廣義逆與方程解的存在性

趙旭東， 王 姍， 魏俊潮

(1.運城師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機系， 山西 運城 044000； 2.揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚州 225002)

0 引言

本文中，R均表示一個有單位元1的結(jié)合環(huán). 設(shè)*:R→R為一個雙射， 若對?a,b∈R滿足條件：

則稱R為一個對合環(huán)或*-環(huán).

設(shè)a∈R， 若存在b∈R， 滿足

a=aba；b=bab；ab=ba，

則稱a為R的群可逆元， 稱b為a的群逆元， 由文獻[1]知b是唯一的.用a#表示群可逆元a的唯一的群逆元， 用R#表示R的全體群可逆元的集合.

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R. 若存在b∈R， 使得

則稱a為R的Moore Penrose可逆元[2]， 簡稱為MP-可逆元， 稱b為a的MP-逆元.由文獻[3]知b是唯一的， 記為a+.因此有

用R+表示R的全體MP-可逆元的集合.

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R+.若a+=a*， 則稱a為偏序等距元[4].用RPI表示R的全體偏序等距元的集合.關(guān)于偏序等距元的研究還可參見文獻[5-7].

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R#∩R+.若a#=a+， 則稱a為EP元[8].用REP表示R的全體EP元的集合.

設(shè)R為*-環(huán)，a∈R#∩R+.若a#=a+=a*， 則稱a為強EP元[4, 9].用RSEP表示R的強EP元的集合.

很多作者對EP元及PI元進行了刻畫， 如文獻[4-8, 10-12].文獻[12]借助于構(gòu)造的方程在給定集合中解的存在性， 研究EP元及PI元素的性質(zhì)刻畫， 這是一種新的研究廣義逆的方法.本文的主要目的也是利用相關(guān)方程在給定集合中有解的情況下， 研究元素的廣義逆性質(zhì).

1 主要結(jié)果

在文獻[12]中， 介紹了如下方程：

x=a+x(a+)*

(1)

我們可以把這個方程推廣如下：

x=a+y(a+)*

(2)

定理1設(shè)a∈R#∩R+， 則方程(2)的一般解為

(3)

證明首先證明公式(3)是方程(2)的解.這是因為

a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*=a+p(a+)*.

取p=aa+y0aa+，z=y0， 則有

a+p(a+)*=a+(aa+y0aa+)(a+)*

=a+y0(a+)*=x0，

p+z-aa+zaa+=aa+y0aa++y0-aa+y0aa+=y0，

因此, 公式(3)確是方程(2)的一般解.

推論1設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

為方程(2)的一般解.

證明先證必要性.若a∈RPI， 則有(a+)*=a.

可見， 公式(3)與公式(4)相同， 由定理1知， 公式(4)為方程(2)的一般解.

再證充分性.若方程(2)的一般解可由公式(4)給出， 那么

a+pa=a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*

=a+p(a+)*，

其中p,z∈R.

因此對任意p∈R， 我們有a+pa=a+p(a+)*.

特別地取p=1， 有a+a=a+(a+)*， 從而a=aa+(a+)*=(a+)*， 所以a∈RPI.

定理2設(shè)a∈R#∩R+， 則方程的一般解可由公式(4)給出.

x=a+ya

(5)

證明類似于定理1可證.

推論2設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)方程(2)與方程(5)同解.

證明必要性：假設(shè)a∈RPI， 則(a+)*=a， 因此方程(2)與方程(5)相同， 當(dāng)然同解.

充分性：若方程(2)與方程(5)同解， 則由定理2知方程(2)的一般解可由公式(4)給出.再由推論1知a∈RPI.

定理3設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)

(6)

為方程(2)的一般解.

證明先證必要性.若a∈REP， 則a#=a+， 因此, 公式(3)與公式(6)相同， 由定理1可知公式(6)為方程(2)的一般解.

再證充分性.若方程(2)的一般解可由公式(6)給出， 則

a#p(a+)*=a+(p+z-aa+zaa+)(a+)*=a+p(a+)*，

取p=aa*， 可得a#aa+a=a+aa+a， 即a#a=

a+a， 因此a∈REP.

定理4設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)公式(3)為方程(5)的一般解.

證明先證必要性.若a∈RPI， 則a=(a+)*， 可知方程(5)與方程(2)相同， 從而有相同的解.由定理1可知公式(3)為方程(5)的一般解.

再證充分性.若公式(3)為方程(5)的一般解， 則

a+p(a+)*=a+(p+z-aa+zaa+)a=a+pa，

其中p∈R.

特別地取p=1， 有a+(a+)*=a+a， 左乘a得(a+)*=a， 所以a∈RPI.

現(xiàn)在變換方程(1)如下：

x+(a+)*=a+x(a+)*+a

(7)

定理5設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈REP當(dāng)且僅當(dāng)方程(7)在集合χa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一個解.

證明先證必要性.若a∈REP， 則a+=a#， 可得a+a(a+)*=a#a(a+)*=(a+)*， 顯然x=a是方程(7)的一個解.

再證充分性.

(1)若x=a是方程(7)的一個解， 那么

a+(a+)*=a+a(a+)*+a，

即

(a+)*=a+a(a+)*.

取對合*， 有a+=a+a+a， 因此a∈REP.

(2)若x=a#是方程(7)的一個解， 則

a#+(a+)*=a+a#(a+)*+a，

先左乘(1-aa+)， 得

(1-aa+)a+a#(a+)*=0，

再對最后得到的等式右乘a*a2a+， 得

(1-aa+)a+=0， 因此a∈REP.

(3)若x=a+是方程(7)的一個解， 則

a++(a+)*=a+a+(a+)*+a，

右乘a+a， 得a+=a+a+a， 所以a∈REP.

(4)若x=a*是方程(7)的一個解， 則

a*+(a+)*=a+a*(a+)*+a，

即

a*+(a+)*=a+a+a+a，

右乘a+a， 得a*=a*a+a， 有a=a+a2， 因此，a∈REP.

再應(yīng)用對合， 得a#=a+aa#， 因此a∈REP.

(6)若x=(a+)*是方程(7)的一個解， 則

(a+)*+(a+)*=a+(a+)*(a+)*+a，

先左乘aa+， 得

a+(a+)*(a+)*=aa+a+(a+)*(a+)*，

再右乘a*a#a， 得a+(a+)*=aa+a+(a+)*. 因此

a+=a+(a+)*a*=(aa+a+(a+)*)a*

=aa+a+aa+=aa+a+，

因此a∈REP.

定理6設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)a+∈RPI.

證明先證必要性.由于a∈RPI， 則a+=a*.

故a=(a+)*， 即有(a+)+=(a+)*， 于是a+∈RPI.

再證充分性.若a+∈RPI， 由“必要性”知 (a+)+∈RPI， 即a∈RPI.證畢.

用a+代替方程(1)中的a， 可得如下方程:

x=axa*

(8)

由定理6及文獻[9]中的定理2.7， 知有下面的定理.

定理7設(shè)a∈R#∩R+， 則a∈RSEP當(dāng)且僅當(dāng)方程(8)在集合χa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一個解.