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      異宿軌道破缺誘發(fā)的非軌道面繩系衛(wèi)星混沌運動

      2022-02-15 08:44:24余本嵩湯毓寧
      振動工程學(xué)報 2022年6期
      關(guān)鍵詞:繩系系繩剛體

      余本嵩,湯毓寧

      (南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室,江蘇 南京 210016)

      引 言

      空間繩系系統(tǒng)以其低能耗、可重構(gòu)、易循環(huán)使用等優(yōu)勢已成為當(dāng)今航天領(lǐng)域探索的熱門課題之一,其在碎片捕獲、返回艙再入、廢棄物離軌、對地偵查、星際探測等諸多方面的不斷發(fā)展,更是使國內(nèi)外廣大學(xué)者在其理論、實驗、應(yīng)用等方向投入大量精力[1-7]。

      非軌道面繩系系統(tǒng)動力學(xué)研究是其由理論到實際應(yīng)用的重要環(huán)節(jié),已有相關(guān)科研成果呈現(xiàn)。比如,對于面內(nèi)外運動耦合的空間電動力繩,Kojima 等[8]為了維持系統(tǒng)在傾斜軌道下的穩(wěn)態(tài)運動,設(shè)計了一套時滯反饋控制律,實現(xiàn)了對不規(guī)則振蕩的有效抑制。Ellis 等[9]理論分析自旋繩系衛(wèi)星時發(fā)現(xiàn),微幅面外振動不會對系統(tǒng)面內(nèi)運動產(chǎn)生影響,且相對高速的面內(nèi)自旋會使面外運動更加穩(wěn)定。Avanzini等[10]對非軌道面、雙金字塔型等繩系編隊進行數(shù)值研究,算例表明系統(tǒng)穩(wěn)定性對系繩線密度、阻尼、剛度等參數(shù)較為敏感。楊育偉等[11]利用攝動法解析得到面外電動力繩系衛(wèi)星的近似周期解,并通過Poincaré 映射判定該周期運動的穩(wěn)定性。Paul 等[12]基于反饋線性化方法嘗試對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)面內(nèi)/面外振蕩進行控制,面內(nèi)振蕩得到有效抑制,面外振動控制效果不理想。Yoon 等[13]通過等效縮比地面實驗,研究空間系繩面外圓周運動,對系統(tǒng)振動頻率等進行討論,實驗與有限元計算結(jié)果一致。在空間碎片移除應(yīng)用背景下,Cui 等[14]充分分析系繩纏繞等不穩(wěn)定因素,計算出初始面內(nèi)/面外傾角的合理范圍,以保證電動力繩安全釋放。

      對于包括混沌在內(nèi)的空間系繩非線性特性研究,仍主要聚焦于系統(tǒng)面內(nèi)運動。譬如,Nakanishi等[15]基于啞鈴模型研究軌道平面內(nèi)兩體繩系衛(wèi)星,數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)軌道偏心率大于0.3138 時系統(tǒng)面內(nèi)俯仰運動會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,并通過將不同軌道下面內(nèi)運動軌跡投影于van der Pol 平面以展示系統(tǒng)概周期、混沌特性。考慮主航天器剛體姿態(tài),龐兆君等[16]開展繩系航天器動力學(xué)地面等效實驗,依據(jù)天-地動力學(xué)相似原理,揭示在軌剛體混沌運動,同時提出通過阻尼力矩對混沌進行抑制。采用離散珠點模型,并計入熱沖擊、大氣阻尼等環(huán)境攝動,Yu 等[17]討論了由軌道偏心率變化引起的繩系衛(wèi)星面內(nèi)俯仰運動分岔行為。Malashin 等[18]用非線性偏微分方程構(gòu)建空間繩系系統(tǒng)模型,并基于該模型提出邊界控制問題,從而解析分析柔性系繩的橫向/縱向非線性振蕩及抑制方法。Lim 等[19]采用絕對節(jié)點坐標法數(shù)值研究空間繩-網(wǎng)系統(tǒng)對軌道碎片的捕獲過程,提出大量關(guān)于柔性系繩纏繞、沖擊等非線性問題。Aslanov等[20]分析一類面內(nèi)繩系拖曳系統(tǒng),仿真結(jié)果顯示,隨著系繩長度增加,面內(nèi)俯仰角及剛體姿態(tài)角的平衡位置皆會發(fā)生超臨界叉型分岔。Liu 等[21]探討在地-月引力場作用下含阻尼繩系系統(tǒng)的三體問題,算例展示系統(tǒng)在L1和L2點附近存在概周期及混沌等運動。針對電動力繩系航天器升軌技術(shù),Li 等[22]通過模擬發(fā)現(xiàn),無控狀態(tài)下系繩長度、系統(tǒng)面內(nèi)外運動皆為非周期振蕩。Salazar 等[23]以數(shù)值方式呈現(xiàn)狀態(tài)保持階段面內(nèi)外耦合(即四維狀態(tài)空間)繩系衛(wèi)星的混沌運動,并基于Kelvin-Talt-Chetayev 定理設(shè)計拉力控制器對混沌進行抑制。

      可以看出,非軌道面繩系衛(wèi)星的周期運動穩(wěn)定性及控制方法得到了大量關(guān)注,但對其混沌動力學(xué)卻鮮有涉及,而對面內(nèi)系統(tǒng)的混沌特性也多局限于數(shù)值討論,理論研究不充分。本文致力于面外繩系系統(tǒng)的混沌運動預(yù)測分析,具體討論面內(nèi)俯仰角保持恒定僅做面外滾轉(zhuǎn)的繩系衛(wèi)星,揭示面外攝動引起的混沌,并給出混沌發(fā)生的必要條件,最后通過數(shù)值仿真進行驗證。

