電力系統(tǒng)隨機分析方法研究綜述

王 沖，王秀麗，鞠 平，邵成成，李洪宇

（1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇省南京市 210098；2. 西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西省西安市 710049）

0 引言

隨機因素對電力系統(tǒng)的規(guī)劃、運行和控制都具有一定的影響，除基于概率的方法外，研究人員還提出了區(qū)間數(shù)［1］、證據(jù)理論［2］、不確定集［3-5］、模糊集［6-8］等多種不確定性分析處理方法。由于隨機性是不確定性的一種主要表現(xiàn)形式，具有比較豐富的理論基礎(chǔ)和處理方法，所以本文重點論述電力系統(tǒng)的隨機性。

近年來，電力系統(tǒng)中的隨機性呈現(xiàn)出明顯增加的趨勢。一方面，隨著全球氣候的變化，加之電網(wǎng)規(guī)模和復(fù)雜度的激增，電力系統(tǒng)受到極端災(zāi)害（臺風(fēng)、雪災(zāi)、火災(zāi)等）隨機事件的影響次數(shù)越來越多。另一方面，在“碳中和”及“碳達(dá)峰”的背景下，高比例可再生能源電力系統(tǒng)將成為未來電力系統(tǒng)發(fā)展的趨勢，連續(xù)型的隨機擾動日益加劇。例如，在中國河南電網(wǎng)聯(lián)絡(luò)線的實測波動數(shù)據(jù)中，經(jīng)常可以觀測到持續(xù)的隨機功率振蕩現(xiàn)象，其中0.15～0.20 Hz 振蕩模式的振蕩次數(shù)就高達(dá)60 次/d 以上。

在以往的電力系統(tǒng)中，由于隨機因素沒有成為影響電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟運行的重要因素，加上理論分析方法與高速計算手段相對欠缺，故電力系統(tǒng)的分析方法以確定性分析為主。面對日益加劇的隨機性，電力系統(tǒng)的隨機分析問題逐漸成為研究的重點和難點［9-10］。

本文從隨機變量和描述方程的角度將電力系統(tǒng)隨機問題分為3 類：一是隨機穩(wěn)態(tài)問題，隨機變量為連續(xù)變量（即連續(xù)型隨機擾動），描述方程為代數(shù)方程；二是隨機動態(tài)問題，隨機變量為連續(xù)變量，描述方程為微分方程；三是隨機事件問題，隨機變量為離散變量（即非連續(xù)型隨機擾動），描述方程為混合方程。

連續(xù)型隨機擾動主要是指系統(tǒng)注入功率的連續(xù)隨機變化，如風(fēng)電隨機變化對節(jié)點注入功率的擾動、負(fù)荷隨機變化對節(jié)點注入功率的擾動。雖然從元件角度看負(fù)荷的投切是離散擾動，但從聚合的角度看，可以理解為連續(xù)性隨機擾動。非連續(xù)型隨機擾動是指系統(tǒng)結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化或者某些電力設(shè)備停運的離散隨機事件。

1 電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)態(tài)分析方法

1.1 電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)態(tài)問題描述

隨機穩(wěn)態(tài)問題是針對隨機因素對系統(tǒng)運行經(jīng)濟性、可靠性以及靜態(tài)安全性的影響，確定電力系統(tǒng)規(guī)劃、運行的優(yōu)化方案。按研究內(nèi)容，隨機穩(wěn)態(tài)問題可分為隨機特征分析和隨機決策問題2 類。前者側(cè)重于概率計算，用于分析系統(tǒng)運行指標(biāo)的分布特征和越限概率，主要包括隨機生產(chǎn)模擬［11］、可靠性分析［12］、概率潮流計算［11］等。后者基于最優(yōu)化理論，用于確定最優(yōu)規(guī)劃、運行方案，以降低成本（期望）、規(guī)避風(fēng)險，如不確定性（隨機）最優(yōu)潮流［13］、經(jīng)濟調(diào)度［14-15］、機組組合［16-17］和系統(tǒng)規(guī)劃［18-19］等。由于系統(tǒng)運行涉及大量方式制定與調(diào)整問題，在隨機分析問題中會不可避免地涉及優(yōu)化內(nèi)容，如生產(chǎn)模擬中的運行方式安排、可靠性分析中的最小切負(fù)荷，但它們?nèi)砸韵到y(tǒng)指標(biāo)的計算為目的。

穩(wěn)態(tài)問題涉及的隨機因素主要包括負(fù)荷波動［20］、可再生能源出力隨機波動［21］等。其中，除特定時間斷面的潮流分析外，負(fù)荷和新能源不確定性都需要用隨機過程描述，以滿足特定時間周期的規(guī)劃和運行需求。新能源出力具有顯著的時序相關(guān)性，隨著需求響應(yīng)的發(fā)展，負(fù)荷的時序相關(guān)性也將更加顯著。過去采用多個獨立概率分布描述模型將不再適用，需要考慮源-源、源-荷以及荷-荷之間的隨機相關(guān)性?；诖髷?shù)據(jù)的智能方法可以用來分析處理隨機因素之間的相關(guān)性。上述隨機因素的建模［18］與處理，是開展電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)態(tài)問題研究的關(guān)鍵。

下文按照研究內(nèi)容，分別對電力系統(tǒng)隨機特征分析和隨機決策問題進(jìn)行介紹。

1.2 電力系統(tǒng)隨機特征分析

隨機特征分析涉及隨機生產(chǎn)模擬、可靠性分析、概率潮流等。隨機生產(chǎn)模擬重點關(guān)注系統(tǒng)發(fā)電成本；可靠性分析主要關(guān)注包含電力網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的電力系統(tǒng)供電可靠性問題；概率潮流主要考慮在隨機因素影響下系統(tǒng)潮流的分析計算。

1.2.1 隨機生產(chǎn)模擬

隨機生產(chǎn)模擬能夠計及負(fù)荷、一次能源以及機組運行的隨機性，優(yōu)化機組運行方式，確定各電廠發(fā)電量、生產(chǎn)成本等，是電力系統(tǒng)規(guī)劃中的重要評估工具［11-22］。隨機生產(chǎn)模擬在發(fā)電機檢修計劃的制定、備用容量的確定及輔助服務(wù)的研究、電價預(yù)測與風(fēng)險預(yù)報等方面具有重要的應(yīng)用，尤其是在新能源占比越來越高的情況下。它通過排序、位置尋優(yōu)等途徑，將運行方式優(yōu)化與概率分析巧妙結(jié)合。文獻(xiàn)［23］提出的并聯(lián)、串聯(lián)卷積公式解決了多個隨機電源總出力的概率分布和因機組、線路停運導(dǎo)致的一次能源或發(fā)電受限問題，同時引入了頻率序列刻畫負(fù)荷曲線的波動特征，奠定了相應(yīng)的理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［24］考慮了乘/除、加/減的互逆特性，提出了概率序列的卷積/卷除、卷和/卷差。

概率卷積計算是生產(chǎn)模擬的核心和最耗時的環(huán)節(jié)，研究人員針對其從不同角度設(shè)計了多種計算方法：1）對概率分布離散化處理；2）利用時域卷積等價于頻域乘法的性質(zhì)，先進(jìn)行傅里葉變換、z變換［25］再進(jìn)行計算；3）利用隨機變量線性運算中累積量加和不變性，先進(jìn)行累積量（又稱半不變量）計算，再利用級數(shù)展開確定待求隨機變量的概率分布。由于傅里葉變換存在數(shù)值穩(wěn)定性問題、累積量法面臨尾部概率密度為負(fù)的情況，等效電量函數(shù)法這種結(jié)合系統(tǒng)運行特性的特殊離散化方法被認(rèn)為是精度、效率較高的生產(chǎn)模擬方法。

