含附體結(jié)構(gòu)主被動隔振系統(tǒng)的性能分析

米澤寧，孫紅靈，孫陸陽

（1.中國科學(xué)院噪聲與振動重點實驗室（聲學(xué)研究所），北京 100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)物理學(xué)院，北京 100049）

引 言

隔振系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于工程中，對其隔振特性的研究也比較多［1-4］。然而，實際的系統(tǒng)往往是多振動傳遞路徑系統(tǒng)，設(shè)備會與許多附件（如管路、電纜等）相連接，設(shè)備振動產(chǎn)生的力除了通過隔振器傳入基礎(chǔ)外，還會通過附體結(jié)構(gòu)直接傳到基礎(chǔ)，此時對隔振性能的分析應(yīng)該考慮到附體結(jié)構(gòu)的影響。

目前已有一些學(xué)者開展了附體結(jié)構(gòu)對隔振性能的影響研究：高鋒［5］在泵動力學(xué)和流場分析的基礎(chǔ)上，分析了管道和柱塞泵的振動耦合，并據(jù)此對附加管路的柱塞泵系統(tǒng)的減振設(shè)計提出了一些方法；徐時吟［6］采用擴展的子結(jié)構(gòu)建模方法對附連設(shè)備的艙筏隔振系統(tǒng)進行了精細化建模，闡述了附體結(jié)構(gòu)在系統(tǒng)中的耦合機制，就附體結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)振動傳遞的影響進行了參數(shù)分析，得出了附體結(jié)構(gòu)會削弱系統(tǒng)隔振性能的結(jié)論；何春雨等［7］采用有限元法建立了船舶海水管路系統(tǒng)中泵組-隔振器-撓性接管-管路附件系統(tǒng)的計算模型，通過數(shù)值計算分析了該多傳遞路徑系統(tǒng)的力傳遞特性，討論了撓性接管剛度和管路系統(tǒng)的固有頻率對振動傳遞的影響；唐春仁等［8］采用實驗的方法，分析了離心泵系統(tǒng)中管路對水泵的低頻隔振效果影響。上述工作多是針對實際工程結(jié)構(gòu)，采用有限元等數(shù)值方法仿真或?qū)嶒炦M行分析，目前尚缺乏附體結(jié)構(gòu)對隔振性能影響的系統(tǒng)性、規(guī)律性的分析。

除此之外，隨著減振水平的提高，單純采用被動隔振難以在低頻時取得滿足工程應(yīng)用需求的效果，因此國內(nèi)外開展了大量的主被動復(fù)合隔振系統(tǒng)研究。Jenkins 等［9］采用功率流作為控制函數(shù)對浮筏隔振系統(tǒng)的主動控制進行了理論和實驗的研究；Howard 等［10］以傳遞到圓柱殼體的功率流最小為優(yōu)化目標(biāo)，研究了主動控制對剛體機組-多個隔振器-圓柱殼系統(tǒng)隔振效果的影響；孫紅靈［11］分析了單雙層以及浮筏隔振系統(tǒng)中不同作動器安裝方式下有源隔振所需控制力。對于含附體結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)，含有多個振動傳遞路徑，有源控制中作動器的布放位置選擇比較復(fù)雜，因此探討不同控制位置對于系統(tǒng)隔振性能的影響對于實際系統(tǒng)設(shè)計具有重要意義。

為規(guī)律性、系統(tǒng)性地研究多振動傳遞路徑系統(tǒng)中附體結(jié)構(gòu)對隔振性能的影響及振動傳遞的物理特性，并探究有源控制中作動器位置對隔振效果的影響，本文提出了一種附加彈簧的雙層主被動隔振系統(tǒng)模型，在雙層隔振系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，增加了一個將設(shè)備與基礎(chǔ)直接相連的附加彈簧作為簡化的附體結(jié)構(gòu)，使用集中參數(shù)系統(tǒng)進行分析，研究附體剛度、阻尼等參數(shù)以及有源控制中作動器位置對隔振性能的影響。該系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)形式簡單、代表性強并且可解析計算的特點，通過對該系統(tǒng)的分析，可以得到一系列規(guī)律性、理論性的結(jié)論，有助于實際隔振系統(tǒng)的設(shè)計。

本文首先研究剛性基礎(chǔ)的情況，分析了系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)力傳遞率的影響。之后研究了彈性梁作為基礎(chǔ)的情況，選用梁的總動能作為性能指標(biāo)分析了隔振系統(tǒng)、附體結(jié)構(gòu)和彈性梁的參數(shù)對隔振性能的影響。在有源控制方面，針對剛性和彈性基礎(chǔ)兩種情況，分別分析了有源控制作動器的位置對系統(tǒng)隔振性能的影響。

