復(fù)分析Hilbert變換計算理論及非線性檢測準則

張 皓，李東升

（1.大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024；2.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

引 言

工程結(jié)構(gòu)廣泛存在非線性，非線性識別是解決工程結(jié)構(gòu)非線性問題的重要手段。目前，非線性識別的技術(shù)框架已經(jīng)建立［1-2］，檢測、描述、量化的識別流程基本得到了學(xué)術(shù)界認可［3-6］。非線性識別的第一步——非線性檢測決定了后續(xù)工作的走向，因此十分關(guān)鍵。如果工程結(jié)構(gòu)被檢測出非線性，繼續(xù)應(yīng)用傳統(tǒng)線性理論和方法便不再合理，應(yīng)采用非線性理論和方法進行分析研究。此外，由于損傷會在某種程度上導(dǎo)致結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)非線性特征，因此非線性檢測方法也可被應(yīng)用于損傷識別［7-11］。

非線性檢測是非線性識別較早發(fā)展的內(nèi)容。判斷結(jié)構(gòu)時程響應(yīng)和頻響函數(shù)是否具備線性性質(zhì)自然地成為了非線性檢測的基本方法。依據(jù)工程經(jīng)驗，直接觀察時程響應(yīng)曲線、頻響函數(shù)、Nyquist 圖等的形狀是否產(chǎn)生某種畸變，是非線性檢測最簡便的方法；其他簡便方法如：通過判斷在線性結(jié)構(gòu)中時程響應(yīng)應(yīng)具備的疊加原理，頻響函數(shù)應(yīng)具備的互異性、齊次性法則等是否滿足，也可實現(xiàn)非線性檢測。實際上，這些簡單方法也是線性結(jié)構(gòu)模態(tài)分析用于檢驗試驗數(shù)據(jù)采集質(zhì)量的常用手段［12］。然而上述簡單方法在理論上不夠嚴謹，其實際應(yīng)用的可靠性也難以保證［1，13］。因此有學(xué)者提出了諸多新方法［14］：包括相干函數(shù)法、Hilbert 變換法、三階自相關(guān)函數(shù)法、高階頻響函數(shù)法等，它們具備更強的非線性檢測能力。其中，Hilbert 變換法通過檢驗頻響函數(shù)進行Hilbert變換前后是否相等來判斷非線性是否存在，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程嚴謹，結(jié)果可靠；而且，進一步應(yīng)用Hilbert變換還能夠?qū)崿F(xiàn)非線性的描述和量化，因此得到了廣泛關(guān)注［15-18］。

Hilbert 變換也是數(shù)學(xué)界長期關(guān)注的問題，但相關(guān)研究主要集中在解析求解理論［19］。在進行非線性檢測等實際應(yīng)用時，測試結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)表達式多為未知，因此需對Hilbert 變換進行數(shù)值計算，從而不可避免地引入了截斷誤差。針對這一問題，一些學(xué)者提出了一系列截斷誤差補償方法，但是這些方法不僅理論復(fù)雜程度遠超Hilbert 變換非線性檢測方法本身，而且一些方法需借助模態(tài)分析理論的機理，應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)也不甚合理［13］。文獻［1］和［13］引入了一種近似解析方法，它結(jié)合了復(fù)分析理論和有理逼近理論，有效地解決了Hilbert 變換數(shù)值計算截斷誤差問題；其有理逼近過程理論上可達到任意精度，因此也被稱為無截斷誤差的Hilbert 變換方法。這種方法雖然具有較深奧的數(shù)學(xué)理論背景，但借助Matlab 等數(shù)學(xué)計算軟件，其實踐過程實際上十分簡單、明確。令人遺憾地是，國內(nèi)外學(xué)者對此方法似乎仍較為陌生，相關(guān)研究和工程應(yīng)用不僅在國內(nèi)極為罕見，國外主流研究組近期成果也沒有應(yīng)用此方法，而是對Hilbert 變換截斷誤差選擇了忽略［18］。究其原因，現(xiàn)有的主要參考文獻對該方法的介紹有一些模糊之處，這對研究人員的理解和實踐可能會造成一定阻礙。本文重新梳理Hilbert 變換復(fù)分析計算方法和Hilbert 變換非線性檢測方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，提出通過留數(shù)理論補充考慮實軸存在極點的特殊情況，并定義了新的Hilbert 變換非線性檢測準則，真正意義上實現(xiàn)兩套理論的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，使該方法理論推導(dǎo)更為嚴謹，體系更為完整，且便于理解和應(yīng)用，通過數(shù)值算例和試驗研究驗證了該方法的優(yōu)越性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 Hilbert 變換的數(shù)學(xué)定義及其復(fù)分析計算理論