研究人員采用出力曲線聚類、概率分布、時序概率分布等模型對可再生能源出力建模，發(fā)展了計及新能源的概率序列卷積［26-27］、z變換法［28］、累積量法，但無法考慮新能源接入對系統(tǒng)調(diào)峰的影響?；谵D(zhuǎn)移頻率和頻率卷積，文獻(xiàn)［29］分析表明新能源的接入將導(dǎo)致常規(guī)機組啟停次數(shù)增加以及啟停成本提高，文獻(xiàn)［30］計及了機組開機、備用等多種運行狀態(tài)。這些工作解決了部分問題，但仍無法有效考慮常規(guī)電源和新能源的協(xié)同問題。新能源的快速波動使排序等簡單的規(guī)則無法有效地應(yīng)用到多類型電源協(xié)調(diào)中，如何兼顧電源的時序隨機出力特征、運行約束以及電源間的復(fù)雜協(xié)同關(guān)系是當(dāng)前隨機生產(chǎn)模擬面臨的關(guān)鍵難題。

1.2.2 可靠性分析

隨著綜合能源系統(tǒng)、新型電力系統(tǒng)等理念的提出，電力系統(tǒng)將在社會可持續(xù)發(fā)展、資源優(yōu)化配置、能源綜合利用等方面起到越來越重要的作用。同時，大量的不確定因素使系統(tǒng)的規(guī)劃及運行更加復(fù)雜化?？煽啃苑治隹梢跃C合考慮系統(tǒng)的多種運行狀態(tài)，根據(jù)各個狀態(tài)發(fā)生的概率和對應(yīng)的影響量化可靠性指標(biāo)，以便系統(tǒng)運行人員判斷系統(tǒng)的可靠性水平，并依次制定相關(guān)的資源規(guī)劃和配置等方面的決策。電力網(wǎng)絡(luò)在引入功率輸送限制的同時，使得各節(jié)點運行緊密關(guān)聯(lián)，這也使得含電網(wǎng)的電力系統(tǒng)可靠性評估十分復(fù)雜。盡管進(jìn)行了諸多探索，仍未形成能兼顧線路阻抗、輸送容量及隨機故障的解析方法，可靠性評估仍依賴于蒙特卡洛模擬、狀態(tài)枚舉等方法。蒙特卡洛模擬提供了一種通用的隨機分析框架。在可靠性分析中，它通過對負(fù)荷水平、新能源出力及元件狀態(tài)抽樣，形成一個個樣本場景。在各個場景中，考慮系統(tǒng)運行約束進(jìn)行最小切負(fù)荷計算，模擬大量場景統(tǒng)計得到系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。所需模擬次數(shù)主要取決于隨機源的數(shù)量和精度要求。為減少計算量，通常采用直流潮流模型，但隨著系統(tǒng)規(guī)模擴大、隨機源增多，效率較低仍是限制其應(yīng)用的關(guān)鍵因素。為此，研究人員提出了多種解決方案。首先，改進(jìn)抽樣方法并采用基于馬爾可夫過程的抽樣、分層抽樣、（自適應(yīng)）重要抽樣［31-32］等方法，減少所需的抽樣次數(shù)；其次，分析場景以及評估問題的性質(zhì)，通過冗余約束識別減少評估問題求解時間［33］，或采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合評估問題的結(jié)果，提升每次評估的效率。此外，針對低概率、高損失稀有事件的分析也是近年來的熱點問題［34-35］。

狀態(tài)枚舉法是電力系統(tǒng)常用的一種可靠性評估方法，在電力系統(tǒng)規(guī)劃和運行中已有一定的應(yīng)用，通過該方法可枚舉可能出現(xiàn)的系統(tǒng)狀態(tài)，并計算對應(yīng)狀態(tài)的可靠性指標(biāo)。狀態(tài)枚舉法的系統(tǒng)狀態(tài)與系統(tǒng)的元件數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，對于規(guī)模較小的系統(tǒng)，該方法效率較高，但隨著系統(tǒng)元件的增加，系統(tǒng)狀態(tài)將呈指數(shù)增加，故該方法無法有效地應(yīng)用于此種情況。為實現(xiàn)狀態(tài)枚舉法在大規(guī)模系統(tǒng)中的應(yīng)用，已有很多改進(jìn)措施。例如，通過限制事故發(fā)生的階數(shù)或者限制狀態(tài)發(fā)生的概率對系統(tǒng)枚舉狀態(tài)進(jìn)行篩選。在此基礎(chǔ)上，利用快速排序、最小割集等方法提高狀態(tài)枚舉法的效率和精度［36-37］。為避免狀態(tài)枚舉時只考慮概率因素，文獻(xiàn)［38-39］綜合考慮了機組容量、負(fù)荷削減量、線路過載等對狀態(tài)枚舉法的影響。對于實際系統(tǒng)，元件的故障或者停運對其附近的元件運行狀態(tài)影響較大，文獻(xiàn)［40］提出了一種基于影響增量的改進(jìn)狀態(tài)枚舉可靠性評估方法，該方法簡化了高階事故分析過程，提高了計算效率。

1.2.3 概率潮流

概率潮流能在特定運行點處考慮隨機因素，計算該時間斷面下節(jié)點電壓、支路功率的概率分布和越限情況，從而為元件利用小時數(shù)評估、系統(tǒng)的概率靜態(tài)安全分析提供工具［41-42］。隨著電力系統(tǒng)中不確定因素的增加，概率潮流分析在電力系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，包括電力系統(tǒng)電源規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析、電力系統(tǒng)運行狀態(tài)實時分析、最優(yōu)化潮流計算、系統(tǒng)風(fēng)險評估等。分析方法主要可分為如下幾類。

1）解析法

解析法概率潮流主要利用不同隨機變量之間的卷積關(guān)系得到待求變量的概率分布。由于系統(tǒng)模型以及卷積的復(fù)雜性，通常會采用一些近似處理。首先，采用靈敏度分析方法將潮流方程線性化；進(jìn)而，根據(jù)隨機變量的各階累積量計算節(jié)點電壓、支路潮流的累積量；最終，運用Gram-Charlier、Egdeworth等級數(shù)展開確定其概率分布［43-45］。受展開系數(shù)影響，所求得的概率密度在尾部可能出現(xiàn)負(fù)值，導(dǎo)致電壓和支路潮流的越限概率存在一定誤差。由于該方法以潮流靈敏度分析為基礎(chǔ)，當(dāng)隨機注入波動范圍較大時，需進(jìn)行專門的處理。同時，大規(guī)模的多元線性方程的卷積計算量巨大，在一定程度上限制了解析法的使用，其中半不變量法、快速傅里葉變換以及序列運算方法是目前常用的卷積方法。

