厘清概念 關(guān)注結(jié)構(gòu) 重視應(yīng)用

楊春霞

“銳角三角函數(shù)”屬于“圖形與幾何”知識領(lǐng)域，是初中數(shù)學學習的重要內(nèi)容。很多地方在考查時不僅要求我們會利用相似的直角三角形，認識并探索銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，還要求能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。下面將結(jié)合2021年各地中考試題中的三角函數(shù)典型題進行分析，著力探尋試題特點，挖掘解題通法，并做分析解讀，希望能給大家一些學習啟示。

一、考查銳角三角函數(shù)的定義

例1 （2021·四川廣元）如圖1，在4×4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點A、B、C、D、O均在格點上，其中A、B、D又在⊙O上，點E是線段CD與⊙O的交點，則∠BAE的正切值為 。

【分析】本題以網(wǎng)格為背景，借助圓周角定理相關(guān)知識對銳角三角函數(shù)進行考查。由題意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可進行求解。

解：根據(jù)題意，得

BD=4，BC=2，∠DBC=90°。

∵∠BAE=∠BDC，

∴tan∠BAE=tan∠BDC=[BCBD]=[12]。

二、考查特殊角的銳角三角函數(shù)值

例2 （2021·內(nèi)蒙古通遼）計算：（[12]）-1+（π-3）0-2cos30°+[3-12]。

【分析】本題考查了實數(shù)的計算，包含負整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值，熟練掌握運算法則并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵。利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)，代入特殊角的三角函數(shù)值分別化簡計算即可得出答案。

解：（[12]）-1+（π-3）0-2cos30°+[3-12]

=2+1-2×[32]+[23]-3=[3]。

三、考查銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

例3 （2021·廣東清遠）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE=AB。

（1）若AE=1，求△ABD的周長;

（2）若AD=[13]BD，求tan∠ABC的值。

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理等知識，掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解決本題的關(guān)鍵。第（1）問，作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長;第（2）問，可以設(shè)AD=x，則BD=3x，進而得到AC=AD+CD=4x，再由勾股定理表示AB=[22]x，由此即可求出tan∠ABC的值。

解：（1）如圖3，連接BD，設(shè)BC垂直平分線交BC于點F。

∵DF為BC垂直平分線，

∴BD=CD。

C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC。

∵AB=CE，

∴C△ABD=AE=1。

（2）設(shè)AD=x，則BD=3x，

∴AC=AD+CD=4x。

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，

得AB=[22]x，

∴tan∠ABC=[ACAB]=[4x22x]=[2]。

例4 （2021·新疆）如圖4，已知正方形ABCD邊長為1，E為AB邊上一點，以點D為中心，將△DAE按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得△DCF，連接EF，分別交BD、CD于點M、N。若[AEDN]=[25]，則sin∠EDM= 。

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、方程思想等知識點，熟知各類圖形的性質(zhì)與判定是解題的基礎(chǔ)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。因此，本題可以過點E作EP⊥BD于點P，將∠EDM構(gòu)造在直角三角形DEP中，設(shè)法求出EP和DE的長，然后用銳角三角函數(shù)的定義即可解決。

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∠A=∠BCD=∠ADC=90°，

AB=BC=CD=DA=1，

∴BD=[2]。

∵△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DCF，

∴CF=AE，DF=DE，

∠CDF=∠ADE。

∴∠EDF=∠ADC=90°。

設(shè)AE=CF=2x，則DN=5x，

得BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x。

∵AB∥DC，

∴△FNC∽△FEB。

∴[NCEB]=[FCFB]，

即[1-5x1-2x]=[2x1+2x]，

整理，得6x2+5x-1=0，

解得x1=[16]，x2=-1（不合題意，舍去），

∴AE=[13]，EB=[23]。

根據(jù)勾股定理，得DE=[103]。

過點E作EP⊥BD于點P，如圖5所示。

在Rt△BPE中，

∠EBP=45°，BE=[23]，

則EP=[23]，

∴在Rt△DEP中，

sin∠EDP =[EPED]=[55]，

即sin∠EDM=[55]。

結(jié)合中考評價，我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)注銳角三角函數(shù)定義是基礎(chǔ)，是打通三角形內(nèi)部角和邊元素的橋梁。因此，涉及求三角形邊、角的問題，我們要能夠借助構(gòu)圖轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題;利用銳角三角函數(shù)解決實際問題的關(guān)鍵是抽象建立幾何模型，探尋和構(gòu)造直角三角形模型是解決銳角三角函數(shù)問題的常規(guī)方法。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）