分塊矩陣在矩陣秩理論教學中的探討

唐大釗，李 丹

（1.重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331；2.重慶市大學城第一中學，重慶 401331）

分塊矩陣不僅是高等代數(shù)課程中的重要內(nèi)容，而且也是相關(guān)后續(xù)課程中研究問題的重要工具。作為反映矩陣固有特性的重要指標——矩陣秩，它不僅是向量組秩橫向和縱向的推廣，而且是構(gòu)成矩陣理論的基石。因而，矩陣秩之間的關(guān)系（等式關(guān)系、不等式關(guān)系）的證明及推導就顯得非常重要。然而，有關(guān)矩陣秩的等式和不等式不勝枚舉，如何以一種較為有效的方式統(tǒng)一地去處理這類問題是每一個高等代數(shù)授課老師需要思考的問題。

矩陣的分塊是處理矩陣一種有效方法，它能使階數(shù)較高矩陣的計算變得簡潔和快速，容易被學生接受和理解。此外，矩陣的分塊這一處理方式能進一步開拓學生思維，對于提高學生靈活解決問題的能力，進而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力都有積極作用?；诠P者近年來對于高等代數(shù)和線性代數(shù)課程的教學經(jīng)驗，本文將主要探討分塊在矩陣秩理論中的應用，包括利用矩陣的分塊證明矩陣中的若干重要定理，以及涉及矩陣秩的若干不等式。從實際效果看，這些探討增強了學生對于高等代數(shù)矩陣秩理論章節(jié)的理解，相當程度上改善了教學效果。

1 矩陣的秩、矩陣的分塊及其相關(guān)運算

在本節(jié)中，我們主要回顧矩陣的秩和矩陣的分塊。

定理1.1[1]矩陣的行秩（列秩）指矩陣的行（列）向量組的秩。因為矩陣的行秩等于列秩，因而將其統(tǒng)稱為矩陣的秩，記為。

定義1.1[2]初等矩陣是將單位矩陣進行一次初等變換得到的矩陣。

定理1.2[4]矩陣的初等變換不改變其秩。

接下來，我們回顧在處理階數(shù)較高的矩陣時一個重要的工具——分塊矩陣。將某些給定的大矩陣看成若干小矩陣組成，就如同將矩陣看成由一個個數(shù)組成一樣。在矩陣的相關(guān)運算中，將這些特定劃分好的小矩陣當成數(shù)一樣來處理，這一處理方式就是所謂矩陣的分塊。唯恐言之無物，我們試舉下面的例子來加以說明。矩陣

這就是我們所說的矩陣的分塊。

2 分塊矩陣在矩陣秩相關(guān)定理中的應用

在本節(jié)中，我們將探討利用分塊矩陣對矩陣秩相關(guān)定理的證明。

3 分塊矩陣在矩陣秩不等式關(guān)系的應用

分塊矩陣不但為討論抽象矩陣和抽象矩陣的秩構(gòu)造了一架橋梁，而且分塊矩陣與矩陣的初等變換是緊密聯(lián)系的，利用矩陣的分塊，可以對一些抽象矩陣的秩進行更深一步的討論。在本節(jié)中，我們給出三個例子，探討分塊矩陣在矩陣秩中的應用。

分析：雖然上述條件是以行列式的形式給出的，但是題設中也不乏矩陣的秩之間的關(guān)系，而且行列式與其所對應的矩陣之間具有非常緊密的聯(lián)系，這自然而然想到利用分塊矩陣。

4 總結(jié)

一方面，分塊矩陣對于行列式的計算和證明有著非常巧妙的應用，這主要體現(xiàn)在簡化行列式的計算上。分塊矩陣可以將一些高階行列式通過分塊以及其他的一些初等變換，簡化為求一些較為低階行列式的問題，由于行列式與其對應矩陣的秩之間有著非常密切的聯(lián)系，因而分塊矩陣是計算和證明行列式等式或不等式的一個有力的工具。

另一方面，在證明矩陣秩相關(guān)不等式的過程中，分塊矩陣仍有不可忽視的作用，因為分塊矩陣將具體的矩陣抽象為一些“小”矩陣塊，這就在處理問題的時候提供了許多簡捷的技巧；分塊矩陣對處理矩陣的秩方面尤其便利，它將一些抽象矩陣，通過初等變換轉(zhuǎn)化為一些基礎矩陣（如單位矩陣、可逆矩陣等）的問題，這使得問題在一定程度上獲得簡化。不僅如此，分塊矩陣對于研究矩陣的性質(zhì)（如逆矩陣、矩陣的特征值、Jordan標準型等）也有著非常重要的應用。

綜上所述，分塊矩陣在處理涉及矩陣秩的相關(guān)不等式時，體現(xiàn)出了強大的統(tǒng)一處理能力。然而，學生需要就具體問題熟練地挑選或者構(gòu)造出相關(guān)的初等矩陣，這就需要平時多對相關(guān)習題中分塊矩陣的選取進行觀察、歸納和總結(jié)。另一方面，教師在講授完分塊矩陣這一工具后，也應該幫助或者引導學生對其進行系統(tǒng)歸納和總結(jié)?？傊?，筆者認為，為了使學生更好理解高等代數(shù)這門課程，教師應當根據(jù)教學大綱和授課對象，選取最優(yōu)的教學內(nèi)容和合理的教學方案。在教學過程中，可以及時對所學知識進行系統(tǒng)歸納并進行相關(guān)應用，使學生真正體會到高等代數(shù)這門課程的真正魅力所在，提高其學習積極性，實現(xiàn)最佳的教學效果。