2）模擬法

模擬法基于不確定因素的概率分布，隨機抽樣得到對應(yīng)的樣本，經(jīng)過模型分析得到輸出變量的概率分布特征。蒙特卡洛方法是一種常用的模擬方法，可提供一般性的隨機分析框架。該方法思路簡單直觀，可同時處理連續(xù)和離散（線路）的隨機變量，但為提高精度需要大量的抽樣樣本，增加了模型的計算量。為解決這一問題，衍生出了拉丁超立方采樣法［46］、重要抽樣法［47］和擬蒙特卡洛方法［48］等。拉丁超立方采樣法由McKay 等人于1979 年提出，該方法利用分層采樣技術(shù)，保證了樣本可以有效地反映隨機變量的概率分布。重要抽樣法認(rèn)為期望值附近的樣本對系統(tǒng)運行的影響更大，因此，該方法的核心思想是在保持樣本期望值不變的情況下改變概率分布的方差。擬蒙特卡洛方法利用低差異序列實現(xiàn)樣本采樣，通過該方法可以有效地實現(xiàn)樣本的空間覆蓋，避免樣本的隨機采樣，減少計算規(guī)模。

除此之外，針對蒙特卡洛方法所需樣本數(shù)目多的問題，研究人員提出了基于廣義多項式展開的概率潮流計算。該方法通過展開式擬合了輸入-輸出關(guān)系，從而代替了原先模型的計算，以提高蒙特卡洛模擬的計算效率。廣義多項式展開在理論上能擬合任何平方可積的概率分布，獲得了研究者的廣泛關(guān)注，但所需樣本數(shù)量隨展開階數(shù)和隨機注入維數(shù)呈指數(shù)增加，通常采用主成分識別降維［30］、稀疏混沌多項式［31］等方法降低計算量。此外，由于潮流解可視為注入功率的函數(shù)，也有研究采用深度學(xué)習(xí)等方法，通過較少的樣本計算訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而完成更多樣本的評估，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動方法對蒙特卡洛方法進(jìn)行加速［49］。

3）近似法

近似法是基于輸入隨機變量的統(tǒng)計特征近似描述系統(tǒng)狀態(tài)變量統(tǒng)計特征的方法，該方法不需要大量的隨機抽樣，計算量相對較小。一次二階矩法［50］和點估計法［51］是目前研究較多的方法。一次二階矩法通過對隨機變量進(jìn)行泰勒展開，保留一次項形成包含均值和方差的前兩階矩，該方法計算簡單，但只能計算出系統(tǒng)狀態(tài)量的均值和方差。點估計是一種概率統(tǒng)計方法，其能夠根據(jù)輸入隨機變量的概率分布得到輸出隨機變量的各階矩，進(jìn)而得到輸出隨機變量的數(shù)字特征，但利用該方法得到的隨機變量高階矩不夠精確，不能準(zhǔn)確得到所求隨機變量的概率分布函數(shù)。

1.3 電力系統(tǒng)隨機決策問題

隨著新能源的大規(guī)模并網(wǎng)及電力系統(tǒng)市場化改革的進(jìn)一步推進(jìn)，在原有負(fù)荷需求等不確定性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步增加了新能源功率、電價等因素的不確定性。為充分考慮各種不確定性對系統(tǒng)安全穩(wěn)定的影響，需要制定科學(xué)的優(yōu)化方案。電力系統(tǒng)優(yōu)化問題由傳統(tǒng)的確定性問題轉(zhuǎn)化為不確定性問題，如計及不確定性的系統(tǒng)規(guī)劃、計及不確定性的日前調(diào)度、考慮不確定性的多能源系統(tǒng)協(xié)調(diào)優(yōu)化調(diào)度、考慮不確定性的日前-實時市場優(yōu)化調(diào)度、計及需求側(cè)響應(yīng)的隨機優(yōu)化調(diào)度等。開展穩(wěn)態(tài)隨機分析的目的在于優(yōu)化決策，但由于其復(fù)雜性，很難將其直接納入決策框架。有研究采用進(jìn)化算法等高級啟發(fā)式算法構(gòu)建基于模擬的優(yōu)化框架，通過對方案的評估對比，逐步生成選取優(yōu)化方案，實現(xiàn)單目標(biāo)乃至多目標(biāo)的隨機決策［52］。這種框架簡單明確，但面臨計算量大、結(jié)果隨機以及復(fù)雜約束條件難以處理等問題。本文重點介紹具有解析形式的電力系統(tǒng)隨機決策方法，包括多場景模型、風(fēng)險約束模型以及魯棒優(yōu)化模型。

1.3.1 多場景模型

該方法通過離散多個場景、場景樹及相應(yīng)的概率描述隨機因素的概率分布［53］，將不確定問題轉(zhuǎn)化為各個場景下的確定性問題，此時優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為各場景結(jié)果的線性加權(quán)，所得優(yōu)化策略需要滿足所有場景或場景樹［54-55］。該方法不需要對原模型進(jìn)行復(fù)雜的轉(zhuǎn)化。同時，對數(shù)據(jù)要求較低，可以通過隨機變量分布隨機抽樣得到，也可以基于實際系統(tǒng)的預(yù)測數(shù)據(jù)。但為得到精確結(jié)果需要大量的采樣樣本，而大量樣本又增加了模型求解的難度。為此，很多學(xué)者提出了場景削減方法。同時，從數(shù)學(xué)模型角度考慮，大量的場景或場景樹增加了模型的維度，不同場景或場景樹之間一般有少量的約束條件耦合，因此可以通過一些分解方法，如Benders 分解以及對應(yīng)的改進(jìn)方法，來實現(xiàn)原始模型的分解和加快模型的求解，進(jìn)而解決大量場景造成的維數(shù)災(zāi)問題。除此之外，可以通過數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)、機器學(xué)習(xí)等方法對運行場景進(jìn)行提取，在減少場景數(shù)量的情況下保證場景的有效性和合理性［56］。

1.3.2 風(fēng)險約束模型

風(fēng)險約束模型可以從經(jīng)濟性和安全性2 個方面加以考慮。經(jīng)濟性主要考慮隨機因素對成本或收益的影響；安全性主要考慮功率平衡、線路傳輸容量等安全運行約束的滿足。

對于經(jīng)濟性，研究者借鑒金融投資等領(lǐng)域的基態(tài)成本［57］、成本期望（不計風(fēng)險）［58］、條件風(fēng)險價值［59］，以及最惡劣（最大）成本［60］、最大后悔值［61］、最惡劣概率分布下的成本期望［62］等方法對新能源和負(fù)荷不確定性導(dǎo)致的成本變動及相應(yīng)風(fēng)險進(jìn)行描述?；谶@些風(fēng)險描述可構(gòu)建隨機決策問題的多種目標(biāo)函數(shù)。

對于安全性，可以采用機會約束來表示在一定概率下滿足運行條件的情況［63-64］。機會約束可以考慮系統(tǒng)中的極端情況，允許在一定置信度情況下不滿足系統(tǒng)的運行條件。由于機會約束的復(fù)雜性，包含機會約束的模型求解需要利用已知隨機變量的分布估計待求隨機變量的分布，而直接積分方法難以求解該問題?；趫鼍吧傻姆椒梢詫C會約束轉(zhuǎn)化為確定性問題，邏輯簡單、易于實施，但需要大量場景以保證求解結(jié)果的精度，計算規(guī)模較大。此外，隨機變量的某些參數(shù)不易獲得，無法進(jìn)行準(zhǔn)確的采樣，進(jìn)一步限制了場景方法的使用。因此，部分學(xué)者著重研究機會約束模型的解析解，以增加機會約束模型的實用性。