函數(shù)f(x) 的Hilbert 變換的數(shù)學(xué)定義為［19］：

式中 H 表示Hilbert變換算子；PV表示Cauchy主值。

由上式可知，與Fourier 變換、Laplace 變換不同，Hilbert 變換是在同一域內(nèi)進行的積分變換，其核函數(shù)為［19］：

根據(jù)式（1）的定義，Hilbert 變換的計算可歸結(jié)為反常積分的計算問題，復(fù)分析理論是解決此類問題的有效工具［20-23］。根據(jù)留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)域D的邊界Γ上連續(xù)，在這區(qū)域的內(nèi)部，除了有限多個奇點a1，a2，…，an外，處處都解析。那么，如果Γ按正方向（逆時針）繞行，則有［20］：

式中 resf(ak)表示函數(shù)f(x)在一個奇點ak處的留數(shù)，它是函數(shù)f(x)在點ak臨域內(nèi)Laurent 級數(shù)展開式的?1 次冪項的系數(shù)。

特別地，若此奇點為一階極點，則函數(shù)在此極點的留數(shù)為［23］：

因此，若在復(fù)平面補充一段圓弧，則可將式（1）中無限區(qū)間的直線積分轉(zhuǎn)化為閉曲線積分，從而可由留數(shù)理論求解。不失一般性，考慮上半平面（用“+”腳標表示），若奇點均位于由圓弧ρ和坐標軸（?R，R）直線構(gòu)成的正方向（逆時針）閉曲線Γ的內(nèi)部，如圖1（a）所示，則此新的路徑積分可表示為：

式（5）等號左端第一項即為式（1）中無限區(qū)間反常積分的Cauchy 主值［21］，是Hilbert 變換計算的主體；第二項根據(jù)Jordan 引理可證明為零［22］。假定在閉區(qū)域內(nèi)部有n個奇點，則式（5）右端項中的res+k即為Hilbert 變換被積函數(shù)整體在上半平面內(nèi)奇點k處的留數(shù)。將式（5）代入式（1）得到奇點位于閉區(qū)域內(nèi)部時的Hilbert 變換表達式：

應(yīng)當注意，上述留數(shù)定理的運用需滿足一個前提條件，即要求函數(shù)f(x)在閉區(qū)域D的邊界Γ上連續(xù)。因此，按照上述積分路徑，如果實軸上存在奇點（用“0”腳標表示），則無法直接應(yīng)用式（3）的留數(shù)定理計算Hilbert 變換，這也是留數(shù)定理本身的一種特殊情況。這種情況的處理辦法與奇點位于區(qū)域內(nèi)部類似，即在該奇點臨域補充一段半徑為r的圓弧路徑，如圖1（b）所示。按照此新的積分路徑，閉區(qū)域內(nèi)部奇點仍可利用式（3）的留數(shù)定理，則有：

圖1 復(fù)平面閉曲線積分路徑Fig.1 Closed integral path in the complex plane

上式等號左端第一項和第三項的直線積分為Hilbert 變換求解目標；如果實軸上的奇點為一階極點，則第二項曲線積分部分根據(jù)小圓弧引理計算［21］，且此積分路徑下，小圓弧部分為負方向（順時針）繞行，可得：

