問(wèn)題中，輸出結(jié)構(gòu)的性能與譜線(xiàn)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的性能密不可分。此案例中，正向預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度很高，因此，逆向設(shè)計(jì)過(guò)程中僅需使用卷積加全連接層的結(jié)構(gòu)提取目標(biāo)光譜特征，并與正向網(wǎng)絡(luò)相連接形成一個(gè)完整的逆向設(shè)計(jì)系統(tǒng)。值得一提的是，光譜的設(shè)計(jì)方法十分靈活，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中可以將多組反射光譜數(shù)據(jù)或圓二色性光譜數(shù)據(jù)作為目標(biāo)進(jìn)行訓(xùn)練，兩種訓(xùn)練方式都可以高效快速的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)逆向設(shè)計(jì)。

圖4 逆向設(shè)計(jì)方法在光譜設(shè)計(jì)中的應(yīng)用Fig.4 Applications of inverse design methods in spectra design

在結(jié)構(gòu)色器件設(shè)計(jì)中，深度學(xué)習(xí)也起到了至關(guān)重要的作用。色坐標(biāo)在色度學(xué)中具有重要的意義，若可以控制色坐標(biāo)分布，則可以任意設(shè)計(jì)顏色的色相，明亮與飽和度。在實(shí)際應(yīng)用中，色坐標(biāo)是由結(jié)構(gòu)的反射/透射光譜計(jì)算得到的，因此可通過(guò)光譜設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)色坐標(biāo)的任意設(shè)計(jì)。GAO L 等［75］利用串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了色坐標(biāo)與結(jié)構(gòu)色器件幾何參數(shù)的映射（圖4（d））。計(jì)算結(jié)果顯示該網(wǎng)絡(luò)可以以95%的精確度實(shí)現(xiàn)色品圖中100萬(wàn)種不同的顏色，這是傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法難以實(shí)現(xiàn)的。DAI P 等［76］利用雙向深度學(xué)習(xí)模型實(shí)現(xiàn)了F-P 腔彩色濾波器的逆向設(shè)計(jì)（圖4（e））。該雙向網(wǎng)路具有很高的色彩設(shè)計(jì)精度，在CIE 1976-Lab 顏色空間中，訓(xùn)練集的平均ΔE2000值低于1.2。從色品圖數(shù)據(jù)可以看出，該結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)的顏色覆蓋了215%的sRGB 色彩空間。對(duì)比其它設(shè)計(jì)方法，基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)具有高速，高效等優(yōu)勢(shì)。深度學(xué)習(xí)在結(jié)構(gòu)色器件設(shè)計(jì)中展現(xiàn)了巨大的前景，但是大多數(shù)器件的設(shè)計(jì)仍局限于尺寸優(yōu)化，若在設(shè)計(jì)中引入更高的自由度，相信可以實(shí)現(xiàn)更高性能的顏色顯示。

除了結(jié)構(gòu)色以外，光譜設(shè)計(jì)在共振器件的設(shè)計(jì)中也有重要的作用。多數(shù)譜線(xiàn)的正向預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)都存在一個(gè)缺點(diǎn)，它們對(duì)于極窄帶寬的譜線(xiàn)數(shù)據(jù)的擬合誤差較大，這主要是因?yàn)樽V線(xiàn)極窄帶寬處的采樣數(shù)不足。YEUNG C 等［77］通過(guò)特殊的折射率編碼方式，設(shè)計(jì)了窄帶譜線(xiàn)的全局逆向設(shè)計(jì)框架。由卷積網(wǎng)絡(luò)的工作原理可知，卷積網(wǎng)絡(luò)更易于從RGB 圖片中提取特征，因此本案例中研究者將金屬-絕緣體-金屬結(jié)構(gòu)與單層電介質(zhì)結(jié)構(gòu)的材料、幾何形狀與厚度編碼到RGB 通道中，其中R 通道代表金屬諧振器的等離子體頻率和形狀，G 通道代表單層電介質(zhì)結(jié)構(gòu)的實(shí)際折射率和形狀，藍(lán)色通道代表電介質(zhì)層厚度（圖4（f））。由逆向設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)的模擬譜線(xiàn)可知，該模型可以根據(jù)期望譜線(xiàn)準(zhǔn)確的生成所需結(jié)構(gòu)的厚度等參數(shù)，并且對(duì)于單個(gè)目標(biāo)可以得到多個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)分布，滿(mǎn)足不同的制備要求（圖4（g））。SO S 等［78］借助串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了一種在可見(jiàn)光范圍內(nèi)光譜敏感的多波段吸收材料。該串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的輸入為目標(biāo)光譜與共振波長(zhǎng)，輸出為結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)光譜，中間層為結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)。訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)譜線(xiàn)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)。反射譜線(xiàn)的反射效率與共振波長(zhǎng)可以通過(guò)期望譜線(xiàn)的形態(tài)來(lái)任意控制，如圖4（i）所示，期望的譜線(xiàn)在450，525，600 nm 波長(zhǎng)下反射率接近0，經(jīng)過(guò)逆向設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)的模擬光譜與目標(biāo)光譜基本一致。結(jié)構(gòu)的電位移圖說(shuō)明（圖4（h）），三個(gè)波長(zhǎng)處存在不同模式的耦合，當(dāng)結(jié)構(gòu)的尺寸改變時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生的模式也會(huì)隨之改變。為了進(jìn)一步了解多波段吸收結(jié)構(gòu)的機(jī)制，SO S 等將目標(biāo)譜線(xiàn)逐步紅移，最終得到了結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化方向。這也說(shuō)明，深度學(xué)習(xí)方法可以分析數(shù)據(jù)間的關(guān)系從而指導(dǎo)特定器件的設(shè)計(jì)。

