初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用探討

山東省日照市五蓮縣第二中學(xué) 鄭世英

現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要重視基礎(chǔ)知識的講解，還要為培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力做好準(zhǔn)備。傳統(tǒng)的知識“填鴨式”教學(xué)無法滿足現(xiàn)階段教學(xué)需求，將數(shù)學(xué)思想滲透進(jìn)課程教學(xué)勢在必行。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)意識到課堂教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想的理論、現(xiàn)實(shí)意義，把握當(dāng)下實(shí)際教學(xué)需求，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)、教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思想解決復(fù)雜問題。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

“數(shù)”與“形”既是數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)對象，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本構(gòu)成要素。具體來說，數(shù)形結(jié)合思想將抽象的“數(shù)”與具象的“形”結(jié)合，使位置關(guān)系、幾何圖形與函數(shù)方程、數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來，通過整合抽象、具象內(nèi)容簡化問題，使問題的解決途徑更加簡單。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用價值如下。第一，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。第二，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知。第三，可以加速學(xué)生思維能力的發(fā)展。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）數(shù)形結(jié)合進(jìn)行新知導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

教師在課堂教學(xué)導(dǎo)入時創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合情境，讓學(xué)生結(jié)合幾何模型、數(shù)學(xué)符號、公式等內(nèi)容解決情境問題，體會成功的樂趣，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

比如，在人教版七年級數(shù)學(xué)上冊《正數(shù)和負(fù)數(shù)》一課的教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)情境：“天氣預(yù)報(bào)2022年2月某日北方某城市最低氣溫為-2℃，最高氣溫為4℃，你知道這兩個數(shù)字的確切含義是什么？這一天這個城市的溫差是多少？”以生活中常見的氣溫問題作為教學(xué)切入點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的興趣。為減輕學(xué)生的答題壓力，教師使用多媒體課件展示數(shù)軸（見圖1），用直觀的數(shù)軸幫助其計(jì)算溫差問題。這樣學(xué)生可以通過“數(shù)格子”的方式計(jì)算最低氣溫與最高氣溫之間的溫差，得出的答案。以情境問題、數(shù)軸圖片內(nèi)容為基礎(chǔ)，教師引入正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念及簡單運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生主動對課程內(nèi)容進(jìn)行探索，提高新知教學(xué)效率。

圖1 數(shù)軸

（二）數(shù)形結(jié)合展開概念教學(xué)，提升學(xué)生抽象能力

將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于概念教學(xué)，通過展示數(shù)學(xué)模型、展示演化過程等方式將抽象的概念轉(zhuǎn)化為可被觀察到的形的變化，降低規(guī)律總結(jié)、本質(zhì)探究的難度，逐步提升學(xué)生的抽象能力。

比如，在人教版七年級數(shù)學(xué)上冊《整式》一課的教學(xué)中，教師先提出問題：“某正方體棱長為a，它的表面積是多少？體積是多少？”“一個長方體的長和寬都是a，高是h，它的體積是多少？”這些問題不含有具體的數(shù)字，具有一定的抽象性，學(xué)生在理解問題、解決問題時遇到難題。教師使用多媒體展示具體的正方體、長方體模型，讓學(xué)生將題目中給出信息標(biāo)注在幾何模型上，使其在標(biāo)記數(shù)字時得出問題答案：“棱長為a的正方體表面積為6a2，體積為a3?！薄伴L和寬為a，高為h的長方體體積為a2h。”教師進(jìn)行追問：“這些式子有什么特征？”“它們的因數(shù)分別是什么？”讓學(xué)生根據(jù)幾何模型、具體公式總結(jié)特征，順利引入單項(xiàng)式這一概念，有效培養(yǎng)學(xué)生的符號意識與抽象思維能力。

（三）數(shù)形結(jié)合展開習(xí)題教學(xué)，提升學(xué)生運(yùn)算能力

1．以數(shù)化形解決圖形問題，提升幾何運(yùn)算能力

初中數(shù)學(xué)幾何習(xí)題較為抽象，直接計(jì)算具有一定難度。在進(jìn)行幾何習(xí)題教學(xué)時，教師可以滲透以數(shù)化形思想，先簡略介紹該思想內(nèi)容，再示范該思想的具體應(yīng)用方法，以此強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)知，提高其解決幾何問題的能力。落實(shí)到具體教學(xué)環(huán)節(jié)，教師需要在課堂上展示有關(guān)例題，通過詳解數(shù)學(xué)例題剖析數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意義，加深學(xué)生對以數(shù)化形思想的認(rèn)識，使其掌握輕松解決幾何問題的技巧。

