脈沖型地震作用下自由搖擺墩的反應(yīng)特性研究

李 寧，王志強(qiáng)，李忠獻(xiàn)

（1.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室（天津大學(xué)），天津 300350；3.中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室（天津大學(xué)），天津 300350）

引 言

自20世紀(jì)60年代Housner 首次提出“搖擺結(jié)構(gòu)”以來［1］，搖擺響應(yīng)便開始在抗震研究中廣受關(guān)注。目前，對于搖擺響應(yīng)的研究點在于它能夠描述傳統(tǒng)彈性搖擺體無法充分描述的系統(tǒng)［2］。一些搖擺結(jié)構(gòu)響應(yīng)的研究表明，搖擺可以用來解釋砌體結(jié)構(gòu)的運(yùn)動［3-4］、說明無錨設(shè)備的地震特征［5-7］、解釋地震易發(fā)區(qū)已屹立2500 多年的古希臘羅馬神廟和中國廟宇的穩(wěn)定性［8-11］。搖擺響應(yīng)也為結(jié)構(gòu)抗震減災(zāi)研究提供了思路。利用搖擺響應(yīng)建成的建筑也數(shù)不勝數(shù)，如改造完成的Christchurch 機(jī)場一座33 m 高的煙囪［12］、改造完成的希臘Piraeus 三座30～38 m 高的煙囪以及最近建成的Wigram-Magdala 約束搖擺橋［13］等。

近年來對于墩的研究中，一些學(xué)者也將搖擺理論應(yīng)用其中，搖擺隔震理論也得到了進(jìn)一步探究。郭展等［14］提出一種基底搖擺隔震橋墩，通過設(shè)置底部加臺以及高阻尼橡膠墊塊實現(xiàn)搖擺隔震，發(fā)現(xiàn)其對于降低墩頂加速度和墩底剪力有顯著作用。Cheng［15］試驗研究了14 個含有預(yù)應(yīng)力筋的鋼筋混凝土塊的自由搖擺情況，最終發(fā)現(xiàn)試件的振動頻率和阻尼比均受到預(yù)應(yīng)力筋直徑的影響。何銘華等、郭佳等［16-18］基于性能的設(shè)計角度，對自復(fù)位單墩、雙墩以及內(nèi)置耗能鋼筋和外置阻尼裝置等橋墩形式均進(jìn)行了搖擺墩抗震性能研究。

目前，對搖擺墩響應(yīng)的研究仍缺乏振動臺動力試驗驗證。另外，對于搖擺響應(yīng)而言，一方面仍需要建立合理的搖擺理論模型［19］；另一方面需要通過某種方式來簡化細(xì)長結(jié)構(gòu)在地震激勵下的設(shè)計過程，此時設(shè)計更關(guān)注墩頂搖擺最大反應(yīng)。本文對自由搖擺墩運(yùn)動方程進(jìn)行分析，根據(jù)地震激勵下自由搖擺墩頂部位移分析結(jié)果，提出基于“等側(cè)移”原理的搖擺結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，為墩的設(shè)計提供參考。

1 自由搖擺墩經(jīng)典搖擺方程推導(dǎo)

Housner［1］對細(xì)長剛體的研究指出，固定寬高比tanα、半對角線長度R和頻率參數(shù)p的剛體，受到激勵作用在剛性地基上繞O和O′點發(fā)生搖擺。研究中可近似假定自由搖擺墩為剛體，只考慮因碰撞而發(fā)生的能量損耗，不考慮結(jié)構(gòu)本身的變形。

對于自由搖擺墩，其在搖擺過程中發(fā)生搖擺所需要滿足的條件是>g·tanα，如圖1所示。對墩的旋轉(zhuǎn)點O和O′利用角動量守恒定理，有下式：

圖1 自由搖擺墩柱的搖擺參數(shù)Fig.1 The rocking parameters of free rocking pier

進(jìn)而得到墩搖擺的經(jīng)典控制方程：

式中 頻率參數(shù)p=幾何量見圖1所示，mc為墩質(zhì)量，JO為繞O點轉(zhuǎn)動慣量。在每次墩與地面碰撞過程中，碰撞前后角動量守恒，設(shè)碰撞前的搖擺角為θ1，碰撞后的搖擺角為θ2，則有：

定義碰撞后的角速度與碰撞前的角速度比值的二次方為耗能系數(shù)cr，即：

式（3）即為寬高比為tanα的墩在耗能系數(shù)為cr情況下的搖擺運(yùn)動方程。搖擺運(yùn)動過程中，沖擊作用是非彈性的、耗能的。在墩搖擺的過程中，若搖擺界面相互作用損失了額外的部分能量，實際的耗能系數(shù)cr將小于由式（5）計算所得。接下來利用MATLAB［20］對式（3）進(jìn)行分析。