2.2 基于逆向設(shè)計(jì)算法的相位設(shè)計(jì)

相位調(diào)控一直是光場(chǎng)調(diào)控的重點(diǎn)，相較于其它光場(chǎng)參量的調(diào)控，相位調(diào)控的應(yīng)用領(lǐng)域極為多樣，但它的實(shí)現(xiàn)方式也相對(duì)復(fù)雜［79-83］。圖5（a）中展示了由分段拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的大面積、高數(shù)值孔徑的超透鏡［24］。1.1 節(jié)中介紹了分段拓?fù)鋬?yōu)化方法的原理，該方法的實(shí)質(zhì)是分別優(yōu)化每段結(jié)構(gòu)的振幅與相位。由理論分析可知，當(dāng)分割長(zhǎng)度小于某個(gè)極限值時(shí)（4.4λ），結(jié)構(gòu)的焦平面場(chǎng)強(qiáng)分布將非常接近理想透鏡。圖5（a）給出了拓?fù)鋬?yōu)化得到的不同數(shù)值孔徑透鏡的實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果，可以看出所有透鏡的相對(duì)效率均高于89%，絕對(duì)效率均高于67%，其中數(shù)值孔徑為0.8 的透鏡可以實(shí)現(xiàn)640 nm 波長(zhǎng)光束的高效聚焦，且束腰直徑僅為0.34 μm。然而拓?fù)鋬?yōu)化并不局限于單層結(jié)構(gòu)，對(duì)于多層結(jié)構(gòu)，拓?fù)鋬?yōu)化依然有效。LIN Z 等［84］設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)值孔徑為0.35，焦距為30λ的多層透鏡。該透鏡由五層非周期分布的硅光柵構(gòu)成，每層的厚度為0.2λ，每層的硅光柵都是經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化得到的，因此沒(méi)有特定的分布規(guī)律（圖5（b））。數(shù)值模擬得到的遠(yuǎn)場(chǎng)圖樣與焦平面的場(chǎng)強(qiáng)圖都證明該透鏡基本接近理想的像差矯正透鏡。盡管多層結(jié)構(gòu)在實(shí)際制備與優(yōu)化計(jì)算中存在加工難度大等問(wèn)題，但器件的多層設(shè)計(jì)能增加結(jié)構(gòu)的調(diào)控維度，因此多層、易制備器件的逆向設(shè)計(jì)仍是個(gè)重要的研究方向。

圖5 逆向設(shè)計(jì)方法在相位設(shè)計(jì)中的應(yīng)用Fig.5 Applications of inverse design methods in phase design