1 剛性基礎(chǔ)情況

1.1 理論建模

先考慮基礎(chǔ)為剛性的情況。圖1所示系統(tǒng)中，Me為設(shè)備質(zhì)量，Kei和Cei為上層隔振器的剛度和阻尼，Mm為中間質(zhì)量，Kmi和Cmi為下層隔振器的剛度和阻尼，K2和C2為附加彈簧的剛度和阻尼，fs為設(shè)備產(chǎn)生的擾動力，f1為設(shè)備擾動力經(jīng)過附加彈簧直接傳到基礎(chǔ)的力，f2為擾動力經(jīng)過雙層隔振系統(tǒng)之后傳到基礎(chǔ)的力。將該系統(tǒng)視為集中參數(shù)系統(tǒng)，則傳遞到基礎(chǔ)上的總力為兩個路徑傳遞力之和，即fb=f1+f2。選取力傳遞率作為評價隔振效果的性能指標(biāo)。

圖1 附加彈簧的雙層隔振系統(tǒng)（剛性基礎(chǔ)）Fig.1 Double-layer vibration isolation system with attached spring（rigid foundation）

在圓頻率ω=2πf的簡諧擾動力下，定義各部分的阻抗分別為：設(shè)備阻抗Ze=?ω2Me，上層隔振器阻抗Zei=Kei+jωCei，中間質(zhì)量阻抗Zm=?ω2Mm，下層隔振器阻抗Zmi=Kmi+jωCmi，附加彈簧阻尼系統(tǒng)阻抗Z2=K2+jωC2。

系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下：

式中xe和xm分別為設(shè)備和中間質(zhì)量的位移。

在簡諧擾動下，式（1）可化簡為如下表達式：

式中 上標(biāo)“A”表示幅值。

由式（2）可推得中間質(zhì)量與設(shè)備的振級落差為：

根據(jù)阻抗與力和速度的關(guān)系，有fA1=Z2xAm和f2A=Zmi xAe，聯(lián)立式（2）和（3），可得該系統(tǒng)的力傳遞率表達式為：

1.2 附加彈簧參數(shù)影響分析

在上節(jié)所討論系統(tǒng)中，取設(shè)備質(zhì)量Me=100 kg，中間質(zhì)量Mm=80 kg，上層隔振器彈簧剛度Kei=9.870×104N/m，下層隔振器彈簧剛度Kmi=3.158×105N/m。

從式（4）可知，力傳遞率與附加彈簧的剛度和阻尼有關(guān)，為分析彈簧剛度和阻尼對力傳遞率的影響，定義附加彈簧剛度比為λ=K2/Kei，阻尼比為ξ2=，取不同的λ和ξ2，數(shù)值計算力傳遞率隨頻率的變化情況如圖2所示。

圖2 不同附加彈簧的剛度比和阻尼比情況下力傳遞率隨頻率變化曲線Fig.2 The curves of force transmissibility with frequency under different stiffness ratios and damping ratios of additional springs

如圖2（a）所示，相比于一般的雙層隔振系統(tǒng)，附加彈簧后的系統(tǒng)在中高頻上的力傳遞率顯著升高，隔振性能下降。而在低頻時相比于不附加彈簧時，除了兩個耦合共振峰外，力傳遞率還會出現(xiàn)一個極小值（谷值）。

如圖2（b）所示，系統(tǒng)的阻尼對共振頻率和極小值（谷值）對應(yīng)頻率沒有影響，但是會影響峰值和谷值的大小從而影響力傳遞率曲線的形狀。

1.3 力傳遞率峰谷值分析

如圖2（a）所示，當(dāng)λ=0 時，相當(dāng)于附加彈簧不存在，此時系統(tǒng)為經(jīng)典的雙層隔振系統(tǒng)，力傳遞率曲線有兩個共振峰，對應(yīng)的是系統(tǒng)的兩個耦合共振頻率［12］。當(dāng)存在附加彈簧時，力傳遞率曲線除了兩個共振峰外，還存在一個谷值（極小值）。為進一步分析該現(xiàn)象，連續(xù)改變λ的取值，可得圖3。

圖3 力傳遞率隨彈簧剛度比和頻率的變化圖像Fig.3 Image of force transmission rate with spring stiffness ratio and frequency

圖3中，顏色深淺表示力傳遞率的大小，單位為分貝（dB）。因此在圖中，黃色區(qū)域為峰值，深藍色區(qū)域為谷值。如圖3所示，在一個固定的λ處，力傳遞率隨著頻率的變化有兩個峰值和一個谷值，且隨著λ的升高，峰值對應(yīng)的頻率逐漸升高，而谷值對應(yīng)的頻率逐漸降低。

