整體架構(gòu) 提升素養(yǎng)

【摘 要】整合是發(fā)生深度學(xué)習(xí)的重要機(jī)制。文章在整體化教學(xué)理論的指導(dǎo)下，對(duì)“整式的乘法與因式分解”起始課進(jìn)行設(shè)計(jì)，將整章內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組，借數(shù)式通性引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比遷移得到整章的知識(shí)架構(gòu)，倚靠數(shù)學(xué)邏輯的自然生長(zhǎng)完成對(duì)冪的運(yùn)算的整合教學(xué)，打破原來(lái)零散性、碎片化的教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)整體化教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】?jī)绲倪\(yùn)算;整體化;深度學(xué)習(xí)

【作者簡(jiǎn)介】陳元云，高級(jí)教師，教育部名師領(lǐng)航工程邢成云名師工作室核心成員，濱州市名師，優(yōu)秀教師，教學(xué)能手。

【基金項(xiàng)目】山東省教育教學(xué)研究重點(diǎn)課題“基于初中數(shù)學(xué)課程整合的單元教學(xué)案例研究”（2020JXZ026）

李松林提出，整合是發(fā)生深度學(xué)習(xí)的重要機(jī)制[1]。在新時(shí)代課程改革的背景下，實(shí)行單元教學(xué)是課堂走向深度、提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，反復(fù)研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合，以實(shí)現(xiàn)“用教材教”而不是“教教材”。本文以人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“整式的乘法與因式分解”為例，分析整體化教學(xué)理論在課堂中的踐行與思考。

一、教前慎析

（一）教學(xué)現(xiàn)狀分析

實(shí)施課程改革以來(lái)，各學(xué)科教學(xué)涌現(xiàn)出了很多單元教學(xué)的案例，但部分教師對(duì)整體化教學(xué)理解不夠深刻，還是原來(lái)的“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”碎片化教學(xué)，每節(jié)課仍是對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解與跟蹤評(píng)價(jià)。有的教師也嘗試整合教材，但只是內(nèi)容的“疊加”，沒(méi)有教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)融合與發(fā)展，不能挖掘大系統(tǒng)內(nèi)章與章、整章內(nèi)容之間的前后聯(lián)系，不利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）教材內(nèi)容分析

對(duì)于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系來(lái)說(shuō)，“整式的乘法與因式分解”起始課屬于沿途起始課，本章內(nèi)容是在“整式的加減”基礎(chǔ)上的再學(xué)習(xí)[2]。筆者對(duì)本章起始課的設(shè)計(jì)進(jìn)行了調(diào)整，一是引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比“數(shù)”完成本章的知識(shí)架構(gòu)，二是借助數(shù)學(xué)邏輯完成本章的第一個(gè)小主題單元“冪的運(yùn)算”的教學(xué)。教材中有關(guān)冪的運(yùn)算法則的探究和應(yīng)用是分散安排的，第1課時(shí)學(xué)習(xí)“同底數(shù)冪的乘法”，通過(guò)觀(guān)察特例—形成猜想—驗(yàn)證猜想—得到法則—應(yīng)用法則的順序展開(kāi)教學(xué);第2課時(shí)、第3課時(shí)依次循環(huán)其他兩個(gè)法則。這樣的零打碎敲，重起爐灶，浪費(fèi)了已經(jīng)啟動(dòng)起來(lái)的資源，使得學(xué)生思維脈絡(luò)得不到有效延伸，缺失了思維的連貫性。基于以上認(rèn)識(shí)，筆者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)整，把三個(gè)課時(shí)統(tǒng)合起來(lái)組織教學(xué)，形成顯性且系統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容。

（三）教學(xué)理論分析

邢成云老師的“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)主張，是立足整體，基于課程意識(shí)，借力課程整合，站在課程高度教學(xué)，統(tǒng)合課程資源設(shè)定教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)放立意設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，變教材為學(xué)材，變教程為學(xué)程的課程統(tǒng)合與課堂實(shí)踐，是指向思維進(jìn)階的一種系統(tǒng)建構(gòu)[3]。與之對(duì)應(yīng)，

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解[4]45。這些都為本節(jié)課落實(shí)深度學(xué)習(xí)提供了理論支持。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