與拓?fù)鋬?yōu)化方法不同，基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)具有靈活、快速、便捷等優(yōu)勢(shì)，因此常被用于相位設(shè)計(jì)的工作當(dāng)中。深度學(xué)習(xí)擬合相位信息通常有兩種方法，第一種方法是先擬合S參數(shù)的實(shí)部與虛部，再通過(guò)實(shí)部虛部的數(shù)據(jù)計(jì)算相位分布；第二種是將相位預(yù)測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類(lèi)問(wèn)題（每個(gè)角度為一個(gè)類(lèi)，共360 類(lèi)）。第一種方法的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般較為簡(jiǎn)單，因此易于構(gòu)建。但是曲線(xiàn)擬合問(wèn)題存在一定的弊端，如曲線(xiàn)預(yù)測(cè)上若存在一些細(xì)小的誤差，則有可能導(dǎo)致相位預(yù)測(cè)上有較大的誤差。第二種分類(lèi)問(wèn)題的網(wǎng)絡(luò)模型一般比較復(fù)雜，但其相位預(yù)測(cè)精度相對(duì)較高，因此在實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)相位預(yù)測(cè)精度的需要，采用合理的模型進(jìn)行特征學(xué)習(xí)。圖5（c）到5（f）展示了曲線(xiàn)擬合方法實(shí)現(xiàn)的相位設(shè)計(jì)結(jié)果［85］。此案例中研究者利用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了透射系數(shù)實(shí)部與虛部的正向預(yù)測(cè)，并利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的逆向設(shè)計(jì)。透射系數(shù)的擬合除了可以計(jì)算相位信息外還可以計(jì)算振幅信息，利用遺傳算法全局搜索目標(biāo)振幅與相位對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)并生成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)表后，就可以根據(jù)期望的振幅、相位分布來(lái)排列不同結(jié)構(gòu)單元，從而實(shí)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)器、透鏡等多種器件的逆向設(shè)計(jì)。圖5（g）展示了由分類(lèi)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的編碼超表面［86］，該網(wǎng)絡(luò)可以以1.493 3°的平均誤差實(shí)現(xiàn)相位的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。由三維全波模擬結(jié)果可以看出，編碼超表面可以按照期望的輻射角輻射不同偏振態(tài)的波束，這種高效的相位設(shè)計(jì)方法也使得多功能集成器件的設(shè)計(jì)更加靈活。1.2 節(jié)中介紹了一種復(fù)合深度學(xué)習(xí)框架，它可以利用散射矩陣和無(wú)梯度的遺傳算法在整個(gè)參數(shù)空間中尋找多層結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)分布。ZHU D 等［61］利用該框架實(shí)現(xiàn)了多種功能器件的設(shè)計(jì)，如偏振復(fù)用光束發(fā)生器、全光學(xué)計(jì)算器件、空間偏振波長(zhǎng)復(fù)用全息圖等（圖5（h））。以空間偏振波長(zhǎng)復(fù)用全息圖的設(shè)計(jì)為例，第一步需要確定目標(biāo)圖像與全息圖到平面的距離；第二步向每個(gè)目標(biāo)圖像添加隨機(jī)相位；第三步通過(guò)衍射公式計(jì)算不同圖像在全息圖平面的振幅和相位分布，計(jì)算加權(quán)疊加后對(duì)振幅進(jìn)行歸一化，并對(duì)振幅和相位進(jìn)行離散化。得到目標(biāo)振幅與相位后，便可以利用復(fù)合深度學(xué)習(xí)框架逆向?qū)ふ覍?duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)單元。該方法還可以擴(kuò)展到更多的波長(zhǎng)與距離，這為信息光學(xué)器件的設(shè)計(jì)帶來(lái)了更多的可能。

2.3 基于逆向設(shè)計(jì)方法的非線(xiàn)性器件設(shè)計(jì)

自激光器問(wèn)世以來(lái)，非線(xiàn)性光學(xué)得到了快速發(fā)展，它在脈沖整形［87］，光譜學(xué)［88］，量子光學(xué)［89］，非線(xiàn)性編碼［90-91］等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。在傳統(tǒng)器件中，非線(xiàn)性效應(yīng)通常是很弱的，常用的增強(qiáng)非線(xiàn)性效應(yīng)的方式是利用諧振腔結(jié)構(gòu)長(zhǎng)時(shí)間限制光束，從而增強(qiáng)非線(xiàn)性相互作用［92-94］。理想的諧振腔結(jié)構(gòu)需要同時(shí)滿(mǎn)足幾個(gè)條件，包括相位匹配［95］、大的非線(xiàn)性耦合系數(shù)［96］和長(zhǎng)輻射壽命［97］。傳統(tǒng)優(yōu)化方法在實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化時(shí)通常會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間與計(jì)算機(jī)資源。逆向設(shè)計(jì)方法，不僅可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化，而且適用于大尺寸元件的設(shè)計(jì)，因此常被用于諧振腔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)?？紤]一個(gè)可以產(chǎn)生二倍頻的諧振腔結(jié)構(gòu)，它的非線(xiàn)性重疊因子βˉ（也稱(chēng)非線(xiàn)性耦合系數(shù)）可以由基頻與倍頻的空間重疊積分給出，表達(dá)式為