力傳遞率的兩個峰值對應(yīng)的頻率即為整個振動系統(tǒng)的耦合共振頻率。根據(jù)振動的模態(tài)理論，當(dāng)外力的頻率在共振頻率附近時，系統(tǒng)的受迫振動就很接近對應(yīng)的模態(tài)，從而產(chǎn)生共振。此時兩質(zhì)點角頻率相同均為共振頻率，設(shè)為ωg。由此可解得耦合系統(tǒng)的兩個共振角頻率為：

由于附加彈簧的存在，在系統(tǒng)阻尼較小的情況下力傳遞率曲線在低頻時存在一個較為明顯的谷值，此時傳遞到的基礎(chǔ)力很小，幾乎為0，對應(yīng)力傳遞率的極小值。根據(jù)式（4），在力傳遞率極小值所對應(yīng)的頻率處，有Z2(Zm+Zmi+Zei)+ZmiZei=0，由此解得該頻率為：

式中ωbm=為下層彈簧和中間質(zhì)量構(gòu)成子系統(tǒng)的固有頻率，ωem=為上層彈簧與中間質(zhì)量構(gòu)成子系統(tǒng)的固有頻率。從式（6）可以看出，當(dāng)附加彈簧剛度K2增大，即λ增大時，谷值對應(yīng)頻率會減小。

對于附加彈簧的雙層隔振系統(tǒng)的力傳遞率曲線在低頻時產(chǎn)生的一個谷值，可以從數(shù)學(xué)意義和物理意義兩個角度給予解釋。從數(shù)學(xué)角度，經(jīng)典雙層隔振系統(tǒng)的力傳遞率為：

當(dāng)式（7）分母部分為零時，對應(yīng)的是兩個共振峰的位置，其解即為系統(tǒng)的兩個耦合共振頻率。式（7）分子部分在阻尼比較小的情況下，近似為一個常數(shù)，因此力傳遞率不存在極小值，是平滑下降的，與頻率相關(guān)的變化體現(xiàn)在分母上。對于附加彈簧的雙層隔振系統(tǒng)，其力傳遞率的分子為零時表現(xiàn)為一個極小值，即力傳遞率曲線的谷值。

從物理角度，對于附加彈簧的系統(tǒng)，傳遞到基礎(chǔ)的力除了下層彈簧的力外，還有附加彈簧直接傳遞到基礎(chǔ)的力。將該系統(tǒng)視為集中參數(shù)系統(tǒng)，兩個彈簧阻尼系統(tǒng)傳遞到基礎(chǔ)的力作用在一個點上，因此總的傳遞到基礎(chǔ)上的力應(yīng)為兩個彈簧力的加和。此時，傳遞到基礎(chǔ)的力不僅與中間質(zhì)量的位移有關(guān)，還與設(shè)備的位移響應(yīng)有關(guān)。取λ=1，則在低阻尼情況下，近似認為Zmi=Z2，則傳遞到基礎(chǔ)的力與兩個質(zhì)量的位移之和成正比。此時兩個質(zhì)量的位移響應(yīng)及其加和如圖4所示。

根據(jù)圖4，設(shè)備和中間質(zhì)量位移響應(yīng)的方向如表1所示。在表1中，f1g和f2g為系統(tǒng)的第一和第二共振頻率，正負號表示設(shè)備和中間質(zhì)量位移響應(yīng)的方向。從表1可知，在頻率高于第二個共振頻率之后，設(shè)備與中間質(zhì)量反向振動，此時fA1與fA2方向相反，兩者相互抵消，對應(yīng)到力傳遞率曲線即為過了第二個共振峰后，力傳遞率迅速下降至一個極小值。隨后設(shè)備和中間質(zhì)量的位移大小都快速下降到一個較小的值，而由于兩者質(zhì)量不同，兩者位移響應(yīng)的下降速度略有不同，體現(xiàn)在力傳遞率曲線上即為過了谷值后先上升一段隨后緩慢下降。高頻時位移響應(yīng)的下降速度與無附加彈簧時相近。

圖4 設(shè)備和中間質(zhì)量的位移響應(yīng)及其加和Fig.4 Displacement response and summation of equipment and intermediate mass

表1 設(shè)備和中間質(zhì)量位移響應(yīng)方向Tab.1 Equipment and intermediate mass displacement response direction

