三群體2×2×2非對稱演化博弈穩(wěn)定性分析

馬本江, 蔣學海,2

(1,中南大學 商學院,湖南 長沙 410083; 2.北部灣海洋發(fā)展研究中心(北部灣大學)，廣西 欽州 535011)

0 引言

演化博弈作為博弈論的一門分支學科因放寬了行為人完全理性假設(shè)而在經(jīng)濟與社會領(lǐng)域里得到廣泛應(yīng)用。起先，生物學家為了更好地理解生物進化的過程和預測進化的結(jié)果，開始利用演化博弈研究種群沖突和群體演化的規(guī)律，其中最具代表性和創(chuàng)造性的研究出自斯密斯和普瑞斯[1]發(fā)表在Nature上的論文，文中首次提出了演化穩(wěn)定策略(Evolutionary stable strategy, ESS)的概念，隨后不少學者開始深入研究進化博弈論以及利用這一方法研究生物進化問題[2～6]。弗里德曼[7]研究了ESS和納什均衡的關(guān)系，他指出ESS一定是納什均衡，而納什均衡卻不一定是ESS。

演化博弈的相關(guān)文獻大致可分為理論研究和應(yīng)用研究。理論研究部分，潘峰[8]分別構(gòu)建了基于不完全信息條件下的兩群體2×2非對稱演化博弈，并對演化穩(wěn)定策略的穩(wěn)定性進行了多情景分析；達慶力[9]構(gòu)建了兩群體3×3對稱演化博弈，并利用動力系統(tǒng)理論分析了系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略穩(wěn)定性情況,完整地給出了該系統(tǒng)的全部動力學行為；魏芳芳[10]構(gòu)建了三群體2×2×2非對稱演化博弈，完整地給出了其定性行為的等價定量分類和各參與主體不同情況下的穩(wěn)定性策略,并且用三維立體圖演示了不同策略組合的漸進趨勢；程樂峰[11]針對開放電力市場構(gòu)建了三群體非對稱演化博弈模型，并詳細分析了系統(tǒng)的演化穩(wěn)定性。與理論研究部分相比，演化博弈應(yīng)用部分的研究文獻較多，范圍較廣。其中，涉及經(jīng)濟與社會領(lǐng)域的主要有三個方面：其一，委托代理問題，如政府機構(gòu)對尋租腐敗問題的監(jiān)管[12]，公司兩權(quán)分離下對高管的監(jiān)督與激勵[13]；其二，制度建設(shè)和行業(yè)監(jiān)管，如食品、藥品、環(huán)境等質(zhì)量安全監(jiān)管[14～16]，P2P網(wǎng)貸行業(yè)政府監(jiān)管[17,18]，信用保證保險增信機制設(shè)計[19]，企業(yè)社會責任履行情況監(jiān)督[20]；其三，其他，如項目組織知識轉(zhuǎn)移與否的競爭[21]，證券投資者的交易行為[22]等等。

然而，當前學界對三方演化博弈的穩(wěn)定性研究不足，這導致不少學者在在研究時仍然在討論混合策略納什均衡是否是ESS的問題，其中也有部分學者根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定理論通過判斷系統(tǒng)雅可比矩陣的特征值關(guān)系證明了多數(shù)情形下混合策略納什均衡不是ESS，但就目前為止還未能對所有情形給出證明，這導致學界對純策略納什均衡、混合策略納什均衡與ESS的關(guān)系不清，這無論是給演化博弈的理論研究還是其在經(jīng)濟與社會領(lǐng)域里的應(yīng)用研究都帶來了不小的阻礙。