上式右端項中的res0s即為Hilbert 變換被積函數(shù)整體在實軸奇點s處的留數(shù)。因此，將式（8）代入式（7）并移到等式右端，得到閉區(qū)域內(nèi)部和實軸上均含有奇點，且實軸上的奇點為一階極點的情況下，Hilbert 變換表達式為：

考慮下半平面（用“?”腳標表示）推導(dǎo)過程類似。若保持直線部分積分路徑方向不變，則補充圓弧路徑后的閉曲線積分路徑為負方向（順時針），處理實軸極點時添加的小圓弧路徑為正方向（逆時針）。因此，下半平面Hilbert 變換表達式為：

綜上，Hilbert 變換的計算實際上就是留數(shù)的計算，由函數(shù)f(x)奇點的類型決定。以上討論未指定Hilbert 變換函數(shù)f(x)的具體形式，下文將應(yīng)用上述結(jié)論具體討論對頻響函數(shù)的Hilbert 變換。另外，未展開討論有關(guān)函數(shù)奇點類型的內(nèi)容，因為其具體應(yīng)用于頻響函數(shù)時并不涉及；由于使用了零極點形式，Hilbert 變換被積函數(shù)的奇點自然地均為一階極點，則滿足應(yīng)用小圓弧引理的前提條件，式（9）和（10）必然成立，且留數(shù)的計算也比較簡單。

1.2 頻響函數(shù)Hilbert 變換的近似解析計算方法

有理分式逼近具備諸多優(yōu)良性質(zhì)，能夠解決非線性、高階、分數(shù)階等復(fù)雜函數(shù)的逼近問題，相比于多項式逼近具備精度優(yōu)勢［24］。根據(jù)逼近理論，任何函數(shù)都可以近似為某階有理分式。因此假定非線性結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)H(ω)可表示為有理分式并改寫為部分分式的形式，即［13］：

式中ω，Cj和pj分別代表頻率、零點（在模態(tài)分析理論中為留數(shù)）和極點。

由于Hilbert 變換是線性積分變換，則頻響函數(shù)的Hilbert 變換就可以轉(zhuǎn)化為單極點函數(shù)的Hilbert變換的和的形式，代入式（1）可得：

此處為了便于理解，傳達出Hilbert 變換是在同一域內(nèi)進行積分變換的內(nèi)涵，將式（1）中變換函數(shù)的自變量x寫為頻率ω，將式（2）積分變換核函數(shù)中的自變量y寫為同樣常用于表達頻率物理意義的符號Ω。這種零極點形式的頻響函數(shù)有助于Hilbert 變換的計算，因為此時Hilbert 變換被積函數(shù)有極點pj，ω為積分變換自由變量且必然不等于pj，否則頻響函數(shù)部分分式?jīng)]有意義。因此極點pj為一階極點，根據(jù)式（4）留數(shù)的計算方法為：

事實上，即使極點為重極點也有上述類似結(jié)論［13］。式（13）暫未指定極點的位置，極點位置一旦明確，即可相應(yīng)地運用式（6），（9）或（10）進行Hilbert 變換的計算。

運用Matlab 等數(shù)學(xué)計算軟件進行頻響函數(shù)有理逼近和零極點分解運算時，在上、下半平面和實軸可能同時存在極點。上半平面和實軸的極點使用式（9）；下半平面和實軸的極點使用式（10），兩者均可計算頻響函數(shù)的Hilbert 變換，本文取兩者的平均值：

可見，位于實軸的極點部分將在最終的計算公式中抵消。但是，作為計算方法的一部分，有必要加以說明，否則實軸極點該如何操作將成為本方法的一個模糊之處，導(dǎo)致理論理解和實際應(yīng)用產(chǎn)生阻礙，現(xiàn)有主要參考文獻均未進行上述詳細討論［1，13］。將式（13）代入式（14）可得到：