在逆向設(shè)計(jì)過(guò)程中最大化是增強(qiáng)二倍頻強(qiáng)度的首要目標(biāo)。常規(guī)的優(yōu)化算法通常需要求解兩個(gè)頻率下獨(dú)立的散射問(wèn)題。但是LIN Z 等［98］通入引入擴(kuò)展源J2將問(wèn)題簡(jiǎn)化為組合輻射功率優(yōu)化問(wèn)題。若假設(shè)在ω2頻率下存在一個(gè)電流密度為的場(chǎng)源，則可以通過(guò)該場(chǎng)源輻射功率的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性重疊因子的最大化。確定了優(yōu)化目標(biāo)后，可以利用基于梯度下降的優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)微腔結(jié)構(gòu)的逆向設(shè)計(jì)。在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中，需要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)頻率下的麥克斯韋方程。優(yōu)化過(guò)程從一個(gè)全真空（或全電介質(zhì)）板出發(fā)，利用梯度下降的方法優(yōu)化該結(jié)構(gòu)在x-z平面上的分布，經(jīng)過(guò)多次迭代計(jì)算可得到最終的結(jié)構(gòu)。

圖6（a）展示了利用上述優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的多層微陣列結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由交替分布的鋁砷化鎵（AlGaAs）層/氧化鋁層構(gòu)成，當(dāng)AlGaAs 的晶體平面取向在（111）方向時(shí)，可以耦合基波與二次諧波模式的Ey分量。該結(jié)構(gòu)具有壽命長(zhǎng)、體積小和重疊因子大等特點(diǎn)，因此與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)（如微環(huán)、納米環(huán)諧振器、光子晶體板和納米束腔等）相比，可以將二倍頻的效率提高幾個(gè)數(shù)量級(jí)（圖6（b））。這也說(shuō)明，拓?fù)鋬?yōu)化后，結(jié)構(gòu)的非周期排列和亞波長(zhǎng)級(jí)的特征可以細(xì)致的消除干擾，因此可以實(shí)現(xiàn)精確的頻率匹配和最佳的非線(xiàn)性模式重疊。該課題組利用相同的思路設(shè)計(jì)了環(huán)形諧振腔結(jié)構(gòu)［99］，該結(jié)構(gòu)確保了頻率匹配，且具有長(zhǎng)輻射壽命和小體積限制，對(duì)二倍頻信號(hào)有可觀(guān)的增強(qiáng)作用（圖6（c））。這套逆向設(shè)計(jì)方法對(duì)于超表面結(jié)構(gòu)依然適用。圖6（d）給出了一個(gè)有限厚度的正方形柵格超表面［100］，逆向設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)可以在特定入射角度下產(chǎn)生高強(qiáng)度的二次諧波。由電場(chǎng)截面圖可以看出，此結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足頻率與相位匹配條件。HUGHES T W 等［101］利用擴(kuò)展的伴隨法在頻域空間中實(shí)現(xiàn)克爾非線(xiàn)性電磁系統(tǒng)的優(yōu)化（圖6（e））。如圖所示，該系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)是，在線(xiàn)性狀態(tài)，最大化右側(cè)端口的傳輸系數(shù)；在非線(xiàn)性區(qū)域，最大化底部端口的傳輸系數(shù)。由最終結(jié)構(gòu)的模擬結(jié)果可知，該方法可以通過(guò)離散無(wú)規(guī)則結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)高低功率脈沖的不同方向傳播。該方法在新型非線(xiàn)性光子學(xué)器件的設(shè)計(jì)中有著很好的發(fā)展前景。

圖6 逆向設(shè)計(jì)方法在非線(xiàn)性光學(xué)中的應(yīng)用Fig.6 Applications of inverse design methods in nonlinear optics