2 基于不同激勵作用的搖擺響應(yīng)分析

基于式（3），考慮耗能系數(shù)式（5），有必要在研究地震激勵作用前進(jìn)行簡單激勵的分析，進(jìn)而得到其對各個搖擺參數(shù)的響應(yīng)情況。本節(jié)對不同激勵作用進(jìn)行了仿真分析。

2.1 單正弦激勵

因單正弦激勵與脈沖型地震動形式相近，地震反應(yīng)研究也更關(guān)注該形式激勵，故主要考慮墩在單正弦［21］激勵下的響應(yīng)情況。單正弦激勵的脈沖段為：

式中ψ=arcsin（αg/ap）為搖擺初始時刻相位角。

圖2所示即在特定參數(shù)（p=2.14 rad/s，H=1.56 m，α=0.25 rad，ωp/p=5，cr=0.81）的單正弦激勵下，不同脈沖幅值ap對應(yīng)的墩的運(yùn)動響應(yīng)。

由圖2可得，對于特定的單正弦激勵作用。當(dāng)ap=2.93αg時，墩經(jīng)歷了三次與地面的碰撞，但并未發(fā)生傾覆，此時因搖擺產(chǎn)生的墩頂部最大位移為0.731 m；當(dāng)ap=2.94αg時，墩發(fā)生傾覆（θ>α），在這種情況下，墩與地面的碰撞發(fā)生于脈沖激勵作用之后；當(dāng)ap=6.77αg時，與前兩種情況所不同的是，雖然墩搖擺角θ/α>1，但因慣性會使其重新實現(xiàn)復(fù)位，此處為了簡化研究，后續(xù)研究中均假設(shè)當(dāng)θ/α>1 時會發(fā)生傾覆。

圖2 不同幅值的單正弦激勵作用下墩的搖擺響應(yīng)Fig.2 The single sinusoid excites the rocking response of the pier under different amplitudes action

單正弦激勵作用下，搖擺響應(yīng)結(jié)果反映出墩的運(yùn)動狀態(tài)受到激勵幅值和周期、寬高比等因素的影響。

2.2 正反Ricker 激勵

Ricker 小波激勵通常被用于脈沖地震激勵模擬，包括正對稱和反對稱兩種，分別被定義為高斯函數(shù)的二階和三階導(dǎo)數(shù)，其脈沖段表達(dá)式為：

為保證峰值激勵相等，取βr=1.3801。

2.2.1 特定參數(shù)Ricker 激勵

圖3所示即為施加特定參數(shù)（p=2.214 rad/s，α=0.1 rad，ωp=6.614 s?1，cr=0.9604）的正對稱Ricker 激勵，墩搖擺運(yùn)動的情況。

由圖3可得，當(dāng)ap=0.311g時，墩在正對稱Ricker 激勵下的5 s 時間內(nèi)與地面發(fā)生4 次碰撞，但并未發(fā)生傾覆，在搖擺過程中墩頂部位移達(dá)到了0.231 m；當(dāng)ap=0.312g時，發(fā)生傾覆。

圖3 正對稱Ricker 激勵下墩的搖擺響應(yīng)Fig.3 Symmetric Ricker excites the rocking response of the pier

圖4為同一墩施加特定幅值反對稱Ricker 激勵下的搖擺響應(yīng)。當(dāng)ap=0.35g時，墩在5 s 內(nèi)受到了3次地面沖擊，并且在碰撞過程中處于傾覆的邊界（|θmax|=0.98α），在搖擺過程中墩頂部的最大位移達(dá)到了0.294 m；當(dāng)ap=0.351g時，墩傾覆。

圖4 反對稱Ricker 激勵下墩的搖擺響應(yīng)Fig.4 Anti-symmetric Ricker excites the rocking response of the pier

對固定Ricker 激勵作用，墩表現(xiàn)出傾覆狀態(tài)，整體搖擺周期均較長。其傾覆狀態(tài)與激勵幅值ap對激勵頻率ωp均有較強(qiáng)的依賴性。