師：如圖1，你能表示出正方形的哪些信息？如果該正方形的邊長(zhǎng)增加b（如圖2），你還能表示出這些信息嗎？有幾種不同的方法求出新正方形的面積？

生：可以表示出正方形的周長(zhǎng)、面積，圖1中正方形的周長(zhǎng)為4a、面積為a2，圖2中正方形的周長(zhǎng)為4（a+b），面積為（a+b）2或（a+b）·a+（a+b）·b或a2+2ab+b2。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察上述式子，你想到了我們學(xué)過(guò)的什么內(nèi)容？

生：它們都屬于整式。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的什么內(nèi)容？

生：整式的定義與整式的加減。

師：類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算我們應(yīng)該繼續(xù)學(xué)習(xí)整式的什么內(nèi)容？并看一下這些式子屬于什么運(yùn)算。

生：應(yīng)該繼續(xù)研究整式的乘除法，式子4（a+b）、（a+b）2、（a+b）·a+（a+b）·b、a2+2ab+b2中，有整式的乘法與加法。

師：根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等，我們得出（a+b）2=（a+b）·a+（a+b）·b=a2+2ab+b2。大家能看出上面式子兩兩之間不同方向的變形的區(qū)別嗎？如對(duì)于（a+b）2=a2+2ab+b2，左邊得出右邊與右邊得到左邊，這兩種變形有什么區(qū)別？

（學(xué)生沉默。教師引導(dǎo)學(xué)生與整數(shù)的乘法2×5=10和分解質(zhì)因數(shù)10=2×5進(jìn)行類(lèi)比得出結(jié)論。）

教師通過(guò)提出環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐漸發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，得出結(jié)論。最后教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成本章內(nèi)容的知識(shí)架構(gòu)圖（如圖3）。

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合本章知識(shí)的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，教師把問(wèn)題進(jìn)行了分解，讓學(xué)生在逐層遞進(jìn)的問(wèn)題中體會(huì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法。其中，借助章前圖中同一個(gè)圖形的面積用不同的方式表示得出恒等式的方法，滲透割補(bǔ)法、等積法，利用數(shù)式通性，引導(dǎo)學(xué)生得出本章的知識(shí)架構(gòu)，讓學(xué)生既見(jiàn)“木”又見(jiàn)“林”，體會(huì)大系統(tǒng)內(nèi)章與章之間的聯(lián)系，使學(xué)生的思維走向系統(tǒng)化。

（二）溫故得新，形成規(guī)律

師：為更好地學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，我們需要先研究什么？由此，你能回想起我們學(xué)過(guò)的哪一類(lèi)知識(shí)？各小組互相補(bǔ)充并完善。

師：在an中，底數(shù)a可以是什么？請(qǐng)列舉一個(gè)具體的例子。

（學(xué)生列舉例子，教師相機(jī)板書(shū)，如有學(xué)生列舉出a可以是一個(gè)數(shù)字，也可以是一個(gè)式子等。）

師：如果這里的底數(shù)a改為（a·b）呢？它的意義是什么？

師：如果把其中的a換為a的m次方，它又表示什么意思呢？

師：如果底數(shù)不變，兩個(gè)冪相乘呢？比如am·an，又會(huì)等于多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作探究，找出規(guī)律，學(xué)生在教師的啟發(fā)下思考公式的得出過(guò)程，最后形成本節(jié)課的三個(gè)公式（a·b）n=an·bn，（am）n=amn，am·an=am+n。教師板書(shū)結(jié)論，讓學(xué)生根據(jù)式子的外在形式與內(nèi)在意義給公式“起名字”，使學(xué)生再次深化對(duì)公式的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的核心所在，其既是這節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。鑒于八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)特點(diǎn)與思維特點(diǎn)，教師從乘方的意義出發(fā)，以換掉底數(shù)為載體，逐步引入積的乘方、冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯關(guān)聯(lián)性，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。學(xué)生借助合作探究，充分體會(huì)新知其實(shí)就是舊知的重新組合與自然延伸，再次理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體之美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（三）運(yùn)用新知，鞏固提高