除此之外，在圖3中還可看到，在所取參數(shù)情況下，當(dāng)剛度比λ=4 時，第二共振峰和谷值曲線有重合部分，體現(xiàn)在力傳遞率曲線上即為只有第一個峰值，沒有第二個峰值和谷值，其機理可作如下解釋：在低阻尼情況下，力傳遞率式（4）的峰值和谷值取決于其零點和極點，極點對應(yīng)共振峰頻率，零點對應(yīng)谷值頻率，分別在式（5）和（6）中計算給出。從兩式中可看出，當(dāng)λ增大時，兩個共振峰對應(yīng)的頻率逐漸增大，而谷值對應(yīng)的頻率逐漸減小。隨著λ從零開始逐漸增大到某個值時，會存在第二個共振峰對應(yīng)頻率與谷值對應(yīng)頻率相等的情況，即在所取參數(shù)下λ=4 時對應(yīng)的情況，此時有ωL=ω(2)g，力傳遞率表達式（4）中的零點與一個極點相消，此時力傳遞率曲線只有一個峰值，表現(xiàn)出與單層隔振系統(tǒng)類似的特性。

1.4 有源控制作用點對隔振性能的影響

對于圖1所示系統(tǒng)，有源控制作用點（作動器布放位置）有如圖5所示的六種情況：①置于設(shè)備上；②與上層隔振器并聯(lián)；③置于中間質(zhì)量上；④與下層隔振器并聯(lián)；⑤與附加彈簧阻尼系統(tǒng)并聯(lián)；⑥置于基礎(chǔ)上。設(shè)所需作動力為FA，對各情況分析如下：

圖5 有源控制作動器布放位置Fig.5 Active control actuator placement position

①當(dāng)作用點位于設(shè)備上時，控制目標(biāo)函數(shù)為設(shè)備位移為零：xAe=0，理想情況下傳遞到基礎(chǔ)的力為零：fA1=fA2=0，所需有源控制力為擾動力：FA=fAs。

②當(dāng)作動器與上層隔振器并聯(lián)時，有源控制力與隔振器上的力完全抵消，相當(dāng)于上層隔振器被“斷路”的情況，系統(tǒng)的運動方程、傳遞到基礎(chǔ)的力和有源控制力分別為：

③當(dāng)作用點置于中間質(zhì)量上時，目標(biāo)函數(shù)為中間質(zhì)量位移為零：xAm=0，在控制下系統(tǒng)的運動方程、傳遞到基礎(chǔ)的力和有源控制力為：

④當(dāng)作動器與下層隔振器并聯(lián)時，與情況②類似，在式（1）中取Kmi=Cmi=0，可得運動方程：

傳遞到基礎(chǔ)的力與有源控制力為：

⑤當(dāng)作動器與附加彈簧阻尼系統(tǒng)并聯(lián)時，同理在式（1）中取K2=C2=0，此時系統(tǒng)為一般的雙層隔振系統(tǒng)，傳遞到基礎(chǔ)的力和有源控制力為：

⑥當(dāng)作用點置于基礎(chǔ)上時，有源控制力與傳遞到基礎(chǔ)上的力抵消，因此傳到基礎(chǔ)上的力為0，所需的有源控制力即為fb=f1+f2，根據(jù)式（4）即可得出。

根據(jù)上述分析可得圖6和7，其中圖6為不同控制情況下系統(tǒng)力傳遞率曲線，圖7為不同控制位置所需有源控制力與擾動力的比值曲線。根據(jù)圖6和7 可得出不同頻段各控制位置的力傳遞率和所需有源控制力的比較，總結(jié)如表2所示，其中低頻段代表各曲線峰谷值之前的平坦頻段，高頻段代表峰谷值之后的有效隔振頻段，中頻段則代表含有峰谷值的中間部分的頻段。根據(jù)圖6，7 和表2，可以得出如下結(jié)論：

表2 不同頻段各有源控制位置力傳遞率和所需有源控制力大小比較（剛性基礎(chǔ)）Tab.2 Comparison of the force transfer rate and the re?quired active control force of each active control position in different frequency band（rigid founda?tion）

圖6 不同有源控制情況下系統(tǒng)力傳遞率曲線Fig.6 System force transmissibility curves under different active control conditions

圖7 不同有源控制位置所需有源控制力與擾動力比值Fig.7 System force transfer rate curves under different active control conditions

對于①⑥兩種情況，均可使傳遞到基礎(chǔ)上的力為零，其中①所需控制力為設(shè)備擾動力，在中高頻時所需的有源控制力較大，而⑥所需控制力在低頻時高于①且在系統(tǒng)的兩個耦合共振頻率處存在極大值，但在中高頻有效減振頻帶上遠小于①所需控制力。