在此背景下，論文建立了三群體2×2×2非對稱演化博弈的一般模型，首先分析了單群體策略的演化趨勢，接著根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，并首次結(jié)合單群體策略的演化趨勢對三方演化博弈的系統(tǒng)穩(wěn)定性作了深入研究，并基于完整描述系統(tǒng)演化路徑的原則定義了線性策略收斂的概念，重點討論了一般博弈領(lǐng)域里納什均衡(包括純策略納什均衡與混合策略納什均衡、嚴格納什均衡與不嚴格納什均衡)和演化博弈領(lǐng)域里演化穩(wěn)定策略(包括ESS與線性策略收斂)的關(guān)聯(lián)性。最后，通過設(shè)計算例，并結(jié)合Matlab軟件對算例進行模擬仿真，從而驗證本文關(guān)于三方演化博弈穩(wěn)定性研究的相關(guān)結(jié)論。

1 模型建立及求解

考慮2×2×2三方演化博弈，假設(shè)有A、B、C三個群體，策略空間分別是Ω(A1,A2)，Ω(B1,B2)，Ω(C1,C2)，群體A選擇策略A1的概率為x，群體B選擇策略B1的概率為y，群體C選擇策略C1的概率為z。三群體策略組合及相應(yīng)的支付矩陣見表1。

設(shè)群體A選擇策略A1時的期望收益為ΓA1，選擇策略A2時的期望收益為ΓA2，同理設(shè)群體B期望收益分別為ΓB1、ΓB2，群體C期望收益分別為ΓC1、ΓC2。

對于群體A，有

ΓA1=yza1+y(1-z)a2+(1-y)za3+(1-y)(1-z)a4

ΓA2=yza5+y(1-z)a6+(1-y)za7+(1-y)(1-z)a8

對于群體B，有

ΓB1=xzb1+x(1-z)b2+(1-x)zb3+(1-x)(1-z)b4

ΓB2=xzb5+x(1-z)b6+(1-x)zb7+(1-x)(1-z)b8

對于群體C，有

ΓC1=xyc1+x(1-y)c2+(1-x)yc3+(1-x)(1-y)c4

ΓC2=xyc1+x(1-y)c2+(1-x)yc3+(1-x)(1-y)c4

利用復制動態(tài)方程構(gòu)建三維動力系統(tǒng)并化簡，于是有

群體A:F(x)=dx/dt=x(1-x)(ΓA1-ΓA2)=x(1-x)(zyw1+zw2-yw3-w4)

(1)

群體B:T(y)=dy/dt=y(1-y)(ΓB1-ΓB2)=y(1-y)(xzm1+xm2-zm3-m4)

(2)

群體C:H(z)=dz/dt=z(1-z)(ΓC1-ΓC2)=z(1-z)(yxn1+yn2-xn3-n4)

(3)

參數(shù)wi、mi、ni(i=1,2,3,4)。

類型1三維動力系統(tǒng)恒有8個純策略點，依次記為E1=(1,1,1)、E2=(1,1,0)、E3=(1,0,1)、E4=(1,0,0)、E5=(0,1,1)、E6=(0,1,0)、E7=(0,0,1)、E8=(0,0,0)。

證明當x,y,z分別任意取0和1時，總有F(x)=0、T(y)=0、H(z)=0三者恒成立，因此三維動力系統(tǒng)必然存在8個純策略點。

類型2三維動力系統(tǒng)可能存在12類雙種群采納純策略的混合局勢，即“雙純一混”策略，依次記為H1=(1,1,z)、H2=(1,0,z)、H3=(0,1,z)、H4=(0,0,z)、H5=(1,y,1)、H6=(1,y,0)、H7=(0,y,1)、H8=(0,y,0)、H9=(x,1,1)、H10=(x,1,0)、H11=(x,0,1)、H12=(x,0,0)。其中，x,y,z∈(i=1,2,…,12)。

證明對于H1，當x=1,y=1時，有F(x)=0、T(y)=0成立，當n1+n2-n3-n4=0(化簡即c1=c2)成立時，對于?z∈(0,1)，總有H(z)=0成立，所以是一個雙種群采納純策略的混合平衡狀態(tài)，同理也能得到其他條件成立時的雙種群采納純策略的混合局勢。另外，考慮到這類策略組合在局勢立方體上呈連續(xù)的線性分布，為準確、直觀地表述，下文稱之為線性均衡策略。