練習(xí)1：請(qǐng)直接寫(xiě)出下列式子的答案，并指出計(jì)算時(shí)用到的公式。

①23×24;②（103）7;③（5x）4;④（x2）5;⑤（2n）3;⑥（x·y）7;⑦x5·x7;⑧（-2）5×（-2）3;⑨（-3a）3。

練習(xí)2：計(jì)算并寫(xiě)出解題過(guò)程。

①x2n·xn+1;②（ab3c2）5;③（-3×103）2;④（a2）4·a3;⑤（mn3p2）3;⑥（x+y）2·（x+y）·（x+y）5。

練習(xí)3：利用所學(xué)知識(shí)，寫(xiě)出結(jié)果等于a12的算式，比比看誰(shuí)寫(xiě)得多。

對(duì)于練習(xí)1，學(xué)生先口答，再分析用到的公式。對(duì)于練習(xí)2，學(xué)生獨(dú)立完成后，再與小組同學(xué)核對(duì)答案并研討出現(xiàn)的錯(cuò)誤，然后教師根據(jù)各小組匯報(bào)情況進(jìn)行評(píng)價(jià)講解。練習(xí)3屬于開(kāi)放性題目，開(kāi)放的問(wèn)題引領(lǐng)開(kāi)放的課堂，教師先讓學(xué)生暢所欲言，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各小組的答案進(jìn)行分類(lèi)分析，如分析一下哪些式子是根據(jù)積的乘方寫(xiě)出來(lái)，哪些式子是根據(jù)冪的乘方寫(xiě)出來(lái)，哪些式子又是根據(jù)同底數(shù)冪的乘法寫(xiě)出來(lái)。

【設(shè)計(jì)意圖】三道練習(xí)題的難易程度不同，但都包含了三個(gè)公式的運(yùn)用。教師讓學(xué)生在這種分層與對(duì)比運(yùn)用中解決問(wèn)題，使學(xué)生既鞏固了新知，又提高了解題能力與綜合分析能力，同時(shí)積累了做題經(jīng)驗(yàn)。尤其是練習(xí)3中讓學(xué)生自己寫(xiě)出算式，這個(gè)過(guò)程既考查了學(xué)生對(duì)公式的靈活應(yīng)用——逆用，又激活了學(xué)生思維。同時(shí)，讓冪的運(yùn)算公式得以全景展現(xiàn)，凸顯出學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的開(kāi)放性與趣味性。

（四）歸納小結(jié)，暢所欲言

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲，又有哪些困惑？請(qǐng)你與同伴交流、分享，并完善知識(shí)架構(gòu)圖。

教師先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法、解題方法、感悟等，再引導(dǎo)學(xué)生思考：“根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，猜想下節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？”學(xué)生容易得出下節(jié)課要學(xué)習(xí)整式的乘法，教師再追問(wèn)整式的乘法會(huì)出現(xiàn)哪幾種情況，學(xué)生輕松說(shuō)出單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。同時(shí)，教師讓學(xué)生思考：“為什么這節(jié)課要先學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算？”學(xué)生在不知不覺(jué)中體會(huì)了學(xué)習(xí)本節(jié)課的重要性，并完善了知識(shí)架構(gòu)圖（如圖4）。

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)、對(duì)思想方法進(jìn)行提煉、對(duì)解題方法進(jìn)行歸納，讓學(xué)生在總結(jié)本節(jié)知識(shí)的同時(shí)，對(duì)后知進(jìn)行展望，再次體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（五）分層作業(yè)，滿(mǎn)足所需

必做題：1.若10m×10200=10203，求m的值;

2.若（an）2=a10，求n的值;

3.計(jì)算：0.12540×（-8）40。

選做題：若am=4，an=5，你能求出哪些式子的值？

【設(shè)計(jì)意圖】《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[4]2。而分層作業(yè)的設(shè)置除鞏固新知外，還能滿(mǎn)足不同學(xué)生的需要。

三、教學(xué)思考

（一）整體化教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的落實(shí)