由上式可知，用于計算Hilbert 變換的兩個留數(shù)求和項，實際上就是零極點形式頻響函數(shù)極點分別位于上、下半平面的兩個部分。因此，頻響函數(shù)Hilbert 變換的近似解析計算方法最終表達為：

H+(ω)表示極點位于上半平面部分的頻響函數(shù)，H?(ω)表示極點位于下半平面部分的頻響函數(shù)。這種方法以近似解析的方式，避免運用梯形公式等數(shù)值積分方法計算式（1）中反常積分帶來的截斷誤差，且其推導(dǎo)過程嚴謹，運算方式十分簡單、明確。實際上不只是頻響函數(shù)，其他能夠合理運用有理逼近并進行零極點分解的函數(shù)均能推導(dǎo)類似運算方法。站在Riemann-Hilbert 問題這樣更為宏大的數(shù)學(xué)物理視角下，Hilbert 變換的復(fù)分析計算方法甚至還有更大的潛力值得開發(fā)［25］。

1.3 基于復(fù)分析計算理論的Hilbert 變換非線性檢測方法

假設(shè)線性結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為因果信號h(t)，可進行奇偶分解表示為［16］：

式中h(t)偶為偶信號，h(t)奇為奇信號，它們可通過符號函數(shù)ε(t)建立起如下關(guān)系：

其中符號函數(shù)ε(t)為：

對式（17）兩端做Fourier 變換，用符號F 表示，得到變換后的頻響函數(shù)H(ω)的實部和虛部分別與偶信號和奇信號的Fourier 變換對應(yīng)，即：

將式（18）代入式（20），根據(jù)Fourier 變換的運算法則，得到如下關(guān)系：

式中 “*”表示卷積運算，由下式定義：

因此，對式（21）進行卷積運算，得到：

上兩式直接相加，則在重新組合成H(ω)的同時，有如下關(guān)系：

令G(ω) =iH(ω)，代入式（16）和（24）得到：

上式兩端同時乘以復(fù)單位i，可得到最終表達式為：

式（16），（24）～（26）的表達式是一種新的非線性檢測理論推導(dǎo)格式，從而形成了式（26）新的非線性檢測判據(jù)。由于現(xiàn)有運用Hilbert 變換非線性檢測方法的文獻［1，13］未使用復(fù)分析理論，即僅在實軸討論式（24）中的積分，則可提取復(fù)單位i 得到另一種Hilbert 變換的“定義”［13］：

如果同樣使用Hilbert 變換符號H 來表達，則將此非線性檢測準則表述為［16，26］：

然而，嚴格地講，式（27）雖然形式上與式（1）的Hilbert 變換定義很相近，但在數(shù)學(xué)上式（27）稱為Cauchy 變換，它與Hilbert 變換并無等效關(guān)系［27］；而且按照式（27）推導(dǎo)非線性檢測方法實際上并未直接應(yīng)用Hilbert 變換，因此稱其為“Hilbert 變換非線性檢測方法”在表面上和實質(zhì)上都不夠嚴謹。而經(jīng)過本文的推導(dǎo)，有機結(jié)合Hilbert 變換復(fù)分析計算理論，才真正意義上使其“名副其實”。現(xiàn)將基于復(fù)分析計算理論的Hilbert 變換非線性檢測準則表達如下：

值得注意地是，Matlab（R2020b）信號處理工具箱的自帶函數(shù)Hilbert 實際上計算的是實信號對應(yīng)的解析信號，而不是其Hilbert 變換，此函數(shù)命名的誤導(dǎo)性已經(jīng)在Matlab 官方論壇引起了國內(nèi)外使用者的討論。應(yīng)用此函數(shù)針對頻響函數(shù)進行Hilbert 變換時，即使是線性結(jié)構(gòu)變換前后也不能做到完全一致［26］。

