時(shí)間尺度上二階Lagrange系統(tǒng)Mei對(duì)稱性及守恒量

趙淑瓊，朱建青

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1988 年，Hilger[1]將離散和連續(xù)系統(tǒng)相統(tǒng)一提出了時(shí)間尺度理論.對(duì)于一些較為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，由時(shí)間尺度理論建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型予以解決[2-4].在時(shí)間尺度變分問(wèn)題方面也有了一定進(jìn)展.2004 年，時(shí)間尺度變分問(wèn)題及時(shí)間尺度上Euler-Lagrange 方程由Bohner[5]所提出.隨后，F(xiàn)erreira[6]將其推廣到時(shí)間尺度上高階變分問(wèn)題并建立了相應(yīng)的高階Lagrange 方程.2013 年，Cai 等[7]研究了時(shí)間尺度上非保守和非完整系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性.Song 等[8-9]研究了時(shí)間尺度上Birkhoff 系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性以及非遷移Birkhoff 系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性，分別推導(dǎo)出相應(yīng)Birkhoff 方程，進(jìn)一步得到守恒量.張毅[10]研究了時(shí)間尺度上Hamilton 系統(tǒng)Noether 對(duì)稱性.2019 年，季曉慧等[11]得到了時(shí)間尺度上弱非完整系統(tǒng)Noether 對(duì)稱性及守恒量.2020 年，彭姣等[12]基于微分方程在無(wú)限小變換下不變性原理得到了時(shí)間尺度上相空間中非完整系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的Lie 對(duì)稱性.

1848—1858 年間，含有廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間作高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的Lagrange 函數(shù)所構(gòu)成的廣義經(jīng)典力系統(tǒng)是由Ostrogradsky 和Jacobi 所提出.1987 年，中國(guó)在梅鳳翔指導(dǎo)下開(kāi)展了廣義經(jīng)典力學(xué)研究.自提出以來(lái)到21 世紀(jì)初，它在理論研究[13-14]、物理學(xué)場(chǎng)論中帶有二階導(dǎo)數(shù)的電磁理論[15]以及數(shù)學(xué)[16]方面微積分幾何學(xué)中的應(yīng)用引起廣泛的研究熱潮.2000 年，由Mei[17]提出了系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)函數(shù)在無(wú)限小變換下仍滿足原方程的一種不變性叫作形式不變性，也稱之為Mei 對(duì)稱性.在廣義經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)中，國(guó)內(nèi)學(xué)者已經(jīng)在Mei對(duì)稱性方面有了一定研究成果，2003 年，喬永芬等[18]給出了廣義經(jīng)典力學(xué)中Lagrang 方程的Mei 對(duì)稱性.同年，Zhang[19]給出了廣義經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)正則方程的Mei 對(duì)稱性，喬永芬等[20]將其推廣到廣義經(jīng)典力學(xué)中完整非保守系統(tǒng)中.關(guān)于時(shí)間尺度上Mei 對(duì)稱性研究方面也取得了一定進(jìn)展，例如2017 年，時(shí)間尺度上Delta 導(dǎo)數(shù)下Lagrange 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱性由孔楠等[21]給出，2018 年，孫晨等[22]得到了時(shí)間尺度上Delta 導(dǎo)數(shù)下Hamilton 系統(tǒng)Mei 對(duì)稱性，2020 年，Zhai[23]研究了時(shí)間尺度上Birkhoff 系統(tǒng)下的Mei 對(duì)稱性及守恒量及正則方程的Mei 對(duì)稱性，目前關(guān)于時(shí)間尺度上高階Lagrange 函數(shù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性與守恒量方面的研究是一個(gè)較為新穎的課題，研究甚少.因此本文以時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)Mei 對(duì)稱性定義及判據(jù)為基礎(chǔ)，系統(tǒng)Mei 對(duì)稱性導(dǎo)致守恒量的條件被建立，文末舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用.

1 時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,...,n)來(lái)表示，那么該系統(tǒng)Lagrange 量

2 時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱性及判據(jù)

引入無(wú)限小變換群

類(lèi)似于文獻(xiàn)[17]中的定義，時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)Mei 對(duì)稱性定義如下：

定義 1在無(wú)限小變換（3）式下，若時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)函數(shù)L?

仍滿足方程（2），即存在

那么稱這種對(duì)稱性為該系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱性.

根據(jù)時(shí)間尺度上Taylor 公式，對(duì)L?進(jìn)行展開(kāi)有

3 時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)Mei 對(duì)稱性導(dǎo)致的守恒量

4 算例

研究系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量.

首先，計(jì)算本題給出時(shí)間尺度的前跳算子以及步差函數(shù)

5 結(jié)論

本文研究了時(shí)間尺度上二階Lagrange 力學(xué)系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱性問(wèn)題，可有效地將連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相統(tǒng)一.文章首先給出了系統(tǒng)的Mei 對(duì)稱性定義及判定方程，其次建立了由Mei 對(duì)稱性導(dǎo)致Noether 守恒量的條件以及相應(yīng)的守恒量表達(dá)式，最后當(dāng)時(shí)間尺度取T=R，T=hZ時(shí)，分別得到經(jīng)典系統(tǒng)下及離散系統(tǒng)下相應(yīng)守恒量的形式，并通過(guò)例子說(shuō)明結(jié)果的有效性.由于時(shí)間尺度是具有任意性的特征，因而本文的思想方法和結(jié)果更具有普遍性，可進(jìn)一步拓展到時(shí)間尺度上二階Lagrange 系統(tǒng)Lie 對(duì)稱性等的研究.