對于②～⑤四種情況，都相當(dāng)于只控制了其中一條傳遞路徑，并不能達到最好的隔振效果。其中②③④三種情況相當(dāng)于阻斷了雙層隔振系統(tǒng)這一傳遞路徑，而⑤相當(dāng)于阻斷了附加彈簧這一傳遞路徑。由圖6可得，情況⑤在中高頻的力傳遞率明顯低于②③④三種情況，說明在中高頻段系統(tǒng)振動傳遞的主要路徑為附加彈簧。在低頻段時，有源控制力的加入會改變系統(tǒng)的耦合共振頻率，并且會在一定程度上降低兩共振頻率之間的力傳遞率。其中情況③在共振頻率之前具有比其他情況更好的控制效果。情況④會使力傳遞率曲線出現(xiàn)一個谷值，這是因為控制下層彈簧時，中間質(zhì)量與上層彈簧相當(dāng)于一個動力吸振器，因此在其固有頻率處會具有很高的隔振效果。

由圖7可知，在低頻時，除情況③所需控制力略低于擾動力外，②④⑤三種情況所需控制力均大于擾動力，且存在峰谷值。在中高頻時，情況②③⑤所需控制力與直接控制基礎(chǔ)時相同，而情況④所需控制力較低。

由以上分析可知，對于多傳遞路徑的系統(tǒng)，在有源控制設(shè)計中應(yīng)根據(jù)需要控制的頻段選擇合適的控制位置，并且需考慮到附體結(jié)構(gòu)，對多個傳遞路徑同時控制，以便在較低的控制力下達到最優(yōu)的隔振效果。

2 彈性基礎(chǔ)情況

2.1 理論建模

為研究更符合實際情況的情形，將該附加彈簧的雙層隔振系統(tǒng)置于兩端固定的彈性梁基礎(chǔ)上，選取單位激勵力下彈性梁的總動能作為隔振性能指標(biāo)，研究該系統(tǒng)隔振特性，如圖8所示。其中彈性梁兩端固定，梁的長度為l，質(zhì)量為Mb，質(zhì)量分布視為均勻的。隔振系統(tǒng)的參數(shù)與1.1 節(jié)一致。

圖8 彈性梁基礎(chǔ)的附加彈簧雙層隔振系統(tǒng)Fig.8 Additional spring double-layer vibration isolation system on elastic beam foundation

隔振系統(tǒng)在基礎(chǔ)梁上兩個作用點的位置分別為y1和y2，設(shè)設(shè)備、中間質(zhì)量和兩個力作用點處梁的垂向位移分別為xe，xm，xb1，xb2。則根據(jù)1.1 節(jié)各部分阻抗的定義，系統(tǒng)在簡諧擾動力下的運動方程為：

梁上兩點的導(dǎo)納關(guān)系為：

其中，X1，X2為梁上兩點位移；F1，F(xiàn)2為兩點的作用力，梁上兩點間的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納為［12］：

式中ωbk為基礎(chǔ)梁的第k階固有頻率，?k(?)為梁的第k階振型函數(shù)，δ為梁的損耗因子。梁的第k階固有頻率表達式為：

式中K為回轉(zhuǎn)半徑，是一個與梁幾何尺寸有關(guān)的常數(shù)，c=，E為楊氏模量，ρ為材料密度，μk為梁的頻率方程coshμkcosμk=1 的解。

由式（15）可得，梁上兩個力作用點的垂向位移為：

根據(jù)胡克定律，梁上的兩個作用力分別為：

將式（20）代入式（18）和（19），聯(lián)立可解得梁上兩作用點位移與設(shè)備和中間質(zhì)量位移的關(guān)系：

式中

將式（21）代入運動方程式（13）和（14），可得中間質(zhì)量和設(shè)備的振級落差以及設(shè)備位移與擾動力關(guān)系：

將式（21）～（23）代入式（20），即可得到梁上兩個作用力為：

由式（15）可得梁上任一點y3的振速幅值為：

則梁的總動能為：

在式（26）中，χ31，χ32由式（16）給出，fA1，fA2由式（24）給出。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)影響分析

取Mb=200 kg，梁的楊氏模量E=3.2×1011Pa，彈性梁上兩個力作用點分別位于y1=0.25 m，y2=0.75 m，其他系統(tǒng)參數(shù)均與剛性基礎(chǔ)情況一致。將單位作用力激勵情況下彈性梁的總動能作為隔振性能的評價指標(biāo)，以附加彈簧剛度比λ=1為例，可得圖9所示曲線。

圖9 彈性梁基礎(chǔ)的總動能級隨頻率變化曲線Fig.9 Curve of total kinetic energy level of elastic beam foundation varies with frequency