除了拓?fù)鋬?yōu)化外，遺傳算法與深度學(xué)習(xí)也可以實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性效應(yīng)的增強(qiáng)［102-103］。如圖6（f）所示，一個(gè)納米孔陣列，它可以通過(guò)四個(gè)參數(shù)（長(zhǎng)、寬與周期）的調(diào)節(jié)來(lái)增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的四波混頻效應(yīng)。由于可調(diào)變量少，因此可以利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)的逆向設(shè)計(jì)。此案例中，研究者考慮了兩種優(yōu)化方式，分別是基于譜線(xiàn)的優(yōu)化（線(xiàn)性?xún)?yōu)化）與直接計(jì)算非線(xiàn)性強(qiáng)度的優(yōu)化（直接優(yōu)化）。超表面可以通過(guò)局域場(chǎng)增強(qiáng)來(lái)實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性信號(hào)的增強(qiáng)，因此可以通過(guò)特定的線(xiàn)性譜線(xiàn)的設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性效應(yīng)的增強(qiáng)。圖6（f）和6（g）中給出了通過(guò)兩種方法得到的結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性透射譜與非線(xiàn)性信號(hào)強(qiáng)度，可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看出，兩種方法均可以有效的實(shí)現(xiàn)非線(xiàn)性信號(hào)的增強(qiáng)。

3 總結(jié)與展望

本文總結(jié)了基于梯度下降算法、遺傳算法和深度學(xué)習(xí)的光子學(xué)器件逆向設(shè)計(jì)方法，并給出了這些方法在光譜設(shè)計(jì)、相位設(shè)計(jì)與非線(xiàn)性器件設(shè)計(jì)等領(lǐng)域的具體應(yīng)用。基于智能算法的光子學(xué)器件設(shè)計(jì)是對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的一個(gè)革新。所謂的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法實(shí)際上是需要人為優(yōu)化參數(shù)的一類(lèi)方法的統(tǒng)稱(chēng)。以電介質(zhì)超表面的設(shè)計(jì)過(guò)程為例，電介質(zhì)超表面操控光場(chǎng)主要是通過(guò)米氏共振實(shí)現(xiàn)的。電介質(zhì)的米氏共振包含多個(gè)分量，如電偶極子、磁偶極子、電四極子與磁四極子共振等，這些分量的疊加影響著電介質(zhì)結(jié)構(gòu)近場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)的光場(chǎng)分布。而結(jié)構(gòu)的共振波長(zhǎng)與有效折射率實(shí)際上是微結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的函數(shù)，因此在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中可以通過(guò)結(jié)構(gòu)幾何尺寸的調(diào)控來(lái)定制結(jié)構(gòu)的散射特性。實(shí)際應(yīng)用中，通常采用數(shù)值模擬的方法尋找結(jié)構(gòu)的理想幾何參數(shù)（或者實(shí)驗(yàn)測(cè)試），為了提高模擬計(jì)算的效率，需要選定合適的數(shù)值模擬方法并選用恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。模型建立好后，我們需要對(duì)結(jié)構(gòu)的形狀與參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化從而得到理想的輸出。人工參數(shù)優(yōu)化需要按照遍歷等方式計(jì)算調(diào)控范圍內(nèi)的多組參數(shù)，因此計(jì)算時(shí)長(zhǎng)通常較長(zhǎng)，但在參數(shù)范圍較小的情況下效率仍是可觀(guān)的。梯度下降方法與遺傳算法實(shí)際上為參數(shù)優(yōu)化提供了一個(gè)方向，因此有利于加速結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。深度學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練完成后雖然可以取代數(shù)值模擬過(guò)程，但是需要注意的是，深度學(xué)習(xí)并非是脫離物理模型的，它需要從模擬數(shù)據(jù)集（或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)集）中提取特征并學(xué)習(xí)。因此智能逆向設(shè)計(jì)方法是對(duì)傳統(tǒng)方法的一個(gè)優(yōu)化，它并不是獨(dú)立于物理模型存在的。