1.3.3 魯棒優(yōu)化模型

魯棒優(yōu)化是一種基于區(qū)間不確定信息的決策方法，其核心思想是在最劣情況下保證系統(tǒng)最優(yōu)，是一種最大最小形式的決策問題［65］。相較于多場景模型和機會約束模型，魯棒優(yōu)化模型關(guān)注隨機變量的上下界，無須了解隨機變量的具體概率分布。例如：文獻(xiàn)［66］將不確定的充電負(fù)荷表示為具有上下邊界的不確定集合，然后構(gòu)建了計及充電負(fù)荷不確定性的充電站儲能魯棒優(yōu)化模型；文獻(xiàn)［67］構(gòu)建了風(fēng)電的不確定集合，在此基礎(chǔ)上研究了風(fēng)電場儲能配置方案。魯棒優(yōu)化可以通過對偶方法轉(zhuǎn)化為等效的確定性模型，計算量與多場景模型和風(fēng)險約束模型相比較小。但是，由于魯棒優(yōu)化針對的是最劣情況，其優(yōu)化結(jié)果相對保守。近年來，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃特別是半定規(guī)劃技術(shù)的發(fā)展，使得直接確定最惡劣概率分布下的期望與風(fēng)險成為可能，由此出現(xiàn)了基于分布魯棒集的描述方法。它直接對隨機量的概率分布（而非隨機量本身）建模，分析確定使目標(biāo)函數(shù)或者約束條件達(dá)到最惡劣情形的概率分布。早期的分布魯棒集合基于隨機變量的特征量如一階矩、協(xié)方差矩陣構(gòu)建［62］，近來出現(xiàn)了基于經(jīng)驗分布和不同概率距離定義［68］的構(gòu)建方法。此外，不可避免地會涉及隨機變量的相關(guān)性［69］，上述常見方法都對此有所討論。

2 電力系統(tǒng)隨機動態(tài)分析方法

2.1 電力系統(tǒng)隨機動態(tài)問題描述

針對隨機動態(tài)問題，隨機變量為連續(xù)變量，描述方程為微分方程：

式中：X（t）為狀態(tài)向量；U（t）為輸入向量；Y（t）為輸出向量；θ為參數(shù)向量；Fx、Fy和Gx、Gy為非線性函數(shù)向量；X0為初值向量；ε（t）為外部隨機激勵向量；t為時刻。

根據(jù)隨機因素的來源，式(1)中的隨機因素主要可以分為以下幾類。

1）外部激勵ε（t）的隨機性

外部激勵的隨機性為快變的隨機性，主要源于電力系統(tǒng)運行過程中持續(xù)的隨機功率波動等，可采用隨機過程進(jìn)行描述［70］。例如，可再生能源發(fā)電與負(fù)荷引起的持續(xù)隨機功率波動，以加性噪聲體現(xiàn)在動態(tài)方程中［71］，加性噪聲表示這些隨機性與其他變量在動態(tài)方程中是相加的關(guān)系。文獻(xiàn)［72-73］利用隨機微分代數(shù)方程建立了隨機激勵下電力系統(tǒng)的模型。文獻(xiàn)［74］提出一種基于隨機微分方程的多機電力系統(tǒng)模型，該模型可考慮可再生能源發(fā)電和負(fù)荷帶來的隨機擾動。文獻(xiàn)［75］利用隨機微分方程對考慮了輸電線路和系統(tǒng)負(fù)荷隨機擾動的電力系統(tǒng)進(jìn)行建模。在文獻(xiàn)［76］中，異步風(fēng)力發(fā)電機機械功率中的隨機波動被視為隨機激勵，并基于隨機微分方程建立了隨機激勵下的電力系統(tǒng)動態(tài)方程模型。文獻(xiàn)［77］提出了基于隨機微分方程的單機無窮大系統(tǒng)的隨機模型，并對其隨機穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

2）參數(shù)θ和初值X0的隨機性

參數(shù)的隨機性主要源于模型參數(shù)誤差、狀態(tài)估計誤差等，其中負(fù)荷特性系數(shù)具有較強的隨機性。初值的隨機性為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)隨機性，其產(chǎn)生原因主要是發(fā)電和負(fù)荷的慢速變化，另一方面也指系統(tǒng)經(jīng)歷隨機擾動后系統(tǒng)狀態(tài)具有隨機初值。例如，某故障發(fā)生時已能確定該線路跳閘，但由于故障切除時間具有隨機性，故故障切除時的系統(tǒng)狀態(tài)具有隨機性，該狀態(tài)可視為后續(xù)自治系統(tǒng)的初值點。在理論研究方法中，針對離散的隨機因素，如突變的參數(shù)θ和初值X0的隨機性，可用馬爾可夫鏈加以描述［78-79］。這方面的研究起步不久，相關(guān)分析問題可借鑒馬爾可夫過程的分析方法。針對慢變的隨機因素，如慢變的參數(shù)θ和初值X0的隨機性，電力系統(tǒng)可采用隨機代數(shù)方程組進(jìn)行描述，其問題本質(zhì)為隨機穩(wěn)態(tài)的問題，可借鑒第1 章中闡述的方法解決，這方面的研究成果已經(jīng)相當(dāng)豐富。針對快變的參數(shù)θ和初值X0的隨機性，可用隨機微分方程組以及隨機微分-代數(shù)方程組加以描述，這方面的研究也剛剛起步，分析方法可借鑒隨機動力學(xué)的理論方法［80］。

在隨機因素的作用下，電力系統(tǒng)的動態(tài)問題將不能單純采用傳統(tǒng)的確定性方法進(jìn)行分析。隨著更多隨機激勵的接入，單純采用傳統(tǒng)確定性方法進(jìn)行分析所帶來的風(fēng)險將進(jìn)一步擴大。未來電力系統(tǒng)隨著隨機因素的增多［81-82］，電力系統(tǒng)的隨機動態(tài)問題將逐漸成為突出的、共性的、基礎(chǔ)的問題。

需要說明的是，由于本節(jié)主要針對連續(xù)變量的隨機動態(tài)問題，所以關(guān)于隨機故障下的穩(wěn)定問題將納入針對隨機事件的第3 章中進(jìn)行討論。

2.2 電力系統(tǒng)振蕩隨機分析方法

持續(xù)的隨機擾動作用于電力系統(tǒng)時，是否以及怎樣影響電力系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性并帶來隨機振蕩值得關(guān)注［83-84］。文獻(xiàn)［85-86］通過分析愛爾蘭電力系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)，指出隨機擾動會給電力系統(tǒng)動態(tài)帶來影響，電網(wǎng)中的風(fēng)電出力帶來的隨機激勵與電網(wǎng)頻繁發(fā)生的區(qū)間功率振蕩存在一定的相關(guān)性。文獻(xiàn)［87］對1 000 kV 特高壓長南線的實測功率波動數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了由隨機性引起的振蕩。由于激勵源一直存在，在實際電網(wǎng)運行中經(jīng)常能夠觀測到持續(xù)性的隨機功率振蕩現(xiàn)象，其中0.15～0.20 Hz振蕩的次數(shù)會高達(dá)60 次/d。中國近年來發(fā)生的新型振蕩事件［88］，如河北沽源風(fēng)電-串補系統(tǒng)的振蕩［89-90］、新疆哈密系統(tǒng)的振蕩［91-92］、青海某50 MVA光伏電站的諧波放大［93］等，是否與隨機因素作用有關(guān)以及兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系值得探討。隨機因素下的電力系統(tǒng)振蕩問題逐漸凸顯，因此，電力系統(tǒng)振蕩隨機分析是亟待解決的科學(xué)與實踐問題。