由圖9可知，彈性梁基礎(chǔ)時梁的總動能級曲線在低頻時存在兩個共振峰和一個谷點，與剛性基礎(chǔ)時相同，這是由附加彈簧和雙層隔振系統(tǒng)的耦合造成的；除此之外，在中高頻時還出現(xiàn)了一系列共振峰，將所取參數(shù)代入式（17），可以計算得到彈性梁的各階固有頻率，其中前3 階固有頻率分別為：41.12，113.33 和222.21 Hz，將圖9中的中高頻共振頻率與梁的固有頻率進行對比，可以發(fā)現(xiàn)這些共振頻率即為梁的不同階固有頻率，峰值對應(yīng)的是彈性梁不同的固有模態(tài)。

為探討附加彈簧剛度、附加彈簧阻尼、基礎(chǔ)梁剛度以及力作用點位置等參數(shù)對隔振性能的影響，分別改變上述參數(shù)的取值，得到圖10和11 所示曲線（其中由式（17），選取梁的楊氏模量作為分析基礎(chǔ)梁剛度的參數(shù)）。

圖10 不同系統(tǒng)參數(shù)下梁的總動能級隨頻率變化曲線Fig.10 The total kinetic energy level of the beam varies with different system parameters

由圖10（a）可得，附加彈簧剛度對梁總動能曲線的主要影響在于低頻時的兩個耦合共振峰，中高頻的共振峰位置取決于梁的固有模態(tài)，與附加彈簧剛度無關(guān)。但隨著附加彈簧剛度的增大，梁的總動能（級）逐漸增大，隔振性能逐漸變差，與1.2 節(jié)剛性基礎(chǔ)的情況相同。

由圖10（b）可得，附加彈簧的阻尼對于雙層隔振系統(tǒng)的耦合共振頻率和中高頻彈性梁的固有頻率均無影響，只是會影響振動幅值。隨著附加彈簧阻尼的增大，低頻的兩個共振峰峰值逐漸降低，中高頻時彈性梁的總動能逐漸增大，隔振性能變差。

由圖10（c）可得，彈性梁的剛度并不會影響低頻的兩個共振頻率，這是由于低頻的兩個共振頻率主要是由雙層隔振系統(tǒng)的耦合特性決定的（見1.3節(jié)的分析）。而中高頻的共振峰主要是由于彈性梁的固有模態(tài)引起的，且隨著彈性梁楊氏模量的增大，彈性梁固有頻率之間的間隔逐漸增大。彈性梁的剛性越小，相同振源引起的振動越大，對隔振性能的要求越高。

圖11為固定雙層隔振作用點位置y2=0.75 m，改變附加彈簧作用點位置y1時梁的總動能級曲線的變化情況。

圖11 固定y2=0.75 m，改變y1時梁的總動能隨頻率變化曲線Fig.11 The curve of the total kinetic energy level of the beam varies with frequency when fixing y2=0.75 m and changing y1

由圖11（a）可得，當(dāng)固定雙層隔振作用點y2=0.75 m 時，隨著附加彈簧作用點y1從左到右變化，梁總動能曲線在中高頻上各共振峰沒有變化，仍為梁的各個固有頻率；而共振峰的高度和各共振頻率之間的曲線會隨著兩個作用點距離的變化有一些微小的差別。由圖11（b）可得，在低頻處主要差別在于反共振點的位置和谷值：隨著y1從左到右變化，反共振點對應(yīng)的頻率由低到高變化，而反共振點對應(yīng)的谷值逐漸增大，在兩作用點重合時達到最大。

由此可知，兩作用點的距離主要影響的是低頻時的反共振點。兩作用點距離越遠，反共振點越不明顯，且其對應(yīng)的反共振頻率也越低；而兩作用點距離越近，反共振點越明顯，且對應(yīng)的反共振頻率越高：當(dāng)兩作用點重合時，反共振點最為明顯，且對應(yīng)的反共振頻率也最高。

為驗證理論建模的正確性，采用了有限元仿真方法進行驗證。建立了二維梁的有限元模型，得到單位激勵力下梁的總動能級隨頻率變化曲線（以λ=1 為例），將其與理論建模獲得的曲線圖9進行對比，如圖12所示?？梢娎碚摻＝Y(jié)果與有限元仿真結(jié)果符合較好，僅在峰值處有微小差距，誤差主要來源于梁上兩點間轉(zhuǎn)移導(dǎo)納式（16）的截斷誤差和梁固有頻率式（17）計算中解頻率方程時的近似。由此可驗證理論建模是準(zhǔn)確的。

圖12 彈性梁基礎(chǔ)情況理論建模與有限元仿真結(jié)果對比（λ=1）Fig.12 Comparison of theoretical modeling and finite element simulation results of elastic beam foundation（λ=1）