類型3三維動力系統(tǒng)可能存在6個單種群采納純策略的混合局勢，即“一純二混”策略，依次記為K1=(1,y1,z1)、K2=(0,y2,z2)、K3=(x3,1,z3)、K4=(x4,0,z4)、K5=(x5,y5,1)、K6=(x6,y6,0)。

證明對于K1，當x1=1時，總有F(x)=0恒成立，令ΓB1-ΓB2=0、ΓC1-ΓC2=0，得yi和zi，同理也能得到另外幾組單群體采納純策略的混合局勢。參數(shù)xi、yi、zi(i=1,2,…,6)。

類型4三維動力系統(tǒng)可能存在至多2個混合策略納什均衡L=(x,y,z)。

證明同時令

該方程組共有三個變量，并且方程組的每個方程都是由三個變量兩兩組成的二元二次方程，故由數(shù)學知識易知該方程組至多有兩組解，考慮到多數(shù)情況下直接計算混合策略解通常要方便許多，因此不再給出相應(yīng)的解析式。

值得一提的是，盡管上述方程組至多有兩解，但系統(tǒng)中通常只有一個混合策略解滿足x,y,z∈(0,1)。因此，下文在分析單群體策略演化趨勢時，只考慮系統(tǒng)中有且僅有一個混合策略解的情況，這是一個值得注意的地方。

3 模型分析

在分析系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略之前，考慮到系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略是由單群體策略演化趨勢所構(gòu)成，而且在下文證明相關(guān)定理時需要用到單群體策略演化趨勢，于是先分析單群體策略演化趨勢，而后在此基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略。

3.1 單方策略演化分析

對于群體A，(1)式復制動態(tài)方程對x求導，得

dF(x)/dx=(1-2x)(ΓA1-ΓA2)

=(1-2x)(zyw1+zw2-yw3-w4)

假定yw1+w2≠0，令ΓA1-ΓA2=0，可得z*=(yw1+w4)/(yw1+w2)。又令F(x)=0，有兩個確定解x=0、x=1和一個可能解z=z*，其中z*∈R，但只有滿足dF(x)/dx<0的解(或者z=z*時)才是演化穩(wěn)定策略(ESS)，分如下幾種情況進行討論。

1)當z

2)當z=z*時，對于?x∈[0,1]，都有F(x)≡0，這意味群體A無論選擇策略A1和策略A2的比例如何，其策略都是穩(wěn)定的；

3)當z>z*時，如果yw1+w2>0，易知dF(x)/dx|x=0>0、dF(x)/dx|x=1<0，此時x→1；反之，如果yw1+w2<0，此時x→0。

同理，對群體B和群體C進行類似分析，結(jié)果如下：對于群體B，當x0，則y→0，反之y→1；當x>x*時，如果zm1+m2>0，則y→1，反之y→0。對于群體C，當y0，則z→0，反之z→1；當y>y*時，如果xn1+n2>0，則z→1，反之z→0。

3.2 系統(tǒng)演化分析

在上文中，論文利用復制動態(tài)方程得到了三維動力系統(tǒng)的平衡點，然而只有具有抗擾動性的平衡點才是系統(tǒng)的ESS。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論(間接法)，三維動力系統(tǒng)在平衡點處的漸進穩(wěn)定性可以通過系統(tǒng)雅可比矩陣的三個特征值來判斷。判斷原則為：①如果雅可比矩陣的所有特征值都具有負實部，則該均衡點是ESS(匯)；②如果雅可比矩陣的所有特征值都具有正實部，則該均衡點為不穩(wěn)定點(源)；③如果雅可比矩陣的特征值既有正實部又有負實部，則該均衡點為鞍點；④如果雅可比矩陣的特征值具有零實部且其余特征值都有負實部，則該均衡點處于臨界狀態(tài)，其是否具有抗擾動性取決于高階導數(shù)項。

