如何理解銳角三角函數(shù)應(yīng)有的函數(shù)之義

黃秀旺

“銳角三角函數(shù)”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)第七章的內(nèi)容。在此之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，但很多同學(xué)感到銳角三角函數(shù)與以上函數(shù)不同，或者說(shuō)并沒(méi)有體會(huì)到銳角三角函數(shù)應(yīng)有的函數(shù)之義，而是把銳角的正弦、余弦、正切當(dāng)成數(shù)學(xué)公式了。接下來(lái)，我們將再次認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)。

一、函數(shù)與銳角三角函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教材中的設(shè)置

函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律用不同的函數(shù)來(lái)刻畫(huà)?！昂瘮?shù)”是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，具體包含一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)。初中階段的函數(shù)定義為：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。三類常見(jiàn)函數(shù)的不同之處在于函數(shù)的表達(dá)式不同，它們的一般式分別為y=kx+b（k≠0）、y=[kx]（k≠0）、y=ax2+bx+c（a≠0），但研究它們時(shí)卻表現(xiàn)出相同的路徑，即感受實(shí)例中的變量關(guān)系→形成概念及其表達(dá)形式（表格、圖像、表達(dá)式）→研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)→運(yùn)用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

而“銳角三角函數(shù)”是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容。其實(shí)，“銳角三角函數(shù)”屬于三角學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)分成兩部分：第一部分安排在初中階段，研究銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形;第二部分安排在高中階段，主要研究任意角的三角函數(shù)、解斜三角形等。

二、對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解

三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要作用。銳角三角函數(shù)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它將函數(shù)與三角形的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，也是解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法。

教材中通過(guò)問(wèn)題探究，發(fā)現(xiàn)：任意大小的直角三角形，只要其中一個(gè)銳角確定，那么這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值就是一個(gè)固定值，可以用相似三角形的知識(shí)證明這個(gè)結(jié)論，并把這個(gè)固定值確定為這個(gè)銳角的正弦。類比正弦，給出銳角的余弦、正切的概念。在此基礎(chǔ)上，定義：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)。教材中特意說(shuō)明：“對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。同樣地，cosA、tanA也是A的函數(shù)。”顯然，銳角三角函數(shù)符合初中階段的函數(shù)定義，自變量是銳角，函數(shù)是（直角三角形中某兩邊的）比值。

我們不妨以銳角A的正弦為例，sinA是A的函數(shù)，它建立了銳角與它的對(duì)邊與斜邊的比之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一方面，銳角A取不同的特殊銳角，對(duì)應(yīng)不同的sinA（比值）;另一方面，對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。其實(shí)，為了區(qū)別函數(shù)與算式，我們也可以將函數(shù)寫(xiě)成y=sinA（A為銳角）。

三、銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)的比較

一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)是在學(xué)習(xí)字母表示數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，都屬于“數(shù)與代數(shù)”部分，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，知識(shí)之間的聯(lián)系比較緊密。而銳角三角函數(shù)是在學(xué)習(xí)直角三角形的邊、角以及相似三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直角三角形邊、角之間的關(guān)系的內(nèi)容，因此，它屬于“圖形與幾何”部分。

在一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，函數(shù)值是借助函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)對(duì)自變量的代數(shù)運(yùn)算得到的。銳角三角函數(shù)的函數(shù)值不是通過(guò)對(duì)自變量（角度）的代數(shù)運(yùn)算得到的，而是依托直角三角形，通過(guò)確定與該角具有某種位置關(guān)系的某兩邊的比值得到的，并且使用比較抽象的符號(hào)表示某兩邊的比值，且不同兩邊比值采用不同符號(hào)。

一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)都有研究概念、圖像與性質(zhì)及應(yīng)用，而銳角三角函數(shù)沒(méi)有進(jìn)一步去研究圖像與性質(zhì)（此內(nèi)容將在高中階段研究）。

總之，有的同學(xué)不理解銳角三角函數(shù)，感覺(jué)銳角三角函數(shù)的表達(dá)式不像之前學(xué)過(guò)的函數(shù)表達(dá)式（含加減乘除運(yùn)算符號(hào)的式子），它所賦予的特定符號(hào)（sin、cos、tan）在一定程度上隱去了函數(shù)與自變量之間的關(guān)系。同時(shí)，我們沒(méi)有從函數(shù)概念的角度理解銳角三角函數(shù)，沒(méi)有說(shuō)明銳角三角函數(shù)也是存在“對(duì)應(yīng)”關(guān)系的函數(shù)，更多的是關(guān)注特殊角度所對(duì)應(yīng)的兩邊比值及其計(jì)算。但是，隨著學(xué)習(xí)的深入，我們一定會(huì)理解銳角三角函數(shù)應(yīng)有的函數(shù)意義。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）