2.3 有源控制作用點對隔振性能的影響

對于圖8所示系統(tǒng)，有源控制作用點（作動器布放位置）有如圖13所示的八種情況：①置于設(shè)備上；②與上層隔振器并聯(lián)；③置于中間質(zhì)量上；④與下層隔振器并聯(lián)；⑤與附加彈簧阻尼系統(tǒng)并聯(lián)；⑥置于下層彈簧和基礎(chǔ)梁連接處；⑦置于附加彈簧和基礎(chǔ)梁連接處。⑧同時控制基礎(chǔ)梁上兩個彈簧與基礎(chǔ)連接點。設(shè)所需作動力為FA，對各情況分析如下：

圖13 彈性梁基礎(chǔ)情況有源控制作動器布放位置Fig.13 Position of active control actuator of elastic beam foundation condition

對于情況①，作用點位于設(shè)備上，控制目標(biāo)為使設(shè)備位移為零，即xAe=0。理想控制的情況下，傳遞到基礎(chǔ)梁的力f1A=f2A=0，所需有源控制力為擾動力FA=fsA。

對于情況②④⑤，作動器與隔振器或彈簧阻尼系統(tǒng)并聯(lián)，有源控制力與隔振器上或彈簧阻尼系統(tǒng)上的力完全抵消，相當(dāng)于隔振器或彈簧阻尼系統(tǒng)被“斷路”。因此分別將Zei=0，Zmi=0，Z2=0 代入式（24）即可得傳遞到基礎(chǔ)梁的力。

對于情況③，作用點置于中間質(zhì)量時，運動方程式（13）和（14）中取xAm=0，可解得：

傳遞到基礎(chǔ)梁的力和有源控制力為：

對于情況⑥，當(dāng)作用點位于下層彈簧和基礎(chǔ)梁連接處時，控制目標(biāo)為xAb2=0，此時運動方程為：

根據(jù)導(dǎo)納關(guān)系：

由式（31）可得：

聯(lián)立式（30），（32）和（20a），可得：

將式（33）代入運動方程式（29），可得：

故傳遞到基礎(chǔ)的力和有源控制力為：

情況⑦采用與情況⑥相同的方法，控制目標(biāo)為=0，得到：

值得注意的是，情況⑤和⑦雖然都為控制附加彈簧所在路徑，但控制目標(biāo)不同。情況⑤的控制目標(biāo)為使傳遞到連接點的力為零，而情況⑦的控制目標(biāo)為使連接點響應(yīng)為零。因此情況⑦中傳遞到連接點的力fA1并不為零，其在數(shù)值上等于該點處梁中的剪切力。

對于情況⑧，同時控制基礎(chǔ)上兩個彈簧連接點，控制目標(biāo)為xAb1=xAb2=0，此時相當(dāng)于剛性基礎(chǔ)的情況。傳遞到基礎(chǔ)上的力為零，梁不發(fā)生振動，總動能為零。附加彈簧連接點和下層彈簧連接點所需的有源控制力分別為：

根據(jù)以上分析可得圖14和15 以及表3。根據(jù)圖14，15 和表3，可以得出如下結(jié)論：

圖14 彈性梁基礎(chǔ)下不同有源控制情況下梁總動能級曲線Fig.14 Curve of total kinetic energy level of beam under different active control conditions under elastic beam foundation

表3 不同頻段各有源控制位置梁總動能級和所需有源控制力大小比較（彈性梁基礎(chǔ)）Tab.3 Comparison of the total kinetic energy level and required active control forces of each active con?trol position in different frequency band（elastic beam foundation）

與剛性基礎(chǔ)情況相同，情況②～⑦都相當(dāng)于只控制了一條傳遞路徑，因此都不能達到最佳的隔振效果；而情況⑧相當(dāng)于同時控制兩條傳遞路徑，可以完全阻隔振動傳遞到基礎(chǔ)梁。情況②～⑤在低頻時對隔振性能的影響與1.4 節(jié)剛性基礎(chǔ)情況相同。情況③⑥⑦相比于其他情況具有更好的低頻隔振性能。

由于中高頻時振動的主要傳遞路徑為附加彈簧，因此情況⑤和⑦在中高頻時能顯著降低梁的總動能級，而其他位置在中高頻段并不能有效降低梁總動能級。除此之外，情況⑥和⑦相當(dāng)于對彈性梁附加了簡支約束，因此會改變梁振動的固有模態(tài)，從而會改變梁總動能級曲線中高頻時的共振頻率，并且增大了彈性梁在該頻段的總動能，降低了該頻段的隔振性能。