式(1)、(2)和(3)分別關(guān)于x、y、z作偏導，并按照特定的順序排列成如下三維動力系統(tǒng)的雅可比矩陣:

類型1三維系統(tǒng)中必然存在著8個純策略局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程是(?F(x)/?x-λ)(?T(y)/?y-λ)(?H(z)/?z-λ)=0(其中，x,y,z=0.1)，得三個特征值λ1=?F(x)/?x,λ2=?T(y)/?y,λ3=?H(z)/?z。

類型2三維系統(tǒng)中可能存在12種“雙純一混”局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程形如(a-λ)(b-λ)(0-λ)=0(注：a,b∈{?F(x)?x,?T(y)/?y,?H(z)/?z}且(a≠b))，得三個特征值λ1=a、λ2=b和λ3=0。

類型4三維系統(tǒng)中可能存在至多兩個三方混合策略局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程形如-λ3+αλ+β=0，由于三次代數(shù)方程的二次項系數(shù)是0，易知特征值。由于三方混合策略算式較復雜，且本文并不需要λ1,2,3的值λ1+λ2+λ3=0，于是不再給出具體值。

至此，本文得到了所有平衡點處系統(tǒng)雅可比矩陣的特征值，詳見表2。其中，ξi(i=1,2,...,12)。此外，為了行文方便，根據(jù)表1和表2，給出本模型的局勢立方體，詳見圖1。

表2 三維動力系統(tǒng)的演化穩(wěn)定策略狀態(tài)及其穩(wěn)定性判定

為了更好地理解三維動力系統(tǒng)中演化穩(wěn)定策略的概念，遂將ESS推廣至三維空間，作如下定義。

定理1ESS是一個局部范圍內(nèi)嚴格的納什均衡，是一個點收斂的概念，線性均衡策略Hi(i=1,2,…,12)均不是ESS。

證明(反證法) 假設(shè)線性策略組合是ESS，由于線ESS是由點ESS所構(gòu)成，所以線性策略組合上任一點必然也是ESS。不妨假設(shè)線性均衡策略集Φ?Ω(Ω是策略空間)是ESS，其中存在一個策略組合X={X1,X2,X3}∈Φ，于是可推出也是ESS。若突變策略組合Y∈Φ且Y≠X，此時總有一個群體u[X,(1-ε)X+εY]≡u[Y,(1-ε)X+εY]，與ESS的定義矛盾，因此X不是ESS。同理線性策略組合上的其他點也都不是ESS，說明線性均衡策略不是ESS，因此ESS是一個點收斂概念，證畢。

有趣的是，盡管線性均衡策略不是ESS，但這并不代表線性均衡策略上不存在一個局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡，只是不穩(wěn)定而已。由于線性均衡策略的雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均小于零，根據(jù)定理1的證明，假設(shè)策略組合γ={γ1,γ2,γ3}∈Φ且u[γ,(1-ε)γ+εY]=maxu[X,(1-ε)γ+εX]成立，γ即是這個局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡。但遺憾的是，決定系統(tǒng)效用選優(yōu)的關(guān)鍵并不在于負特征值群體，而在于零特征值群體的策略選擇。例如H1=(1,1,z)，有λ1,2<0，此時在其收斂域內(nèi)，群體A、B在H1上任意策略總是優(yōu)于其他策略，但系統(tǒng)效用選優(yōu)的關(guān)鍵卻在于群體C。對于群體C，有u[X,(1-ε)X+εY]≡u[Y,(1-ε)X+εY]，因此它沒有任何動力去選擇局勢γ，這時群體C被看成是一個“攪局者”，它的行動使得帕累托上策均衡γ變得不穩(wěn)定。

如果線性均衡策略的雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均小于零，盡管其不是一個ESS,但考慮到它在一定的侵入邊界內(nèi)依然具有局部收斂性，為了更全面的描述系統(tǒng)演化路徑，對線性策略收斂作如下定義。