比如，在人教版七年級數(shù)學(xué)下冊《平行線及其判定》一課的教學(xué)中，為了讓學(xué)生掌握有效判定平行線的方法，教師在習(xí)題課上引入例題：如圖2所示，已知∠3＝45°，若∠1與∠2互余，那么AB∥CD嗎？在學(xué)生掌握問題大致信息后，教師演示該問題的解決方法：“已知∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠2，可以得出∠1＝∠2＝45°；又因?yàn)椤?＝45°，可以判斷出∠2＝∠3，根據(jù)平行定理‘內(nèi)錯角相等，兩直線平行’的理論可以證明AB∥CD?！睂⒑翢o頭緒的幾何問題轉(zhuǎn)化為角度計(jì)算、角度對比的代數(shù)問題，簡化幾何證明步驟。在學(xué)生初步理解以數(shù)化形思想后，教師提出相似問題進(jìn)行鞏固練習(xí)：如圖3所示，已知∠3＝45°，若∠1與∠2互余，試說明AB∥CD。讓學(xué)生模仿教師運(yùn)用以數(shù)化形的方式解決平行線判定問題，加速其內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想。

圖2

圖3

2．以形變數(shù)解決函數(shù)問題，提升代數(shù)運(yùn)算能力

以形變數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的分支思想之一，其主要作用是簡化復(fù)雜代數(shù)問題，加深學(xué)生對代數(shù)關(guān)系的認(rèn)知。圖形能直截了當(dāng)?shù)乇硎境鲂畔⒆兓闆r，幫助學(xué)生快速解決問題。教師可在數(shù)學(xué)代數(shù)習(xí)題教學(xué)中滲透這一思想，并為學(xué)生演示如何應(yīng)用以形變數(shù)思想解決復(fù)雜代數(shù)問題。通過滲透思想拓寬學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)視野，使其能從多角度思考抽象的代數(shù)問題，從而提升其運(yùn)算能力。

比如，在人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《實(shí)際問題與二次函數(shù)》一課的習(xí)題教學(xué)中，針對典型的利潤問題，教師展開講解：商店中某商品當(dāng)前售價為60元，每月可出售300件。研究發(fā)現(xiàn)，該商品每漲價1元，每月銷售額減少10；每降價1元，每月銷售額增加20。該商品的進(jìn)價為40元，如何設(shè)置價格才能使利潤最大化？結(jié)合題目信息、二次函數(shù)特征，教師繪制簡單圖象（見圖4），同時提出具體問題：①銷售額、進(jìn)貨額是多少？②利潤y與價格變化x元有怎樣的函數(shù)關(guān)系？③變量x的范圍是什么？最值如何求？帶領(lǐng)學(xué)生從以形變數(shù)的角度出發(fā)探究函數(shù)y＝（60＋x）（300-10x）-40（300-10x），讓學(xué)生理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)對求解最值問題的意義。緊接著，教師再出示同類型例題，讓學(xué)生使用以形變數(shù)思想求解最值，使其學(xué)會如何求解抽象代數(shù)問題，加深其對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知。

圖4

（四）數(shù)形結(jié)合展開實(shí)踐教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識

信息技術(shù)的不斷發(fā)展使教學(xué)思想、教學(xué)模式、教學(xué)方法得到了創(chuàng)新，學(xué)生獲取課外數(shù)學(xué)知識的渠道不斷拓寬。現(xiàn)階段，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用不局限于概念、習(xí)題教學(xué)，還可被應(yīng)用于實(shí)踐教學(xué)。教師根據(jù)新課標(biāo)的教學(xué)要求、教學(xué)大綱、教科書內(nèi)容設(shè)置實(shí)踐教學(xué)活動，充分尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，使其在活動中獨(dú)立應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，以此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

比如，在人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《用列舉法求概率》一課的教學(xué)中，教師組織“抽獎”實(shí)踐活動：將一個轉(zhuǎn)盤分為八個相同的扇形，其中四個扇形是紅色、三個是黃色、一個是綠色，指針位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止。指針指向綠色中一等獎，指向黃色中二等獎，指向紅色中三等獎?；顒又?，學(xué)生按照提示內(nèi)容繪制圓盤，同時結(jié)合列舉法求出中獎的概率：①一等獎，即指針指向綠色的概率為②二等獎，即指針指向黃色的概率為③三等獎，即指針指向紅色的概率為活動中，學(xué)生結(jié)合具體圖象、數(shù)學(xué)模型解決實(shí)踐問題，不僅理解了列舉法的含義及應(yīng)用方式，還加深了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，應(yīng)用能力大幅提高。

五、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)思想的重要構(gòu)成之一，在課堂教學(xué)過程中滲透這一思想，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要意義。教師應(yīng)結(jié)合初中數(shù)學(xué)新知導(dǎo)入、概念教學(xué)、習(xí)題教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)的具體教學(xué)情況，以科學(xué)的方式方法滲透數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生掌握以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用技巧，促進(jìn)其綜合能力的長遠(yuǎn)發(fā)展。