在有源控制力方面，由圖15（其中，⑧1 代表同時控制時附加彈簧連接點控制力，⑧2 代表同時控制時下層隔振器連接點控制力控制力），采取情況②④⑤在低頻時所需的控制力均高于擾動力，而情況③⑥⑦除在低頻共振峰附近外，所需控制力均略低于擾動力。各控制情況在中高頻除前幾階梁固有頻率外，所需控制力均低于擾動力，由于附加彈簧是中高頻振動和能量的主要傳遞路徑，因此⑤⑦兩種情況在中高頻時所需的控制力高于其他幾種情況。情況⑧所需的兩個控制力在低頻時與單獨控制時差別不大，在中高頻時由于控制與基礎(chǔ)梁無關(guān)，故所需控制力比單獨控制時小且不會出現(xiàn)峰值。

圖15 彈性梁基礎(chǔ)下不同有源控制位置所需有源控制力與擾動力比值Fig.15 Ratio of active control force to disturbance force required for different active control positions under elastic beam foundation

由上述分析可知，對于彈性梁基礎(chǔ)的情況，不同的控制位置和控制目標(biāo)均會對系統(tǒng)的隔振性能產(chǎn)生不同的影響。因此在實際系統(tǒng)設(shè)計中，要綜合選取有源控制作用點以及各作用點的控制目標(biāo)函數(shù)。

3 結(jié) 論

本文以附加彈簧作為簡化附體結(jié)構(gòu)，提出了一種附加彈簧的雙層主被動隔振系統(tǒng)模型，對剛性基礎(chǔ)和彈性梁基礎(chǔ)兩種情況分別進行了理論建模和數(shù)值計算，討論了附體結(jié)構(gòu)剛度、阻尼等系統(tǒng)參數(shù)和有源控制對隔振性能的影響，得到如下結(jié)論：

（1）相比于一般的雙層隔振系統(tǒng)，附加彈簧后的雙層隔振系統(tǒng)力傳遞率曲線在低頻處除了有兩個共振峰外，還存在一個極小值（谷值），且隨著附加彈簧剛度的增加，峰值對應(yīng)的頻率逐漸升高，谷值對應(yīng)的頻率逐漸降低；系統(tǒng)的阻尼對共振頻率和極小值對應(yīng)頻率沒有影響，但是會影響峰值和谷值的大小從而影響力傳遞率曲線的形狀。在中高頻時，附加彈簧的雙層隔振系統(tǒng)力傳遞率要顯著高于一般的雙層隔振系統(tǒng)，說明附加彈簧的存在會使系統(tǒng)在中高頻上的隔振性能變差。

（2）彈性梁基礎(chǔ)情況的力傳遞率曲線在低頻處與剛性基礎(chǔ)差別不大，但是在中高頻上出現(xiàn)一系列共振峰，對應(yīng)的是彈性梁的固有模態(tài)。以單位作用力激勵下彈性梁的總動能作為隔振性能的評價指標(biāo)分析隔振性能發(fā)現(xiàn)：附加彈簧剛度對梁總動能曲線的主要影響在于低頻時的兩個耦合共振峰，隨著附加彈簧剛度增大，隔振性能逐漸變差；附加彈簧阻尼只會影響振動幅值，不會影響共振頻率；彈性梁的剛度主要影響中高頻段的共振峰。彈性梁上的兩個力作用點的距離主要影響的是低頻時的反共振點，兩作用點距離越近，反共振點越明顯，且對應(yīng)的反共振頻率越高。

（3）在有源控制中，不同的作用位置會對系統(tǒng)不同頻段的隔振性能產(chǎn)生影響。對于多傳遞路徑系統(tǒng)，只控制其中一條傳遞路徑不能達到最好的隔振效果。中高頻時振動的主要傳遞路徑為附加彈簧，因此控制附加彈簧所在路徑可以提升中高頻隔振性能。選取不同的控制目標(biāo)函數(shù)，也會對隔振性能產(chǎn)生不同的影響。在有源控制設(shè)計中應(yīng)根據(jù)需要控制的頻段選擇合適的控制位置和目標(biāo)函數(shù)，并且要考慮到附體結(jié)構(gòu)對振動和能量傳遞的影響，對多個傳遞路徑進行綜合控制，以使在較低的控制力下達到最優(yōu)的隔振效果。

從本文得出的結(jié)論中可知，附體結(jié)構(gòu)對隔振系統(tǒng)的性能有著較大的影響，因此在實際系統(tǒng)的設(shè)計中，要充分考慮附體結(jié)構(gòu)對振動和能量傳遞的貢獻，以得到更好的隔振效果。