從電力系統(tǒng)小信號分析的角度考慮，系統(tǒng)狀態(tài)的初值運行點并不對小信號穩(wěn)定性造成顯著的影響，因此，電力系統(tǒng)振蕩隨機分析問題中的隨機性可分為：1）狀態(tài)矩陣系數(shù)的隨機性，其與節(jié)點負(fù)荷的隨機性、發(fā)電機組運行狀態(tài)的隨機性、發(fā)電機組調(diào)度變化的隨機性、輸電線路參數(shù)的隨機性、控制設(shè)備參數(shù)的隨機性等相關(guān)；2）外部隨機激勵，描述為隨機過程。確定性分析方法不能完全揭示隨機性對電力系統(tǒng)的影響，故需要采用隨機方法。

大多數(shù)電力系統(tǒng)振蕩的隨機分析研究都集中于狀態(tài)矩陣系數(shù)的隨機性［94］，通常稱為概率小信號穩(wěn)定 性（probabilistic small signal stability，PSSS）。PSSS 的目標(biāo)是分析振蕩模態(tài)、頻率和阻尼的統(tǒng)計量，以檢驗隨機擾動下的電力系統(tǒng)是否會發(fā)生負(fù)阻尼振蕩。矩陣運算是PSSS 的主要解析分析工具。文獻(xiàn)［94］提出了一種適用于高滲透率風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的非線性PSSS 分析方法。文獻(xiàn)［95］利用隨機響應(yīng)面法分析了含有隨機性光伏發(fā)電和負(fù)荷的電力系統(tǒng)的PSSS。雖然蒙特卡洛仿真具有效率低、影響機理不清晰等缺點，但仍可作為實踐中的分析工具。文獻(xiàn)［96］基于準(zhǔn)蒙特卡洛仿真對含有隨機性接入式電動汽車負(fù)荷的電力系統(tǒng)進(jìn)行了PSSS 分析。

隨機激勵可以視為電力系統(tǒng)的外部擾動，當(dāng)作用于電力系統(tǒng)的弱阻尼模態(tài)時，會引發(fā)電力系統(tǒng)產(chǎn)生隨機振蕩，因此，隨機激勵下的小信號問題屬于強迫振蕩問題。隨機激勵作用于電力系統(tǒng)時，即使較小強度的隨機激勵也有可能引發(fā)強迫振蕩，對電力系統(tǒng)帶來危害。傳統(tǒng)確定性的強迫振蕩通常由頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率的確定性擾動激發(fā)。在傳統(tǒng)確定性強迫振蕩分析方法中，也通常假設(shè)擾動在頻域里具有確定性特征，進(jìn)而分析得到系統(tǒng)狀態(tài)在頻域里的確定性特征。當(dāng)考慮隨機激勵時，確定性方法將面臨新的問題。例如，隨機激勵的振蕩頻率和幅值都是隨機的，當(dāng)這些隨機激勵引發(fā)系統(tǒng)狀態(tài)強迫振蕩時，系統(tǒng)狀態(tài)的振蕩頻率和幅值也將變得隨機，這是傳統(tǒng)確定性分析方法無法處理的。因此，分析隨機激勵下的強迫振蕩需要利用能夠分析隨機性的方法。文獻(xiàn)［76］基于隨機激勵下線性系統(tǒng)狀態(tài)空間提出了分析隨機激勵下強迫振蕩的方法，但該方法的結(jié)果精度仍可以通過深入研究而繼續(xù)提高。文獻(xiàn)［97］推導(dǎo)出隨機激勵下線性電力系統(tǒng)狀態(tài)的解析解，并進(jìn)一步給出隨機激勵下系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生強迫振蕩時的波動范圍。文獻(xiàn)［87］提出了廣義強迫振蕩理論，如果輸入隨機激勵功率譜頻段能夠覆蓋系統(tǒng)某些較弱阻尼模式頻率，就有可能引發(fā)較大的強迫振蕩，輸出振蕩中包含這些較弱阻尼模式頻率分量。蒙特卡洛仿真雖然具有效率較低、缺少內(nèi)在機理的缺點，但可以適用于絕大多數(shù)隨機分析問題。因此，對于無法應(yīng)用解析法分析的隨機振蕩問題，仍可采用蒙特卡洛仿真，獲得初步的分析結(jié)果及結(jié)論。總體來說，隨機激勵下強迫振蕩的分析方法相對較少，大都集中在利用線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析。然而，真實的電力系統(tǒng)是強非線性的，是否會引發(fā)以及如何分析非線性的隨機強迫振蕩值得關(guān)注。

2.3 電力系統(tǒng)動態(tài)安全性隨機分析方法

電力系統(tǒng)的安全性是一個相對較寬的概念。傳統(tǒng)概念里，電力系統(tǒng)安全性是指電力系統(tǒng)承受突發(fā)擾動的能力［98］。安全性也稱動態(tài)可靠性，即在動態(tài)條件下電力系統(tǒng)經(jīng)受住突然擾動并不間斷地向用戶提供電力和電能量的能力。上述傳統(tǒng)的安全性定義中有2 點需要注意：一是“突發(fā)擾動”，如突然短路或未預(yù)料到的失去系統(tǒng)元件；二是“動態(tài)條件”，即需要采用微分方程組來描述系統(tǒng)動態(tài)。當(dāng)考慮隨機因素影響時，電力系統(tǒng)安全性的含義需要拓展。首先，擾動不僅包含突然短路之類的“突發(fā)擾動”，還包括隨機激勵等連續(xù)、持續(xù)的擾動；其次，安全性不再是確定性問題，而是隨機性問題。描述安全性的指標(biāo)，也不再是確定性指標(biāo)（如某電力系統(tǒng)一定安全或者穩(wěn)定），而是概率性指標(biāo)［99-100］。因此，此處涉及的電力系統(tǒng)隨機動態(tài)安全性，是指電力系統(tǒng)承受持續(xù)隨機擾動的能力［101］。

隨機擾動一直存在于電力系統(tǒng)中，但在傳統(tǒng)觀念里來自負(fù)荷的隨機擾動強度較小，并沒有顯著影響電力系統(tǒng)的動態(tài)安全性。然而，隨著新能源以及新型負(fù)荷的引入，電力系統(tǒng)中的隨機擾動逐漸增強。文獻(xiàn)［102］證明了隨機擾動的累積效應(yīng)會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在足夠長的時間之后離開有界區(qū)域，即使這個系統(tǒng)可以在其平衡點附近承受一個嚴(yán)重的故障。筆者團(tuán)隊參考安全域的概念［103］，提出了隨機擾動下有界波動域的概念和方法，用于分析隨機擾動下系統(tǒng)狀態(tài)量是否越界的電力系統(tǒng)動態(tài)安全問題［104-105］。在隨機擾動的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)的軌跡會呈現(xiàn)隨機波動，電力系統(tǒng)的狀態(tài)量如電壓、功率及頻率等均為隨機變量，具有不確定性。對于隨機擾動下的多機電力系統(tǒng)，由于其具有高維以及強非線性的特點，直接解析分析每一個狀態(tài)量是否越界十分困難。由于系統(tǒng)能量函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)量的函數(shù)，并且系統(tǒng)能量有界則系統(tǒng)狀態(tài)有界，所以能量函數(shù)可將隨機擾動下系統(tǒng)狀態(tài)（為多維向量）與安全邊界（為超平面）的關(guān)系問題簡化為系統(tǒng)能量與能量界關(guān)系的問題。采用系統(tǒng)狀態(tài)始終停留在有界波動域內(nèi)的概率，來刻畫隨機擾動下系統(tǒng)狀態(tài)量不越界的概率。隨機擾動下的電力系統(tǒng)可視為擬哈密頓系統(tǒng)［106］，繼而基于擬哈密頓系統(tǒng)隨機平均法，可以求解出域內(nèi)概率。隨機擾動下有界波動域的分析方法雖然具有高效、準(zhǔn)確的優(yōu)點，但是較難直接應(yīng)用于復(fù)雜隨機擾動下的復(fù)雜電力系統(tǒng)。因此，如何將復(fù)雜電力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)，以及如何考慮非高斯型隨機擾動，將是未來研究的重點。