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法受到結(jié)構(gòu)周期、材料分布、運(yùn)算時(shí)間等因素限制，因此具有一定的局限性。逆向設(shè)計(jì)方法可以在全參數(shù)空間實(shí)現(xiàn)快速、高自由度的參數(shù)優(yōu)化，更有可能得到接近極限性能的結(jié)構(gòu)分布。通過(guò)對(duì)現(xiàn)有逆向設(shè)計(jì)工作的分析可知，逆向設(shè)計(jì)方法是靈活的，它可以隨著優(yōu)化目標(biāo)的不同而改變，此外它還可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化，因此利于設(shè)計(jì)高效率的多功能集成器件。我們還可以通過(guò)建立數(shù)據(jù)庫(kù)等方式實(shí)現(xiàn)目標(biāo)結(jié)構(gòu)的快速檢索，提高數(shù)據(jù)的利用效率。但是逆向設(shè)計(jì)方法并不是萬(wàn)能的，不同的設(shè)計(jì)方法具有不同的優(yōu)勢(shì)與局限性，如：

1）傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法（人為調(diào)參）：方式簡(jiǎn)單，無(wú)需建立復(fù)雜的算法模型，可通過(guò)物理模型的分析減少參數(shù)優(yōu)化范圍，對(duì)于小范圍優(yōu)化具有很好的效率。但待優(yōu)化結(jié)構(gòu)的形狀通常是直觀(guān)的圖形，對(duì)于抽象圖形的設(shè)計(jì)具有一定的局限性。當(dāng)參數(shù)調(diào)控范圍較大時(shí)，調(diào)參效率較低。

2）梯度下降算法：無(wú)需數(shù)據(jù)集，收斂速度快，調(diào)控變量個(gè)數(shù)不影響計(jì)算規(guī)模。但對(duì)于非凸函數(shù)無(wú)法保證收斂到全局最優(yōu)值，初始值敏感。

3）遺傳算法：無(wú)需數(shù)據(jù)集，具有全局搜索能力。但需要設(shè)置合適的算法參數(shù)，計(jì)算量大，能優(yōu)化的變量數(shù)目有限。

4）深度學(xué)習(xí)算法：多數(shù)情況下需要數(shù)據(jù)集，調(diào)控方法靈活多變，易與多種算法結(jié)合。但針對(duì)不同的物理問(wèn)題需要建立特異性的數(shù)據(jù)集，模型缺乏普適性，入門(mén)較難，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的建立與訓(xùn)練比較困難。

因此選擇逆向設(shè)計(jì)方法時(shí)需要對(duì)物理模型的計(jì)算時(shí)間及優(yōu)化維度進(jìn)行評(píng)估。上述逆向設(shè)計(jì)算法都是依附物理模型存在的，以深度學(xué)習(xí)算法為例，基于深度學(xué)習(xí)的逆向設(shè)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)集存在依賴(lài)性，訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)在給定范圍的數(shù)據(jù)中具有較好的擬合效果，若數(shù)據(jù)范圍改變，網(wǎng)絡(luò)的泛化能力可能會(huì)下降，此時(shí)需要重新收集新的數(shù)據(jù)并建立新的模型。因此收集訓(xùn)練數(shù)據(jù)前需要給定合理的參數(shù)范圍，這樣有助于提高網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練與擬合效率。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中需要的數(shù)據(jù)量通常較大（103～105左右），因此在小范圍優(yōu)化問(wèn)題中，效率可能低于傳統(tǒng)方法。針對(duì)這些局限性，近幾年產(chǎn)生了多種網(wǎng)絡(luò)形式，如物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［104］等。物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過(guò)程中遵守相同的偏微分方程與邊界條件，因此緩解了網(wǎng)絡(luò)對(duì)于數(shù)據(jù)的依賴(lài)性。除了采用單一的逆向設(shè)計(jì)方法外，多種方法的結(jié)合也有利于提高設(shè)計(jì)效率，提高數(shù)據(jù)的利用率。

隨著計(jì)算機(jī)算法的日益豐富，光子器件的智能設(shè)計(jì)展現(xiàn)出了巨大的潛力，智能算法將納米光子學(xué)與計(jì)算科學(xué)相結(jié)合，為研究者提供了一個(gè)高效的新型設(shè)計(jì)方法。未來(lái)可以通過(guò)智能逆向設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)更多維度的光場(chǎng)調(diào)控，從而簡(jiǎn)化光場(chǎng)調(diào)控難度，提高光場(chǎng)調(diào)控效率，達(dá)到從需求出發(fā)設(shè)計(jì)各類(lèi)高性能光場(chǎng)調(diào)控器件目的。