另外，運用上述結(jié)論進行非線性檢測，實際上隱含了非線性頻響函數(shù)H(ω)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)為非因果信號這一假定。可以推斷，若有非線性結(jié)構(gòu)不滿足此假定，則此非線性檢測方法失效［1］。但目前尚未見相關(guān)反例的報告。非線性問題的復(fù)雜性決定了建立具有普適意義方法的難度，此假定是否成立應(yīng)并不影響此非線性檢測方法的價值。

2 數(shù)值算例

2.1 算例一

首先給出一個數(shù)值積分方法直接計算Hilbert變換產(chǎn)生截斷誤差的典型例子。單自由度線性系統(tǒng)頻響函數(shù)［13］：

其頻率范圍為9～23 Hz，頻率分辨率為0.1 Hz。運用數(shù)值積分方法計算其Hilbert 變換，變換前后的Bode 圖對比如圖2所示，圖中呈現(xiàn)出了明顯的截斷誤差，按照現(xiàn)有式（28）的非線性檢測準則，應(yīng)判斷為非線性情況，結(jié)論錯誤。針對同一個頻響函數(shù)，如果運用復(fù)分析計算理論以及本文定義的非線性檢測準則，結(jié)果極為準確地滿足式（29）中規(guī)定的線性情況，如圖3所示。

圖2 線性系統(tǒng)數(shù)值積分Hilbert 變換非線性檢測Fig.2 Nonlinear detection results based on numerical integrated Hilbert transform for a linear system

圖3 線性系統(tǒng)復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.3 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for a linear system

2.2 算例二

考慮單自由度非線性系統(tǒng)，在上述線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上添加立方剛度項構(gòu)造Duffing 振子，并在正弦掃頻激勵條件下得到頻響函數(shù)，即使用一階諧波平衡意義下的非線性頻響函數(shù)［13］：

其頻率范圍與上例一致。將此頻響函數(shù)運用于復(fù)分析Hilbert 變換算法，并進行非線性檢測，結(jié)果如圖4所示，可見其與在線性系統(tǒng)中的使用效果不同，兩曲線間差異明顯，根據(jù)式（29）的準則可判斷存在非線性。

圖4 Duffing 系統(tǒng)復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.4 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for the Duffing system

以上兩個例子表明，數(shù)值積分計算的Hilbert 變換，由于截斷誤差的存在，使用式（28）的非線性檢測準則無法得到可靠結(jié)果；而通過復(fù)分析理論計算的Hilbert 變換，克服了截斷誤差且相當精確，因此使用式（29）的非線性檢測準則能夠給出可靠的結(jié)果。

2.3 算例三

進一步考察更復(fù)雜的情況?？紤]同時存在非線性剛度和非線性阻尼的系統(tǒng)［28］：

式中m，c和k分別為派生線性系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；cnl和knl分別為二次阻尼和三次剛度系數(shù)。各參數(shù)取值如表1所示。

表1 組合非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters of combined nonlinear systems

在正弦掃頻激勵作用下，頻響函數(shù)復(fù)分析Hilbert 變換前后對比如圖5所示，兩曲線間的差異根據(jù)式（29）的準則可判斷存在非線性。本例驗證了復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測方法在組合類型非線性系統(tǒng)中的適用性。

圖5 組合非線性系統(tǒng)的復(fù)分析Hilbert 非線性檢測Fig.5 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for the system with combined nonlinear system

2.4 算例四

實際上，上述正弦掃頻激勵條件得到的非線性頻響函數(shù)能夠產(chǎn)生如“跳躍”現(xiàn)象等較為生動的非線性特征，從而直接實現(xiàn)非線性檢測。但是正弦掃頻激勵不易控制且測試效率較低，因此實際提取頻響函數(shù)時，隨機激勵的方式更為常用。下面考慮多自由度非線性系統(tǒng)隨機激勵下的頻響函數(shù)。三自由度質(zhì)量-彈簧非線性系統(tǒng)，其派生線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣質(zhì)量M，剛度K，阻尼C分別為［29］：