系統(tǒng)頻率是電力系統(tǒng)最重要的指標(biāo)之一。造成系統(tǒng)動態(tài)頻率波動的原因較多，而隨機擾動是最直接、最主要的影響因素之一。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)中，負(fù)荷隨機變化會造成隨機擾動，但其波動幅度一般較小。近年來，隨著新能源以及新型負(fù)荷的接入，隨機擾動逐漸凸顯，其強度也逐漸增大，系統(tǒng)頻率將會出現(xiàn)越界的安全風(fēng)險。系統(tǒng)頻率作為電力系統(tǒng)的一個關(guān)鍵因素，考慮隨機擾動引起系統(tǒng)頻率越界問題值得關(guān)注。分析系統(tǒng)頻率的模型較多，平均系統(tǒng)頻率模型具有簡潔的特點，但沒有考慮調(diào)速器模型；而系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型相對復(fù)雜，但可以考慮調(diào)速器等模型［107］。文獻(xiàn)［71］基于平均系統(tǒng)頻率模型，提出了隨機擾動下的電力系統(tǒng)平均模型，并利用后向Kolmogorov 方程解析分析了系統(tǒng)頻率在安全范圍內(nèi)的概率。文獻(xiàn)［108］考慮負(fù)荷隨機擾動、測量的隨機誤差、通信信道的噪聲等，建立了隨機擾動下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型，并對系統(tǒng)頻率的域內(nèi)概率進(jìn)行了分析。

節(jié)點電壓也是電力系統(tǒng)重要的狀態(tài)量之一，隨機擾動下電壓越界的動態(tài)安全問題值得關(guān)注。文獻(xiàn)［109］利用Lyapunov 函數(shù)對由負(fù)荷隨機擾動引發(fā)的電壓崩潰問題進(jìn)行了解析分析。目前，關(guān)于隨機擾動下電壓等狀態(tài)量越界的安全問題研究相對較少，后續(xù)研究中可以進(jìn)一步考慮這些問題的分析方法。

2.4 電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)定分析方法

穩(wěn)定性是電力系統(tǒng)安全運行的基本要求。電力系統(tǒng)對隨機擾動的響應(yīng)也是隨機過程，所以這時的穩(wěn)定性條件需要以概率或者統(tǒng)計形式給出，一般通過動態(tài)響應(yīng)隨機過程的收斂性來定義。由于隨機過程的收斂性可在不同意義上定義，所以隨機穩(wěn)定性也有不同的定義方式，常用的有均值穩(wěn)定性、均方穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。

隨機穩(wěn)定性分析方法主要有2 種：一種是基于已知系統(tǒng)解過程的直接方法，主要應(yīng)用于可以獲得解過程的隨機系統(tǒng)；另一種是借助于Lyapunov 函數(shù)的間接方法，主要應(yīng)用于無法獲得解過程的隨機系統(tǒng)。一般而言，直接方法主要用于矩穩(wěn)定性，即p階矩穩(wěn)定，隨機模型的解過程包含隨機項部分。為消除分析過程中隨機項帶來的困難，先對解過程取均值，再對均值進(jìn)行相應(yīng)的分析。對于線性隨機電力系統(tǒng)，均值穩(wěn)定（一階矩）和均方穩(wěn)定（二階矩）是主要的研究內(nèi)容。對于非線性隨機電力系統(tǒng)，由于無法獲得解過程，可以借助非線性模型構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，來研究系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

基于電力系統(tǒng)線性化模型分析的矩穩(wěn)定性，得到的主要結(jié)論是：如果電力系統(tǒng)是小干擾穩(wěn)定的，則在高斯型隨機擾動下系統(tǒng)是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。這種分析方法的優(yōu)點在于：將電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析與隨機系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性分析巧妙地結(jié)合起來。其缺點在于：1）線性化模型只能在初始點較小的鄰域內(nèi)可以代替非線性化模型，所以對于大強度的干擾，這種方法不適合；2）矩穩(wěn)定性分析過度依賴系統(tǒng)的解過程，即如果沒有解過程則無法進(jìn)行分析；3）隨機系統(tǒng)的解過程盡管是顯式的，但其中包含對維納過程的積分。因此，需要研究基于非線性電力系統(tǒng)模型的隨機穩(wěn)定性。但對于非線性模型的隨機穩(wěn)定性分析非常困難，難以有通用的方法。初步成果是以單機無窮大系統(tǒng)為例，分析非線性隨機模型在大隨機擾動下的弱漸近穩(wěn)定性問題。結(jié)果表明，如果原確定性電力系統(tǒng)穩(wěn)定而且隨機擾動滿足一些條件，則隨機系統(tǒng)是弱隨機漸近穩(wěn)定的；如果這些條件不能得到滿足，就不能保證電力系統(tǒng)的弱隨機漸近穩(wěn)定性。

3 電力系統(tǒng)隨機事件分析方法

3.1 電力系統(tǒng)隨機事件問題描述

本文的電力系統(tǒng)隨機事件主要是指系統(tǒng)中造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化或者某些電力設(shè)備停運的離散事件，如元器件隨機故障、隨機故障導(dǎo)致系統(tǒng)的連鎖故障、外界極端災(zāi)害事件對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性的影響等。不同于隨機穩(wěn)態(tài)問題以及隨機動態(tài)問題，電力系統(tǒng)隨機事件影響了系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錉顟B(tài)或在線運行電力設(shè)備的停運狀態(tài)，該影響具有一定的隨機性，同時不同的隨機事件自身特性也不相同，如元件隨機故障原因可能包括元件自身劣化、機械損傷、鳥獸跨接導(dǎo)線引起短路等，元件故障在系統(tǒng)拓?fù)渲型耆请S機事件，這種隨機事件對電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行有很大影響；再如，外界極端災(zāi)害事件造成電力設(shè)備的停運具有序貫性及隨機性，對電力系統(tǒng)的安全運行有很大影響。針對上述不同的事件，需要有針對性的方法加以研究。

3.2 電力系統(tǒng)隨機事件概率分析方法

常規(guī)的安全穩(wěn)定分析在確定運行方式以及枚舉有限的故障模式下，驗證系統(tǒng)的安全穩(wěn)定性，如N―1 或者N―k故障檢驗，這是一種確定性的安全穩(wěn)定分析方法。但隨著元器件隨機故障事件增多，需要將隨機性考慮到安全穩(wěn)定分析中［110-112］。因此，采用概率方法評價電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即電力系統(tǒng)概率穩(wěn)定性分析，越來越受到學(xué)術(shù)界及工程界的關(guān)注。根據(jù)隨機故障元件的不同，電力系統(tǒng)概率安全分析分類如表1 所示。

表1 電力系統(tǒng)概率分析分類Table 1 Classification of probabilistic analysis on power system