2.2.2 非特定Ricker 激勵

上述分析不便于開展參數(shù)化研究，根據(jù)Π 定理［22］，Zhang 等［21］建議采用下式來簡化式（3）：

式中ωp/p通常稱為尺寸-頻率參數(shù)，它取決于激勵的頻率和墩的尺寸；ap/（g·tanα）常稱為無量綱加速度。此時，取α為定值（α=0.1 rad）可繪出正反Ricker 激勵下最大反應(yīng)θ關(guān)于參數(shù)ap/（g·tanα）和ωp/p的聯(lián)合圖譜，也稱作搖擺譜，如圖5所示。其中ap/（g·tanα）=［0～14］與ωp/p=［0～20］均為范圍取值。在圖5中，為簡化考慮，假設(shè)當(dāng)搖擺角最大值θmax>α=0.1 rad 時，墩傾覆。由圖可得，ap/（g·tanα）和ωp/p對響應(yīng)均有較大的影響。

圖5 基于非特定幅值的無量綱搖擺譜Fig.5 Dimensionless rocking spectrum based on unspecified amplitude

隨著ωp/p的逐漸增大，ap/（g·tanα）整體也呈現(xiàn)逐漸增加趨勢，但當(dāng)ωp/p處于5 左右時，在正對稱Ricker 激勵作用下，搖擺譜有一個微小的突增；反對稱Ricker 激勵作用下，搖擺譜則有一個較大的翻轉(zhuǎn)，這表明在搖擺初期，幅值ap增大時，可能會存在激勵頻率ωp較小的情況。總體而言，對于特定的ap/（g·tanα），ωp/p越大則搖擺角最大值θmax將越趨于減小。

對于正反非特定幅值Ricker 激勵作用，自由搖擺墩表現(xiàn)出較強(qiáng)的傾覆狀態(tài)，其傾覆狀態(tài)與激勵幅值ap、激勵頻率ωp和寬高比tanα均有較大聯(lián)系。

3 自由搖擺墩的地震響應(yīng)分析

地震激勵下的搖擺響應(yīng)分析對可采用搖擺功能設(shè)計的工程結(jié)構(gòu)顯得尤為重要。地震激勵對自由搖擺墩的影響，應(yīng)考慮不同類型地震動特性。本文分別考慮了近場脈沖型、近場無脈沖型和遠(yuǎn)場型三類地震動，并基于時程反應(yīng)分析，對自由搖擺墩的反應(yīng)規(guī)律進(jìn)行探索。

3.1 某墩的搖擺響應(yīng)分析

要保證墩在地震激勵下可以發(fā)生搖擺，需滿足PGA>g·tanα。對于一般的墩，α取為0.1～0.3 rad之間。

為研究地震激勵下墩柱的搖擺情況，取某一實際自由搖擺墩，參數(shù)為α=0.214 rad 和R=3.58 m。根據(jù)周雨龍等［23］的研究，在選取地震動時，考慮到豎向地震激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅度很小，此處只考慮水平向地震作用。

式（3）顯然受地震動PGA影響，在研究地震激勵時，進(jìn)行了PGA歸準(zhǔn)調(diào)幅。根據(jù)公路橋梁抗震設(shè)計細(xì)則［24］，此處水平向地震動PGA調(diào)整為0.408g（設(shè)防地震安全性評價結(jié)果取值）［23］，選取地震動記錄如表1所示。

表1 不同類型地震動的選取Tab.1 Selection of different ground motion types

針對表1的地震記錄，對其響應(yīng)進(jìn)行分析。

圖6（a）為在遠(yuǎn)場型地震動作用下墩的搖擺響應(yīng)，可知墩發(fā)生了較為劇烈的搖擺。在θ/α-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角度θ/α=0.325；相應(yīng)在-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角速度=0.168；在u-t圖中，墩頂部所能達(dá)到的最大位移u=491 mm（側(cè)移比達(dá)7.02%）。并且，在整個搖擺過程中，共發(fā)生了26 次碰撞，9～20 s 內(nèi)的碰撞最為激烈，而在前3～9 s 的搖擺角較小。

圖6（b）為在近場脈沖型地震動作用下的搖擺響應(yīng)。在θ/α-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角度θ/α=0.658，比遠(yuǎn)場增加102.5%；在-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角速度=0.229，比遠(yuǎn)場增加36.3%；在u-t圖中，墩頂部所能達(dá)到的最大位移u=998 mm（側(cè)移比達(dá)14.3%），比遠(yuǎn)場型增加103.3%。搖擺過程中墩與地面共發(fā)生16 次碰撞，在5～15 s 左右墩的搖擺較為劇烈。

