立足教材，反思與提升

戴成成

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有人會(huì)遇到“刷題千百遍，成績(jī)不動(dòng)如山”的現(xiàn)象，究其原因，主要還是沒(méi)有用心去研究典型問(wèn)題，做完練習(xí)后也沒(méi)有進(jìn)行反思。其實(shí)，我們遇到的很多問(wèn)題都可以在教材中找到原型。如何跳出題海，立足教材，勤于反思？本文示例如下。

（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第115頁(yè)問(wèn)題3）如圖1，為了測(cè)量停留在空中的氣球高度，小明在某處利用測(cè)角儀測(cè)得氣球的仰角（從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角）為 27°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了 50m，再次測(cè)得氣球的仰角為 40°。如果測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，那么氣球的高度是多少？（精確到0.1m）

教材是利用方程思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題的。方法1：假設(shè)氣球的高度為xm，利用等量關(guān)系A(chǔ)D-BD=50，列出方程[xtan27°][-xtan40°]=50，進(jìn)而求解。

思考1：本題有沒(méi)有其他解法？既然是方程思想，不妨聯(lián)想到七年級(jí)的一元一次方程和二元一次方程組，列方程的關(guān)鍵是要找到等量關(guān)系。本題等量關(guān)系有兩個(gè)：一是Rt△ACD中的CD等于Rt△BCD中的CD，二是AD-BD=50。方法2：設(shè)BD長(zhǎng)度為xm，方程為x·tan40°=（x+50）·tan27°，解出x的值，再通過(guò)Rt△BCD求出CD。方法3：設(shè)AD為xm，CD為ym，則方程組為[y=x·tan27°，y=（x-50）·tan40°，]解出x、y的值即可。

思考2：引入字母，可否將問(wèn)題及結(jié)論一般化？若本題中27°、40°分別為α、β，50m為am，如圖2，那么本題結(jié)論為CD=[a·tanα·tanβtanβ-tanα]，這樣就得到一般化的結(jié)論。從特殊到一般，能提升我們的解題能力，培養(yǎng)我們的探究精神。

思考3：本題的解題思路是什么？又滲透了什么數(shù)學(xué)思想？先在斜三角形中構(gòu)造直角三角形，再尋求CD與已知量的關(guān)系式，最后利用銳角三角函數(shù)計(jì)算得出CD的長(zhǎng)度。所用的數(shù)學(xué)思想就是轉(zhuǎn)化思想，具體說(shuō)就是“化斜為直”，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，進(jìn)而尋求基本圖形，確定思考方向。我們?cè)谧鲱}時(shí)不能憑感覺(jué)，要學(xué)會(huì)必要的聯(lián)想，要看著目標(biāo)，從條件聯(lián)想，建立模型，解決問(wèn)題。

思考4：本題有沒(méi)有“基本圖形”？如圖2，將本題結(jié)論一般化后，出現(xiàn)了兩個(gè)“共直角邊”的直角三角形，此圖可以作為“基本圖形”，有同學(xué)將此稱為“共邊差”基本圖形，將圖3稱為“共邊和”基本圖形。積累基本圖形，會(huì)提供思考方向。

由感悟形成經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)回顧反思，升華成新經(jīng)驗(yàn)，久而久之，數(shù)學(xué)素養(yǎng)隨之提高。銳角三角函數(shù)的兩個(gè)“基本圖形”本質(zhì)上是兩個(gè)等量關(guān)系，運(yùn)用方程思想便可輕松解決。但有些銳角三角函數(shù)問(wèn)題并沒(méi)有出現(xiàn)“共邊”，而是滿足其他“某種關(guān)系”，不過(guò)做法類(lèi)似，這就需要我們通過(guò)反思來(lái)提升，進(jìn)而形成新的經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：江蘇省南京市宏運(yùn)學(xué)校）