在系統(tǒng)二、三自由度之間存在二次和三次剛度非線性，其非線性恢復(fù)力表達為［29］：

式中x2，x3分別表示第二、三自由度的位移。

激勵為作用于第一自由度處的高斯隨機激勵。當隨機激勵幅值取為500 N 時，頻響函數(shù)呈現(xiàn)出較為明顯的非線性特征。以第二自由度響應(yīng)的頻響函數(shù)H21為例，與其派生線性系統(tǒng)相應(yīng)頻響函數(shù)的對比如圖6所示。此時應(yīng)用本文定義的非線性檢測準則，其效果是可預(yù)見的，如圖7所示，可根據(jù)式（29）判斷存在非線性。

圖6 500 N 激勵水平的非線性與派生線性頻響函數(shù)Fig.6 Nonlinear and underlying linear FRF under 500 N level

圖7 500 N 激勵水平復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.7 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under 500 N level

但當激勵幅值較小時，由隨機激勵得到的頻響函數(shù)非線性特征將不再明顯，此時甚至可近似作為線性情況處理。但是若運用復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測方法，仍能夠檢測出非線性的存在。令激勵幅值減小為50 N，仍以H21為例，與派生線性頻響函數(shù)對比如圖8所示，可見兩者十分接近，僅通過頻響函數(shù)曲線無法進行可靠的非線性檢測。運用復(fù)分析理論Hilbert變換進行非線性檢測的結(jié)果如圖9所示，曲線之間顯示出的差異可判斷存在非線性。因此通過以上多自由度算例可驗證，本文定義的Hilbert 變換非線性檢測方法不僅能夠應(yīng)用于多自由度非線性系統(tǒng)，而且相比于直接觀察頻響函數(shù)圖的畸變，是一種對非線性更敏感的方法，其結(jié)果更為準確可靠。

圖8 50 N 激勵水平非線性與派生線性頻響函數(shù)Fig.8 Nonlinear and underlying linear FRF under 50 N level

圖9 50 N 激勵水平復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.9 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under 50 N level

通過對線性、非線性系統(tǒng)，單、多自由度系統(tǒng)，簡諧、隨機激勵和高、低幅度激勵等情況數(shù)值算例的綜合討論，驗證了基于復(fù)分析計算理論的Hilbert 變換算法的準確性，以及復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測準則的可靠性。Hilbert 變換非線性檢測是基于頻響函數(shù)的方法，因此如果非線性無法反映到頻響函數(shù)上，則會影響方法檢測效果。

3 試驗驗證

下面通過美國Los Alamos 國家實驗室設(shè)計的三層剪切型框架結(jié)構(gòu)試驗，如圖10所示，驗證復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測準則在不連續(xù)型非線性剛度結(jié)構(gòu)的應(yīng)用效果，試驗相關(guān)細節(jié)可參考文獻［30］。該試驗含有線性和非線性工況，通過二、三層之間的緩沖器引入碰撞非線性，其縫隙可調(diào)，對應(yīng)不同的非線性程度。線性情況對應(yīng)試驗工況1（state 1#），非線性情況本文選取縫隙為0.05 mm 的工況14（state 14#）。

圖10 Los Alamos 試驗結(jié)構(gòu)示意圖［30］Fig.10 Test setup of the experiment of Los Alamos National Laboratory［30］

現(xiàn)考慮激勵信號與第三層響應(yīng)的頻響函數(shù)。在此試驗中20 Hz 以下為結(jié)構(gòu)剛體運動不作為有效的分析數(shù)據(jù)，取20～100 Hz 頻率范圍的頻響函數(shù)，運用復(fù)分析Hilbert 變換方法得到線性工況下的非線性檢測結(jié)果如圖11所示，由于兩曲線之間十分接近，因此可判斷為線性。若使用數(shù)值積分計算Hilbert 變換，在此線性工況得到的結(jié)果如圖12所示，若根據(jù)式（28）的非線性檢測判據(jù)將判斷為非線性；可見，數(shù)值積分截斷誤差影響了非線性檢測結(jié)果，而復(fù)分析Hilbert變換計算方法則有效規(guī)避了此不利因素。

