巧“數(shù)”“形”切入，妙變式拓展
——一道不等式恒成立問題的探究

?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 林利芹

含參不等式恒成立問題是一類極具綜合性與創(chuàng)新性的復(fù)雜應(yīng)用問題，是歷年高考數(shù)學(xué)試題中常見的一類難題，有時(shí)以小題形式出現(xiàn)，有時(shí)也以解答題形式出現(xiàn).此類問題合理溝通函數(shù)與不等式等相關(guān)知識(shí)，知識(shí)融合性強(qiáng)，背景變化多端，問題創(chuàng)新性強(qiáng)，切入思維多樣，能有效考查學(xué)生各方面的知識(shí)、思想方法與能力，具有較好的選拔性與區(qū)分度，倍受命題者青睞.

1 問題呈現(xiàn)

問題[2021屆江蘇省G4(蘇州中學(xué)、常州中學(xué)、鹽城中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué))高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷·8]若ex-a≥lnx+a對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

C.(-∞，2] D.(-∞，e]

此題以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為問題背景，探究含參不等式恒成立時(shí)相關(guān)參數(shù)的取值范圍問題.破解此類問題的常見思維視角是從不等式或函數(shù)這一“數(shù)”的視角切入，或從函數(shù)圖象這一“形”的視角切入，都能達(dá)到切入與轉(zhuǎn)化的目的，關(guān)鍵是合理參變分離，巧妙化歸與轉(zhuǎn)化，借助不同的方法進(jìn)行分析與處理.

2 問題破解

方法1：隱零點(diǎn)法.

解析：設(shè)函數(shù)f(x)=ex-a-lnx-a(x>0)，則f(x)≥0對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，即f(x)min≥0.

故函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，從而f(x)min=f(x0)=ex0-a-lnx0-a≥0恒成立.

所以2a≤2，解得a≤1.故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件中的不等式，作差構(gòu)造函數(shù)f(x)，從而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(x)的最小值.結(jié)合求導(dǎo)，以及導(dǎo)函數(shù)的設(shè)置與求解，確定隱零點(diǎn).借助關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，利用基本不等式確定含零點(diǎn)關(guān)系式的最值，進(jìn)而結(jié)合不等式恒成立的條件來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.隱零點(diǎn)法破解問題的關(guān)鍵是兩次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點(diǎn)的設(shè)置，借助零點(diǎn)參數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化以及基本不等式的應(yīng)用來(lái)確定最值，思維自然，但過程繁瑣.

方法2：同構(gòu)法.

解析：由ex-a≥lnx+a，配湊可得

ex-a+x-a≥x+lnx=elnx+lnx.

①

同構(gòu)函數(shù)f(x)=ex+x，易知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).

由不等式①，可知f(x-a)≥f(lnx)，則有x-a≥lnx，即a≤x-lnx.

于是函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則有g(shù)(x)min=g(1)=1.

所以a≤g(x)min=1.故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件中的不等式加以合理配湊，同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù).結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而分離參數(shù).結(jié)合函數(shù)的設(shè)置，通過求導(dǎo)，利用單調(diào)性求解函數(shù)的最小值.最后結(jié)合不等式恒等式的條件來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.同構(gòu)法破解問題的關(guān)鍵就是合理“察顏觀色”，巧妙配湊函數(shù).

方法3：反函數(shù)法.

解析：將不等式ex-a≥lnx+a的左、右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)y=ex-a和y=lnx+a，這兩個(gè)函數(shù)剛好互為反函數(shù)，對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

函數(shù)y=ex-a的圖象是由函數(shù)y=ex的圖象向右平移a個(gè)單位得到的，函數(shù)y=lnx+a的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向上平移a個(gè)單位得到的.

而函數(shù)y=ex在x=0處的切線方程為y=x+1，y=lnx在x=1處的切是方程為y=x-1.

結(jié)合不等式ex-a≥lnx+a恒成立，則x-a+1≥x-1+a恒成立.即2a≤2，解得a≤1.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：將題目條件中不等式左右兩邊的代數(shù)式看作兩個(gè)函數(shù)，利用反函數(shù)的概念與性質(zhì)，通過函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合簡(jiǎn)單函數(shù)的切線方程的求解，借助數(shù)形結(jié)合的直觀想象以及不等式恒成立的條件建立對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.反函數(shù)法破解問題的關(guān)鍵是合理抽象，巧妙轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，代數(shù)運(yùn)算.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用也為問題的變式拓展提供了條件.

3 變式拓展

探究1：通過以上問題反函數(shù)法中的數(shù)形結(jié)合思想，可以把不等式問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程問題，利用方程的解的不同情況來(lái)確定參數(shù)的不同取值情況，得到以下對(duì)應(yīng)的系列變式題.

變式1若方程ex-a=lnx+a無(wú)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

變式2若方程ex-a=lnx+a有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的值為.

變式3若方程ex-a=lnx+a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：參考以上問題的反函數(shù)法解答問題.

(1)若方程ex-a=lnx+a無(wú)實(shí)數(shù)解，則有x-a+1>x-1+a成立.即2a<2，解得a<1.

故填答案：(-∞，1).

(2)若方程ex-a=lnx+a有唯一實(shí)數(shù)解，則有x-a+1=x-1+a成立.即2a=2，解得a=1.

故填答案：1.

(3)若方程ex-a=lnx+a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則有x-a+11.

故填答案：(1，+∞).

探究2：改變問題中對(duì)應(yīng)不等式恒成立的給出方式，以另一個(gè)函數(shù)形式來(lái)出現(xiàn)，破解思維方式與以上問題類似，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題.

將2x替換成x，則不等式aeax≥lnx對(duì)x>0恒成立，亦即不等式axeax≥xlnx對(duì)x>0恒成立.

同構(gòu)變形，可得不等式axeax≥lnx·elnx對(duì)x>0恒成立.

設(shè)函數(shù)f(x)=xex，則不等式f(ax)≥f(lnx)對(duì)x>0恒成立.

于是當(dāng)00，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

故選擇答案：B.

4 解后反思

涉及含參不等式恒成立問題，破解的關(guān)鍵是進(jìn)行合理化歸與轉(zhuǎn)化.實(shí)現(xiàn)“含參”朝著“分參”的方向轉(zhuǎn)化，可以抓住本身不等式或函數(shù)的原型，從“數(shù)”的視角切入，或?qū)?shù)法，或同構(gòu)法等；也可以抽象不等式或函數(shù)的幾何意義，從“形”的視角切入，或?qū)?shù)的幾何意義法，或函數(shù)圖象法等；有時(shí)數(shù)形結(jié)合，合理利用“數(shù)”與“形”有效結(jié)合的思想方法來(lái)解決.