找準模型，輕松解決銳角三角函數(shù)問題

周艷

面對較為復(fù)雜的銳角三角函數(shù)問題，同學們是不是覺得千頭萬緒，不知從何下手呢？解決銳角三角函數(shù)問題的關(guān)鍵是在問題情境中抽象出直角三角形，通過解直角三角形來解決問題。因此，如果我們能找準模型，就能很快理清解題思路，解決問題。

模型一：具有一條公共直角邊，且兩個直角三角形在公共邊的兩側(cè)

模型特征：如圖1，在△ABC內(nèi)部作高，將普通三角形分成兩個具有公共邊的直角三角形，結(jié)合圖形可得與邊相關(guān)的數(shù)量關(guān)系：①BC=BC（公共邊），②AC+CD=AD。

【教材鏈接】（蘇科版數(shù)學教材九年級下冊第110頁例3）如圖2，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB。

【解析】為了保留完整的30°和45°，可以過哪一個頂點作高，以便得到具有公共邊的兩個直角三角形，你想到了嗎？輔助線添加方法如圖3，在Rt△ACD中已知“一邊”和“一角”，利用三角函數(shù)，易得CD=AC·sin30°=4，AD=AC·cos30°=[43]，BD=[CDtan45°]=4，AB=AD+BD=[43]+4。

模型二：具有一條公共直角邊，且兩個直角三角形在公共邊的同側(cè)

模型特征：如圖4，在△ABC外部作高，通過高將原三角形轉(zhuǎn)化為兩個具有公共邊的直角三角形，同樣，結(jié)合圖形可得與邊相關(guān)的兩個數(shù)量關(guān)系：①AD=AD（公共邊），②BD-CD=BC。

這一模型也可以看成由“模型一”經(jīng)過翻折得來，如圖5經(jīng)過翻折得到圖6。

【教材鏈接】（蘇科版數(shù)學教材九年級下冊第115頁問題3）小明在某處利用測角儀觀測氣球的仰角為27°，然后他沿正對氣球方向前進了50m，此時觀測氣球的仰角為40°。如果測角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少（精確到0.1m）？

【解析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)圖形如圖7所示（其中點A、B、C分別表示小明兩次觀測點及氣球的位置）。由“模型二”，得到①CD=CD，②AD-BD=50。結(jié)合已知27°、40°和CD（公共邊），在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)，分別用含有CD的代數(shù)式表示出AD=[CDtan27°]，BD=[CDtan40°]，將它們代入②中，建立關(guān)于CD的一元一次方程，解出CD，最后求出CD+1即可。

【中考鏈接】（2020·江蘇南京）如圖8，在港口A處的正東方向有兩個相距6km的觀測點B、C。一艘輪船從A處出發(fā)，沿北偏東26°方向航行至D處，在B、C處分別測得∠ABD=45°、∠C=37°。求輪船航行的距離AD。（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75。）

【解析】為了保證45°和37°角的完整性，可過點D作DH⊥AC于點H，如圖9所示。不難看出此題是“模型一”與“模型二”的結(jié)合。由線段DH右邊的“模型二”可得①DH=DH，②CH-BH=6，沿用上題思路，求出DH，最后在Rt△ADH中，利用26°角的三角函數(shù)值求出AD。

我們只有善用模型、用準模型，才能在解決與銳角三角函數(shù)相關(guān)的問題時達到事半功倍的效果。

（作者單位：江蘇省南京市齊武路初級中學）