為方便驗證概率仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性，IEEE 提供了多個用于概率仿真的標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)，并于1979 年和1996 年公布了2 個不同規(guī)模的標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)［113］，除基本的電氣參數(shù)以外，標(biāo)準(zhǔn)算例還給出了發(fā)電機、變壓器、輸電線的故障率和修復(fù)率，以及線路共模故障參數(shù)、線路載荷容量和保護(hù)故障參數(shù)等?；跇?biāo)準(zhǔn)算例和計算機硬件條件的改善，概率分析的研究在電力系統(tǒng)中已得到了長足的進(jìn)步。Heydt 和Burchett 兩位學(xué)者最早將概率方法引入電力系統(tǒng)動態(tài)安全穩(wěn)定分析中，通過假設(shè)隨機性滿足正態(tài)分布計算出系統(tǒng)的穩(wěn)定概率［114］。在此基礎(chǔ)上，2 位作者利用高階原點矩方法將上述方法擴展到任意分布的隨機變量。文獻(xiàn)［115-116］通過仿真計算說明了概率暫態(tài)穩(wěn)定分析的必要性，在考慮故障不確定性和保護(hù)動作時間分散性的情況下分析了33 節(jié)點系統(tǒng)的概率穩(wěn)定。文獻(xiàn)［117］在比較了暫態(tài)穩(wěn)定和概率暫態(tài)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，將暫態(tài)能量函數(shù)引入概率暫態(tài)穩(wěn)定的計算中，并利用蒙特卡洛模擬方法計算概率暫態(tài)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［118］在考慮故障類型、位置以及故障切除時間、負(fù)荷水平概率分布的情況下，枚舉有限故障，并利用能量函數(shù)方法判斷系統(tǒng)是否可以保持穩(wěn)定?？紤]復(fù)雜故障以及保護(hù)系統(tǒng)動作條件，文獻(xiàn)［119-120］利用蒙特卡洛模擬方法研究了交直流混合系統(tǒng)的概率穩(wěn)定性模型，提出了基于系統(tǒng)層及節(jié)點層的指標(biāo)。文獻(xiàn)［121］初步探討了概率暫態(tài)穩(wěn)定的解析解，同時提出了基于概率暫態(tài)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定性指標(biāo)。文獻(xiàn)［122］引入了靜態(tài)安全域及動態(tài)安全域，分析了系統(tǒng)的概率穩(wěn)定。考慮故障切除時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，文獻(xiàn)［123］考慮故障切除時間的隨機性，研究了系統(tǒng)概率暫態(tài)穩(wěn)定，并提出了一種計算系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定概率的算法。文獻(xiàn)［124］根據(jù)隨機事件的概率特性計算反映其特性的特征根，然后利用Gram-Charlier 級數(shù)來確定臨界特征根的概率，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定概率。文獻(xiàn)［125］研究了考慮連鎖故障的暫態(tài)穩(wěn)定概率。

根據(jù)上述研究可以看出，目前研究電力系統(tǒng)概率安全分析的方法有模擬法和解析法。模擬法中常用的是蒙特卡洛模擬方法，這種方法通過對隨機事件的大量抽樣，利用概率統(tǒng)計學(xué)中的理論得到概率值。這種方法的優(yōu)點是容易實現(xiàn)，但由于蒙特卡洛方法需要大量的抽樣才可以得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，因此，對于大規(guī)模系統(tǒng)來說不適合在線安全穩(wěn)定分析。解析法中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)是計算某一預(yù)想故障事件發(fā)生后系統(tǒng)暫態(tài)不穩(wěn)定概率，涉及故障元件、類型、位置、故障時間、保護(hù)動作時間等的不確定性。這些不確定性一般服從某一種概率分布，為便于計算，通常將其離散化后再采用概率加權(quán)的方法得到穩(wěn)定概率值，這種處理存在一定的誤差。因此，準(zhǔn)確地表征故障元件、類型、位置、故障時間、保護(hù)動作時間等的不確定性可以擴展解析法的適用范圍?？偟膩碚f，考慮隨機事件概率分析方法已經(jīng)得到了一定的關(guān)注和研究，隨著未來系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜且元件越來越多，元件隨機故障的發(fā)生無法避免，理論研究還有很大的提升空間。

3.3 電力系統(tǒng)隨機事件馬爾可夫分析方法

近年來，因全球氣候變化造成的極端災(zāi)害事件（如臺風(fēng)）的發(fā)生頻度和強度不斷增加，由此造成的停電事故也不斷增加［126-127］。2014 年9 月16 日的臺風(fēng)“海鷗”對中國?？?、文昌、澄邁、臨高、儋州、瓊海等地區(qū)造成嚴(yán)重的災(zāi)情，造成了海南省12 條220 kV線 路 停 運、26 條110 kV 線 路 停 運、21 條35 kV 線 路停運、6 座110 kV 變電站停運，影響124 萬戶用電。為應(yīng)對這些可能發(fā)生的極端事件，美國電力研究院［128］、美國國家研究委員會［129］、北美電力可靠性公司［130-131］等機構(gòu)提出了加強電力系統(tǒng)彈性以應(yīng)對外部極端事件。

與元器件隨機故障的隨機事件不同，臺風(fēng)、暴雨、山火等自然災(zāi)害對系統(tǒng)的影響在時間和空間上都具有一定的序貫性，同時影響范圍內(nèi)的元器件故障是不確定的。針對序貫性和不確定性，系統(tǒng)運行人員需要根據(jù)系統(tǒng)的實時狀態(tài)來制定調(diào)度方法，以確保調(diào)度方案在時間軸上的整體最優(yōu)。目前，常用的基于場景的期望值優(yōu)化、考慮多層的魯棒優(yōu)化等不能充分地實現(xiàn)“系統(tǒng)實時狀態(tài)”到“系統(tǒng)最優(yōu)策略”的映射。如圖1 所示，在t1時刻觀測到系統(tǒng)的實際狀態(tài)，基于此狀態(tài)，同時再考慮決策后系統(tǒng)狀態(tài)隨機轉(zhuǎn)移的情況下，制定對應(yīng)的策略；實施t1時刻的決策后，在極端災(zāi)害事件的作用下，系統(tǒng)在t2時刻轉(zhuǎn)移到新的狀態(tài)，基于新的狀態(tài)，同時再考慮決策后系統(tǒng)狀態(tài)隨機轉(zhuǎn)移的情況下，制定新的對應(yīng)策略。t3時刻以此類推。

圖1 基于狀態(tài)的決策過程Fig.1 State-based decision process

考慮此類決策過程，文獻(xiàn)［132-133］提出了基于馬爾可夫決策過程的優(yōu)化調(diào)度模型，將受影響的系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表示成馬爾可夫狀態(tài)，不同的狀態(tài)之間通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率表示，該狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可以利用災(zāi)害情況下系統(tǒng)元件的故障概率［134-137］得到?；隈R爾可夫狀態(tài)，構(gòu)建考慮當(dāng)前成本以及后續(xù)成本的遞推優(yōu)化模型，并利用基于近似動態(tài)規(guī)劃方法對模型進(jìn)行求解，在求解過程中，利用“決策后”狀態(tài)以及其值函數(shù)來表示決策后的后續(xù)成本，并利用離線的值迭代方法來估計“決策后”狀態(tài)的值函數(shù)，最終將序貫多時段隨機決策優(yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閱螘r段確定性優(yōu)化，實現(xiàn)了“系統(tǒng)實時狀態(tài)”到“系統(tǒng)最優(yōu)策略”的映射。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，離線的值迭代需要較長時間，如何快速得到“決策后”狀態(tài)的值函數(shù)是后續(xù)研究的關(guān)鍵點。