整體化教學(xué)是《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，更是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的必需。對(duì)本節(jié)起始課而言，乘方是新知同底數(shù)冪的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，而冪的乘方、積的乘方，又是新知的“延伸點(diǎn)”，知識(shí)點(diǎn)之間前后貫通、一脈相承。筆者認(rèn)為，整體化教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中的落實(shí)主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是打破教學(xué)順序，把初中三年的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行大整合，實(shí)施大單元主題教學(xué);二是結(jié)合每一章的內(nèi)容特點(diǎn)，對(duì)每一章的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，實(shí)施小單元主題教學(xué);三是“無(wú)奈之舉”，即教師如果沒(méi)有對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，而是按照教材安排一節(jié)一節(jié)地教，那課堂也應(yīng)該注重知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，找準(zhǔn)每節(jié)課舊知的生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)，課堂小結(jié)時(shí)不應(yīng)匆忙結(jié)束，而應(yīng)有對(duì)舊知的回顧、新知的總結(jié)、后知的展望。本節(jié)課中，教師先借助情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整式的內(nèi)容進(jìn)行提煉，再由數(shù)式通性析出整章知識(shí)架構(gòu)，然后結(jié)合舊知生長(zhǎng)出新知，最后對(duì)新知進(jìn)行展望，得出后知。課堂上環(huán)環(huán)相扣，無(wú)不滲透著數(shù)學(xué)的整體性與系統(tǒng)性。用章建躍博士的話(huà)來(lái)說(shuō)就是，把握好整體性，對(duì)內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，心中有一張“聯(lián)絡(luò)圖”，才能把準(zhǔn)教學(xué)的大方向，才能使教學(xué)有的放矢，也只有這樣，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強(qiáng)的知識(shí)[5]。

（二）重視探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)

一節(jié)好課的標(biāo)準(zhǔn)不是教師講了多少，而是學(xué)生學(xué)到了多少，在體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)中，有多種設(shè)計(jì)方式，需要教師結(jié)合學(xué)生學(xué)情，設(shè)置合理而有意義的探究活動(dòng)。本節(jié)課中，教師結(jié)合小組合作開(kāi)展了三次有意義的探究活動(dòng)，三次探究活動(dòng)層級(jí)推進(jìn)，不斷呈現(xiàn)出探究目的、探究過(guò)程、探究意義，讓探究自然延伸，學(xué)生在活動(dòng)中總結(jié)方法，結(jié)束本節(jié)新知的學(xué)習(xí)。

（三）實(shí)現(xiàn)新舊認(rèn)知發(fā)展區(qū)的有效銜接

本節(jié)課在整式加減的基礎(chǔ)上導(dǎo)入，由“數(shù)”的知識(shí)架構(gòu)導(dǎo)入“式”的知識(shí)架構(gòu)，這是第一個(gè)新舊認(rèn)知發(fā)展區(qū)的銜接;再借助乘方的意義導(dǎo)出冪的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，這是第二個(gè)新舊認(rèn)知發(fā)展區(qū)的銜接。課堂上，教師要激活學(xué)生的原有認(rèn)知與現(xiàn)場(chǎng)思維，實(shí)現(xiàn)由舊知到新知的遷移。正如李祎教授所說(shuō)，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知的過(guò)程，就是從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新知有聯(lián)系的舊知，對(duì)新知加以“固定”或“歸屬”的動(dòng)態(tài)過(guò)程，教師在對(duì)新知進(jìn)行導(dǎo)入設(shè)計(jì)時(shí)，可以依照教材本身內(nèi)在的邏輯關(guān)系，設(shè)計(jì)出既能聯(lián)系舊知又能提示新知的導(dǎo)語(yǔ)，從而使新舊知識(shí)通過(guò)相互作用，最終形成一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的有序整體[6]。因此，那些符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題設(shè)計(jì)、整體化的教學(xué)理念、分層次的探究活動(dòng)等，都有利于改變教學(xué)現(xiàn)狀，使學(xué)生的淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)靠攏，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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[2]邢成云.統(tǒng)整課程：站在課程的高度教學(xué)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（5）：9-12.

[3]邢成云.“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)[J].中國(guó)教師，2021（10）：38-41.

[4]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄（下卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[6]李祎.另眼看導(dǎo)入[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（8）：13-16，26.

（責(zé)任編輯：羅小熒）