圖11 線性工況復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.11 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under state 1#

圖12 線性工況數(shù)值積分Hilbert 變換非線性檢測Fig.12 Nonlinear detection results based on numerical integrated Hilbert transform under state 1#

利用復(fù)分析Hilbert 對非線性工況進行非線性檢測的結(jié)果如圖13所示。顯然，在非線性工況下兩曲線之間呈現(xiàn)出明顯差異，可根據(jù)式（29）判定存在非線性。如不利用非線性檢測方法，圖13中Hilbert變換前的頻響函數(shù)曲線實際上與線性工況的形狀類似，并未展現(xiàn)出明顯的非線性特征，因此無法可靠地判斷是否存在非線性。此試驗進一步驗證了復(fù)分析Hilbert 變換的準確性，以及本文定義的Hilbert 變換非線性檢測準則的可靠性。實際結(jié)構(gòu)的振動測試可能存在環(huán)境噪聲、測試設(shè)備安裝誤差、測試設(shè)備與被測結(jié)構(gòu)相互作用等諸多因素，使測試結(jié)果受到與結(jié)構(gòu)非線性類似的影響，可能造成非線性檢測產(chǎn)生誤報［13，31］。因此在進行非線性檢測之前，需詳細檢查并確保試驗各環(huán)節(jié)的精細程度，將噪聲影響控制在相對較低的水平，這也是進行非線性識別其余環(huán)節(jié)的先決條件［1，13，31］；同時，建議使用多種非線性檢測方法相互驗證，進一步確保檢測結(jié)果的可靠性。

圖13 非線性工況復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測Fig.13 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under state 14#

4 結(jié) 論

Hilbert 變換本身具備堅實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，基于此的非線性檢測方法推導(dǎo)過程同樣嚴謹、明確，結(jié)果可靠，且對非線性較為敏感，非線性檢測性能優(yōu)異。結(jié)合有理逼近理論和復(fù)分析理論，Hilbert 變換數(shù)值計算的截斷誤差問題得以解決，掃清了Hilbert變換非線性檢測方法邁向?qū)嶋H應(yīng)用的最后障礙。本文進行了如下創(chuàng)新性研究：

（1）運用留數(shù)理論，在Hilbert 變換復(fù)分析計算方法的理論推導(dǎo)過程中補充了實軸存在極點的情況，使其更為完善和嚴謹；

（2）澄清了Hilbert 變換不同定義的使用問題，使Hilbert 變換的復(fù)分析計算理論與Hilbert 變換非線性檢測理論協(xié)調(diào)統(tǒng)一；

（3）結(jié)合Hilbert 變換復(fù)分析計算理論，改進了Hilbert 非線性檢測方法的推導(dǎo)格式，建立了新的Hilbert 變換非線性檢測準則。

通過數(shù)值算例和試驗研究驗證了復(fù)分析Hilbert 變換及其非線性檢測準則的有效性和可靠性。但非線性種類繁多難以窮舉，此方法尚需不斷接受實踐檢驗。也要注意到，本文方法有效的前提是，結(jié)構(gòu)非線性影響能夠反映到頻響函數(shù)上，且其逆Fourier 變換為非因果信號；同時要求測試數(shù)據(jù)具備較高質(zhì)量，使得到的頻響函數(shù)受噪聲影響程度弱于結(jié)構(gòu)非線性影響。非線性問題的復(fù)雜性決定了，無論是非線性識別中的非線性檢測，還是后續(xù)的非線性描述、參數(shù)識別，找到具有普適意義的方法是一個困難的任務(wù)。因此，建議使用多種方法對結(jié)果進行交叉驗證分析，方可得到可靠結(jié)論。但不管結(jié)合使用哪些方法進行分析，Hilbert 變換非線性檢測方法，以及Hilbert 變換非線性描述、參數(shù)識別方法都值得作為其中的一個選擇進行實際應(yīng)用。