圖6（c）為在近場無脈沖型地震動作用下的搖擺響應(yīng)。在θ/α-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角度為θ/α=0.086，比遠(yuǎn)場型減少73.6%，比近場脈沖型減少86.9%；相應(yīng)的在-t圖中，墩所能達(dá)到的最大搖擺無量綱角速度=0.089，比遠(yuǎn)場型減少47%，比近場脈沖型減少61.1%；在u-t圖中，墩頂部所能達(dá)到的最大位移u=130 mm（側(cè)移比為1.86%），比遠(yuǎn)場型減少73.5%，比近場脈沖型減少87.0%。搖擺過程中墩與地面共發(fā)生了30 次碰撞。

圖6 三種類型地震動作用墩的搖擺響應(yīng)Fig.6 The rocking response of the pier under three ground motion types

初步研究表明，近場脈沖型地震動的墩搖擺響應(yīng)最劇烈，墩頂部會產(chǎn)生較大的頂端位移，搖擺角最大。因此，在考慮不同類型地震激勵下自由搖擺墩初步設(shè)計時，基于變形的考慮，應(yīng)對墩頂部位移反應(yīng)規(guī)律進(jìn)行分析。

3.2 自由搖擺墩頂部位移分析

考慮自由搖擺墩設(shè)計時的主要參數(shù)有：寬度B和寬高比tanα。對不同類型地震激勵下頂部位移進(jìn)行分析，確定出合理的墩設(shè)計尺寸。根據(jù)Manzo等［25］的研究，雖然式（3）中沒有明確出現(xiàn)H，但實際中用H代替R作為尺寸參數(shù)更有意義。

在FEMA［26］地震數(shù)據(jù)庫中，考慮近場脈沖型、近場無脈沖型和遠(yuǎn)場型三類，每種類型分別取兩條地震動調(diào)幅并進(jìn)行分析。所選取的地震動如表2所示。

表2 分析位移時不同類型地震動的選取Tab.2 The selection of different ground motion types in the displacement analyses

圖7所示為不同高度H下墩頂部的位移響應(yīng)（PGA=0.408g），其中H=500 m 是為了近似分析2H→∞時的位移響應(yīng)?？梢缘贸觯瑢τ诓煌愋偷牡卣饎?，所有寬高比相同、但高度不同的自由搖擺墩，只要不接近傾覆，頂部位移（umax，單位：m）基本相同。同樣的結(jié)果適用于所有測試過的地震動。其中各條線的五角星標(biāo)志各地震動激勵下發(fā)生搖擺傾覆。

圖7 不同高度下墩頂部位移與α 的關(guān)系Fig.7 The relation between the pier top displacement and α at different heights

由于地震動的不確定性，有必要通過多組激勵比較的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（例如：取各組每一條水平向地震動結(jié)果的平均值）來說明問題。本節(jié)中，從FEMA［26］數(shù)據(jù)庫中三類型地震動中各選取14 條地震動，繪制不同類型自由搖擺墩的平均譜，如圖8所示。

由圖8可知：

圖8 不同類型地震動情況下自由搖擺墩柱平均譜Fig.8 The average spectrum of free rocking pier under different ground motion types

（1）通過對多條地震搖擺譜的統(tǒng)計處理得到的平均彈性譜比單條地震彈性譜更光滑。

（2）調(diào)幅后自由搖擺墩平均譜的umax（單位：m）與調(diào)幅前有較大差異，表明PGA對平均譜有較大影響。

（3）只要墩不接近傾覆，自由搖擺墩頂部位移就與其尺寸弱相關(guān)。此時，無需為每個墩尺寸計算不同的頻譜，而是可以計算2H的平均譜或設(shè)計譜（建議取2H=1000 m 計算），并用它來確定墩頂部的位移需求；此規(guī)律也可理解為“等側(cè)移”規(guī)律。

（4）隨著墩接近傾覆，“等側(cè)移”規(guī)律不再適用：較小尺寸的比較大尺寸的墩具有更大的頂部側(cè)移比；此外，隨著墩的傾覆，譜線斜率急劇增加，即α的小幅下降即導(dǎo)致墩頂位移大幅增加。這種趨勢表明，對墩進(jìn)行合理設(shè)計需避開頻譜的陡峭部分，因為此時設(shè)計中略強(qiáng)的地震都會引起頂部位移極大增加。也可以認(rèn)為，“等側(cè)移”規(guī)律適用于設(shè)計搖擺區(qū)域（非臨近傾覆區(qū)段）。