定義線性策略收斂之后，由定理1可以得到推論1和推論2。

推論1如果線性策略組合Φ是一個線性策略收斂，那么必然存在一個策略組合γ∈Φ是局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡，但因不穩(wěn)定而不是ESS。

推論2如果線性策略組合Φ是一個線性策略收斂，那么?ρ={ρ1,ρ2,ρ3}∈Φ必然不是ESS。反之，如果一個策略組合γ={γ1,γ2,γ3}是ESS，那么γ1?Φ。

對比ESS和線性策略收斂的定義，可知ESS既不是線性策略收斂存在的充分條件，也不是其存在的必要條件，二者是完全不同的概念。與ESS相比，線性策略收斂有兩個不足。其一，線性均衡策略存在的條件比較特殊，如H1=(1,1,z)需要c1=c2成立，只需支付的一個極細微的變化就能使線性均衡策略被打破，更不用考慮線性策略收斂是否存在，而相對而言ESS對支付的靈敏度就不那么明顯。其二，與ESS的點收斂相比，線收斂比點收斂的穩(wěn)定性較弱，在描述、反映實際問題上稍顯不足，重要性相對弱于ESS。盡管線性策略收斂與ESS相比有不足之處，但也不可否認線性策略收斂與ESS一樣也能描述三維動力系統(tǒng)的演化路徑，尤其是當系統(tǒng)中不存在ESS時，線性策略收斂能夠發(fā)揮重要作用。

定理2(零特征值非ESS定理)三維動力系統(tǒng)中若純策略平衡點的雅可比矩陣存在零特征值，則可直接判定其一定不是ESS。

由定理2可以得到推論3和推論4。

推論3如果一個純策略平衡點的系統(tǒng)雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均為負值，那么必然存在一個包含該點的一端連續(xù)的線性策略收斂。

推論4如果一個純策略平衡點是ESS，那么在局勢立方體上與之相鄰的三條邊都不存在線性策略收斂。

定理3(ESS不共邊定理)三維動力系統(tǒng)中若存在任意一個純策略平衡點是ESS，則在局勢立方體上與之共邊的三個純策略平衡點一定不是ESS，反之則不成立。

由定理3可以得到推論5～7。

推論5三維動力系統(tǒng)中若在局勢立方體上互為體對角的兩個純策略平衡點都是ESS，則系統(tǒng)中有且僅有這兩個純策略平衡點是ESS，也必然存在混合策略點是系統(tǒng)鞍點，同時系統(tǒng)中也一定不存在線性策略收斂。

推論6三維動力系統(tǒng)中若在局勢立方體上與之相鄰的三個純策略平衡點都不是ESS，則其必然是源(發(fā)散點)或者匯(聚集點，ESS)其中之一。

推論7三維動力系統(tǒng)中至多只存在4個ESS。

再將ESS不共邊定理推廣到N維動力系統(tǒng)，得定理3#。

定理4在N維動力系統(tǒng)中，若任意一個純策略平衡點是ESS，則在N維超立方體上與之共邊的N個純策略平衡點一定都不是ESS，且N維系統(tǒng)中至多只有2N-1個純策略ESS。

定理5在三維動力系統(tǒng)中，“一純二混”均衡策略組合一定不是ESS。

定理6在三維動力系統(tǒng)中，三方混和策略納什均衡一定不是ESS。

以上定理(2,3,4,5,6)，局勢穩(wěn)定性分析輔助圖見圖2。

上述研究表明，嚴格純策略納什均衡是ESS，不嚴格純策略納什均衡是線性策略收斂，混合策略納什均衡作為劃分ESS吸引域的系統(tǒng)鞍點決定了ESS收斂域的大小，三者共同決定系統(tǒng)的演化路徑與演化穩(wěn)定策略。

