趙宏敏
圖形相似是初中數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容,特別是相似三角形具有很多重要性質(zhì),如:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高線、周長之比都等于相似比,面積之比等于相似比的平方。利用相似三角形的性質(zhì)可以解決很多問題,下面舉例說明。
一、利用相似三角形求線段長
例1 如圖1,在△ABC中,BC的垂直平分線MN交AB于點D,CD平分∠ACB。若AD=2,BD=3,則AC的長為 。
【分析】解答這道題時,很多同學(xué)會想到作AE⊥BC于點E,如圖2,由角平分線的性質(zhì)得出[ACBC]=[ADBD]=[23],設(shè)AC=2x,則BC=3x,由線段垂直平分線得出MN⊥BC,BN=CN=[32]x,又MN∥AE,得出[ENBN]=[ADBD]=[23],NE=x,BE=BN+EN=[52]x,CE=CN-EN=[12]x,再由勾股定理得出方程,解方程即可得出結(jié)果,同學(xué)們可以試著去寫一下。但是這種解法既要添輔助線,計算量也大。我們不妨從角的角度出發(fā),證出∠ACD=∠DCB=∠B,證明△ACD∽△ABC,得出[ACAB]=[ADAC],即可求出AC的長。
解:∵BC的垂直平分線MN交AB于點D,∴CD=BD=3,
∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5。
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=∠B。
∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,
∴[ACAB]=[ADAC],
∴AC2=AD×AB=2×5=10,∴AC=[10]。
【感悟】利用相似三角形的性質(zhì)求線段長,主要是通過證明兩個三角形相似,得出對應(yīng)邊的比例關(guān)系式,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比值相等和已知條件求出線段的長。解答本題時要充分利用線段的垂直平分線性質(zhì),把邊的條件轉(zhuǎn)化成角的條件,從而在判定相似后,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),求出線段的長。
二、利用相似三角形求面積比
例2 如圖3,點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上,△ADE∽△ABC,M、N分別是DE、BC的中點,若[AMAN]=[12],則[S△ADES△ABC]= 。
【分析】掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵。根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比,求出[DEBC],再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解答。
解:∵M(jìn)、N分別是DE、BC的中點,
∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線。
∵△ADE∽△ABC,∴[DEBC]=[AMAN]=[12],
∴[S△ADES△ABC]=([DEBC])2=[14]。
【感悟】利用相似三角形解答與面積相關(guān)的問題,常用到如下性質(zhì):1.等高的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)底的比,等底的兩個三角形面積的比等于對應(yīng)高的比;2.相似三角形面積的比等于相似比的平方。靈活運(yùn)用上述性質(zhì)可以快速解答面積問題。
三、利用相似三角形證明比例線段
例3 如圖4,點A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD與BE、AE分別交于點P、M。求證:MP·MD=MA·ME。
【分析】要想證明乘積相等,可先轉(zhuǎn)化為比例式,觀察這四條線段是否分布在兩個三角形中。由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊關(guān)系可證△BAE∽△CAD,通過等積式倒推可知,證明△PME∽△AMD即可。
證明:∵AC=[2]AB,AD=[2]AE,
∴[ACAB]=[ADAE]。
∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD,
∴△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA。
∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD,
∴[MPMA]=[MEMD],∴MP·MD=MA·ME。
【感悟】靈活運(yùn)用相似三角形的相似比是證明線段成比例的常用方法。一般地,當(dāng)所證線段成比例式時,或等積式中的四條線段都在同一條直線上時,或所證比例式中的四條線段分別是兩個三角形的兩邊時,均可以借助等量代換和相似三角形,得到比例式或等積式,進(jìn)而使所求證結(jié)論成立。
相似三角形在解題中的應(yīng)用十分廣泛,是破解求線段長,證明角相等、線段相等、線段成比例式或等積式問題的重要利器。 同學(xué)們要牢固掌握相似三角形知識,做到準(zhǔn)確遷移和靈活運(yùn)用,從而提高解題的能力。
(作者單位:蘇州工業(yè)園區(qū)星澄學(xué)校)