（5）上述三類地震動搖擺譜呈現(xiàn)出一些相近的規(guī)律：

i.隨著α增加，墩頂位移會達(dá)到一個峰值，約為α=0 左右的1.5～2.0 倍，而后下降；

ii.α的進(jìn)一步增加導(dǎo)致自由搖擺墩頂部位移的單調(diào)減小；

iii.因為α達(dá)到PGA/g時自由搖擺墩不發(fā)生搖擺，頂部相對位移為零。

4 基于“等側(cè)移”搖擺譜的自由搖擺墩設(shè)計方法

由前述分析可知，自由搖擺墩只要未發(fā)生傾覆，二維形式的搖擺位移譜與自由搖擺墩尺寸關(guān)聯(lián)性不大。在進(jìn)行設(shè)計前，可以使用“等側(cè)移”規(guī)律進(jìn)行初步估算。

本文建議的具體設(shè)計步驟如下：

（1）在二維形式搖擺位移譜umax-α圖中繪制容差線：uc=2Htanα=2Hα；

（2）根據(jù)設(shè)計場地類型、抗震設(shè)防烈度等確定需要調(diào)整的地震動PGA值；

（3）繪制出不同類型地震動下，自由搖擺墩的2H→∞（2H=1000 m）時的頻譜，此頻譜與容差線uc相交點所對應(yīng)的α軸坐標(biāo)即為αk；

（4）本文使用容量值2.0 來確定所設(shè)計自由搖擺墩的α，即：αD=2.0αk。容量系數(shù)2.0 是為將設(shè)計點從頻譜的陡峭部分移開，更確切的數(shù)值應(yīng)通過更細(xì)致的統(tǒng)計分析得出，但不影響本文設(shè)計方法的提出，它用于保證自由搖擺墩穩(wěn)定不傾覆。

取一實際工程應(yīng)用的某公路大橋［27］參數(shù)進(jìn)行驗證，搖擺墩設(shè)計高度為2H=6.8 m，2R=6.9 m，實際寬高比為0.210。根據(jù)Makris 等［28］的建議，設(shè)計時可假定其搖擺響應(yīng)相當(dāng)于2H=10 m 的墩的搖擺響應(yīng)。地震激勵下的設(shè)計如圖9所示。最終不同類型地震激勵下自由搖擺墩設(shè)計位移及寬高比如表3所示。

圖9 基于搖擺譜單墩設(shè)計流程圖Fig.9 Design of pier based on rocking response spectrum

由表3可知，不同類型地震激勵下，設(shè)計寬高比仍有較大差異，但為前期響應(yīng)試算提供了參考價值。該墩的平均設(shè)計αD=0.248，與實際寬高誤差為18.10%，實際設(shè)計是更保守的；同時也發(fā)現(xiàn)，三種類型地震動作用下，2H=1000 m 時墩頂部的設(shè)計位移值與2H=10 m 時差值較小，平均差值為7.51%，這也初步證明了“等側(cè)移”規(guī)律設(shè)計方法的適用性。

表3 不同類型地震激勵下自由搖擺墩的設(shè)計位移（考慮容量系數(shù)為2.0）Tab.3 Design displacements of free rocking piers for dif?ferent ground motion types（capacity factor is 2.0）

5 結(jié) 論

本文通過對不同脈沖激勵下自由搖擺墩響應(yīng)分析和最大反應(yīng)的規(guī)律研究，主要得到如下結(jié)論：

（1）單正弦激勵幅值ap增大時，墩易傾覆；正反Ricker 激勵作用下，隨著ωp/p逐漸增大，ap/（g·tanα）整體也逐漸增大，反對稱Ricker 激勵作用下，搖擺譜出現(xiàn)一個較大角度的翻轉(zhuǎn)，表明在搖擺初期，幅值ap增大時，可能會存在激勵頻率ωp較小的情況；對于固定ap/（g·tanα），ωp/p越大則搖擺角將越小。

（2）對多組不同類型地震激勵下自由搖擺墩頂部位移分析得到“等側(cè)移”規(guī)律，即：所有寬高比相同、但高度H不同的墩，只要不接近傾覆，其頂部位移就不取決于其尺寸；對這部分頻譜，可直接計算2H=1000 m 時的設(shè)計頻譜，并可計算任意自由搖擺墩頂部的位移需求。

（3）提出基于“等側(cè)移”規(guī)律自由搖擺墩的設(shè)計方法。當(dāng)2H=1000 m 時墩頂部的設(shè)計位移值與2H=10 m 時差值較小，平均差值為7.51%，證明了“等側(cè)移”規(guī)律設(shè)計方法的適用性。

需要說明的是本文僅探討了簡化型體（細(xì)長型、未考慮復(fù)雜上部結(jié)構(gòu)）、發(fā)生彈性碰撞搖擺的墩在多種脈沖載荷下的一般反應(yīng)規(guī)律，更復(fù)雜的阻尼效應(yīng)、碰撞耗能擬將在后續(xù)研究中開展。