上述馬爾可夫決策過程方法可以很好地解決臺風(fēng)、暴雨、山火等具有明顯時間和空間序貫性的自然災(zāi)害對電力系統(tǒng)的影響，構(gòu)建基于系統(tǒng)狀態(tài)的彈性策略。除此之外，冰凍、地震等也是電力系統(tǒng)彈性研究中需要關(guān)注的自然災(zāi)害，多點網(wǎng)絡(luò)攻擊是電力信息物理系統(tǒng)彈性研究中需要關(guān)注的極端事件，這些事件的空間序貫性不是很顯著，但是具有一定的時間序貫性，馬爾可夫決策過程方法也可以應(yīng)用于此類事件，構(gòu)建基于系統(tǒng)狀態(tài)的彈性策略。

4 研究展望

在“雙碳”目標(biāo)的新要求下，構(gòu)建清潔低碳安全高效的能源體系、控制化石能源的使用占比、實施可再生能源的替代是中國電力系統(tǒng)能源轉(zhuǎn)型的重要手段。中國的光伏和風(fēng)電占比將持續(xù)增加，傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)將逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橐孕履茉礊橹黧w的新型電力系統(tǒng)（簡稱為“雙新”電力系統(tǒng)）。大量隨機因素的引入給電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定經(jīng)濟運行帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，雖然目前已有很多相關(guān)研究，但隨著隨機因素的數(shù)量增加和特性變化，還有如下許多與隨機性相關(guān)的理論和實際問題值得進(jìn)一步思考和探索：

1）新能源的概率預(yù)測：隨著“雙新”電力系統(tǒng)的發(fā)展，新能源的分布式、多點化特點更加突出，分布式監(jiān)測裝置的全覆蓋成本較高、難度較大，通過毗連區(qū)域的空間分布以及對應(yīng)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，如何為區(qū)域內(nèi)提供相關(guān)信息，提高整體的預(yù)測精度，是值得研究的一個方向。除此之外，針對未來“雙新”電力系統(tǒng)，概率預(yù)測需要結(jié)合新系統(tǒng)自身存在的問題，以實際規(guī)劃、運行等物理問題為導(dǎo)向，結(jié)合已有的隨機優(yōu)化、區(qū)間優(yōu)化、魯棒優(yōu)化、馬爾可夫決策過程優(yōu)化等數(shù)學(xué)工具，將理論與實際相結(jié)合。

2）強隨機下的系統(tǒng)規(guī)劃運行：具有隨機性的大規(guī)模新能源接入增加了“雙新”電力系統(tǒng)電力電量平衡的困難。從規(guī)劃的角度，強隨機性增加了不同電源空間互補特性認(rèn)知與建模的難度，確定性規(guī)劃需要向概率性規(guī)劃進(jìn)行轉(zhuǎn)變。從運行的角度，隨機性將導(dǎo)致供電保障問題、系統(tǒng)調(diào)峰壓力的加劇。同時，還要充分考慮不斷增多的負(fù)荷側(cè)不確定性對調(diào)度高比例新能源電力系統(tǒng)的影響。

3）低慣性下的抗隨機擾動能力：大規(guī)模的風(fēng)電、光伏等新能源通過電力電子設(shè)備接入電網(wǎng)，降低了系統(tǒng)的慣性，進(jìn)而降低了電網(wǎng)的調(diào)節(jié)能力和抗擾動能力。然而，大規(guī)模新能源的隨機性又增加了對系統(tǒng)的擾動，對低慣性的系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行帶來了挑戰(zhàn)。

4）隨機動力學(xué)：隨著“雙新”電力系統(tǒng)的發(fā)展，隨機性給電力系統(tǒng)動態(tài)帶來了不可忽視的影響。首先，大量電力電子設(shè)備的引入改變了原有以同步電機為主導(dǎo)的動力學(xué)模型，如何構(gòu)建不同時間尺度的滿足不同分析需求的動力學(xué)模型是一個關(guān)鍵的難點；其次，如何在動力學(xué)模型中表征大范圍、分布式的隨機擾動。目前，在電力系統(tǒng)隨機動力學(xué)研究中一般假設(shè)擾動為滿足高斯分布的白噪聲，但是實際的隨機過程并非白噪聲。

5）極端氣候下“雙新”電力系統(tǒng)的彈性提升：風(fēng)電、光伏等新能源嚴(yán)重依賴于外界環(huán)境，隨著極端氣候的增多，風(fēng)電、光伏等新能源供電的不確定性將增加。需要保證“雙新”電力系統(tǒng)在日趨增多的極端氣候下具有較高的供電可靠性以及快速的系統(tǒng)恢復(fù)性，即需要提升“雙新”電力系統(tǒng)的彈性來應(yīng)對極端氣候。

6）新方法的引入與應(yīng)用：隨著新能源占比的越來越高以及新能源隨機性之間時空關(guān)聯(lián)性的增強，如何利用新的數(shù)學(xué)方法準(zhǔn)確描述具有復(fù)雜時空關(guān)聯(lián)性的新能源出力隨機過程是一個關(guān)鍵性問題。除此之外，如何利用新的數(shù)學(xué)理論快速準(zhǔn)確地求解復(fù)雜的隨機優(yōu)化問題也是未來研究的重點之一。對于常規(guī)的含白噪聲的簡單動力學(xué)隨機模型，可以通過擬哈密頓理論等方法進(jìn)行解析分析，但隨著隨機噪聲的多樣化以及動力學(xué)模型的復(fù)雜化，如何得到對應(yīng)的解析解是一個十分復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

5 結(jié)語

電力系統(tǒng)隨機問題的研究成果較多。其中，對于電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)態(tài)問題分析，研究成果最多，相對也比較成熟；對于電力系統(tǒng)隨機動態(tài)問題分析，研究成果較多但仍然很不夠；對于電力系統(tǒng)隨機事件問題分析，研究成果較少，亟待加強相關(guān)研究。本文對電力系統(tǒng)隨機穩(wěn)態(tài)問題、隨機動態(tài)問題、隨機事件問題進(jìn)行了描述及歸類，并歸納了對應(yīng)的分析方法。在考慮以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)背景下，對與隨機性相關(guān)的理論和實際問題進(jìn)行了思考。

本文并未對相關(guān)技術(shù)進(jìn)行詳細(xì)的描述，而是通過對隨機穩(wěn)態(tài)問題、隨機動態(tài)問題、隨機事件問題的分類進(jìn)一步認(rèn)識理解隨機性對電力系統(tǒng)的影響，進(jìn)而可以從不同的角度展開研究。建議在將來的進(jìn)一步研究中，一是需要借鑒大數(shù)據(jù)技術(shù)獲取隨機因素的描述模型；二是需要考慮不同隨機因素之間的關(guān)聯(lián)性；三是需要建立符合工程需要的概率型指標(biāo)；四是需要從隨機性方法向其他不確定性方法拓展。

本篇論文是IEEE AMPS（電力系統(tǒng)解析方法）委員會成員共同策劃和研討的成果，他們是這篇論文的共同作者：中國電力科學(xué)研究院有限公司湯涌、河海大學(xué)吳峰、華中科技大學(xué)孫海順、四川大學(xué)王海風(fēng)、浙江大學(xué)辛煥海、重慶大學(xué)謝開貴、天津大學(xué)賈宏杰、南方電網(wǎng)科學(xué)研究院洪潮、中國電力科學(xué)研究院有限公司南京分院李峰、國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院袁宇波、國電南瑞科技股份有限公司穩(wěn)定分公司李威、國家電網(wǎng)有限公司華東分部李建華等，在此深表謝意！