4 算例分析及仿真

接下來，為了直觀驗證相關(guān)結(jié)論，本文設(shè)計了六組經(jīng)典算例，詳見表6。對于算例1，用劃線法不難得到4個純策略納什均衡，均衡的具體策略可對照表1，不再列出。用劃線法同樣不難得到算例2有3個純策略納什均衡，算例3和算例4都有兩個純策略納什均衡(策略一樣效用不同)，算例5和算例6都各有一個純策略納什均衡(策略一樣效用不同)。

表6 算例矩陣

根據(jù)前文對ESS的討論，不難得知算例1～5的純策略納什均衡都是ESS，而算例6的純策略納什均衡(A1，B1，C1)不是一個ESS，而是(1,1,z)線性策略收斂中的一點，其中0.5≤z≤1，驗證了弗里德曼關(guān)于“ESS一定是納什均衡，而納什均衡卻不一定是ESS”的結(jié)論。根據(jù)定理1，ESS是一個點，該點在所屬局部空間內(nèi)要絕對優(yōu)于其他任意點，是一個嚴格的納什均衡。但在算例6中c1=c2，說明(A1，B1，C1)并不是一個嚴格的納什均衡，所以它不是一個ESS。再根據(jù)定理2和推論3，不難知道必然存在一個包含該點的線性策略收斂(1,1,z)，其中0.5≤z≤1。

為了更直觀、清晰地描述三維動力系統(tǒng)的演化路徑，接下來將利用Matlab軟件對上述六種算例分別進行模擬仿真，結(jié)果如圖3所示。特別的，算例6沒有ESS，但有一個線性策略收斂(1,1,z)，z∈[0.5,1]，仿真結(jié)果與理論分析一致。

5 結(jié)束語

本文研究了2×2×2三方演化博弈的穩(wěn)定性問題，創(chuàng)新性地結(jié)合單群體策略演化趨勢對系統(tǒng)穩(wěn)定性作了深入研究，所做出的貢獻主要在于：

其一，提出了線性策略收斂的概念，這是對完整描述系統(tǒng)演化路徑的一個補充。接著分析了ESS與線性策略收斂的性質(zhì)，得到若干定理，并在相關(guān)定理的基礎(chǔ)上對二者的區(qū)別與聯(lián)系進行了詳細討論。

其二，首先證明了零特征值非ESS定理，說明只要純策略局勢的系統(tǒng)雅可比矩陣存在零特征值，就可直接判定其一定不是ESS。但若其余特征值均為負數(shù)，則可進一步判定系統(tǒng)中一定存在一個包含該點的線性策略收斂。然后證明了ESS不共邊定理，這是N群體雙策略演化博弈中最重要的一個性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上又證明了N維雙策略系統(tǒng)中至多只有2N-1個ESS。最后證明了所有類型的混合策略納什均衡都是系統(tǒng)鞍點，而非ESS。

其三，證明指出嚴格純策略納什均衡是ESS，不嚴格純策略納什均衡是線性策略收斂，即ESS+線性策略收斂=純策略納什均衡，所有類型的混合策略納什均衡均為鞍點，共同劃分了ESS的吸引域，指出可以通過改變混合策略納什均衡在局勢立方體的位置來擴大特定ESS的吸引域，調(diào)整參數(shù)放在實際問題中就是采取何種措施，以及實施這種措施的程度。

然而，需要說明的是本文關(guān)于演化博弈穩(wěn)定性的研究結(jié)論目前僅適用于博弈群體雙策略空間的情形，相關(guān)定理及推論對博弈群體多策略空間情形是否也成立仍有待進一步研究。但可喜的是，論文關(guān)于N群體雙策略非對稱演化博弈，尤其是對三群體2×2×2非對稱演化博弈的有關(guān)研究取得了一定的進展，這給三方非對稱演化博弈在經(jīng)濟與社會領(lǐng)域的實際應(yīng)用提供了指導與幫助，也給后續(xù)N群體多策略空間演化博弈的理論研究提供了借鑒與啟發(fā)。