      1 非軌道面滾轉(zhuǎn)繩系衛(wèi)星模型

      由主星M、子星S 及起連接作用的絕熱系繩構(gòu)成的在軌繩系衛(wèi)星系統(tǒng),如圖1所示。主星與子星皆為圓柱體,質(zhì)量分別為mM和mS??紤]到狀態(tài)保持階段系繩始終處于緊繃狀態(tài),故將其簡化為線密度為ρt、長度為l、直徑為dt的剛性桿,其兩端延長線與衛(wèi)星圓柱體軸線重合。假設(shè)地球為均質(zhì)球體,系統(tǒng)質(zhì)心o位于距地高度為Ho的繞地圓周軌道,在軌道平面Π 和非軌道平面Σ,系統(tǒng)運動可分別以面內(nèi)俯仰角θ和面外滾轉(zhuǎn)角?表示。為討論非軌道平面系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)運動,施加與非軌道平面Σ 正交的控制力,使系統(tǒng)保持恒定的面內(nèi)俯仰角θC。此外,以ν表示繞地真近點角,以i表示軌道與赤道平面夾角。構(gòu)建固結(jié)于系統(tǒng)質(zhì)心o的軌道坐標系o-xyz,其x軸指向系統(tǒng)運動方向,y軸正交于軌道平面,z軸指向地球質(zhì)心。

      圖1 面外滾轉(zhuǎn)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)Fig.1 Tethered satellite system with out-of-plane roll motion

      基于第二類Lagrange 方程建立系統(tǒng)動力學(xué)模型。首先,系統(tǒng)質(zhì)心繞地和其自身滾轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的動能可分別表示為:

      式中 符號“′”表示變量對時間t求導(dǎo),Ro表示系統(tǒng)質(zhì)心距地球質(zhì)心的位置標量,=mM+mS+mt和為導(dǎo)出質(zhì)量參數(shù),mt=ρtl為系繩質(zhì)量。同時,以無窮遠處為勢能零點,列出系統(tǒng)勢能:

      式中μE表示地球引力參數(shù)。

      選取面外滾轉(zhuǎn)角?為廣義坐標,將系統(tǒng)動能T=Tt+Tr及以上勢能表達式代入第二類拉氏方程可得[24]:

      式中Q?表示與廣義坐標?對應(yīng)的廣義力。另外,圖1所示的真近點角ν,其相比于時間t能夠更直觀地展示系統(tǒng)軌道歷程,故以真近點角ν作為無量綱時間,用Lr表示參考長度,引入無量綱變換:

      則系統(tǒng)動力學(xué)方程(3)可轉(zhuǎn)化為以下無量綱形式:

      式中 符號“?”表示變量對無量綱時間ν求導(dǎo)。以上動力學(xué)模型能夠?qū)哂泻愣鎯?nèi)俯仰角的繩系衛(wèi)星滾轉(zhuǎn)運動進行描述。

      2 攝動激勵

      考察大氣阻尼及太陽光壓對系統(tǒng)面外滾轉(zhuǎn)的攝動作用,基于虛功原理和力矩表達式可得到它們引起的攝動力矩,即與面外滾轉(zhuǎn)角對應(yīng)的廣義力[25]:

      式中 dF?p,t(s)為作用于系繩微元段ds的面外攝動力,而由虛面外滾轉(zhuǎn)角δ?引起的微元段ds的虛位移表示為:

      式中 ex,ey和ez分別表示與坐標軸x,y和z對應(yīng)的單位矢量;s表示一個度量由子星指向主星的局部長度坐標,χ=(2mM+mt) (2mˉ)為導(dǎo)出參數(shù)。

      作用于衛(wèi)星剛體和系繩微元段ds的大氣阻尼力為:

      式中Cd,M(S)和Cd,t表示衛(wèi)星剛體和系繩的大氣阻尼系數(shù),ρa,M(S)和ρa,t表示衛(wèi)星剛體和系繩所處軌道高度的大氣密度,V?r表示系統(tǒng)在面外方向相對于大氣的速度矢量,AM(S)表示衛(wèi)星剛體的迎風(fēng)面積。將衛(wèi)星剛體承受的大氣阻尼力對系統(tǒng)質(zhì)心取矩,而將式(8)中的第2 式代入式(6),得到大氣阻尼在廣義坐標?方向作用于主衛(wèi)星剛體、子衛(wèi)星剛體及系繩的攝動力矩:

      式中ωE為地球自旋角速度。

      系統(tǒng)處于始終向陽的繞地軌道,則作用在衛(wèi)星剛體和系繩微元段ds的太陽光壓力表示為:

      式中Is=1372 W ?m?2表示太陽在地球表面的入射輻射能流密度,vlc表示光速,β為太陽光線與系統(tǒng)的夾角,Csr和Cdr表示系統(tǒng)表面的鏡面反射和漫反射系數(shù),un和ut表示系統(tǒng)表面法向和光線投影方向的單位矢量。同樣方法,可得到太陽光壓力在廣義坐標?方向作用于主衛(wèi)星剛體、子衛(wèi)星剛體及系繩的攝動力矩:

      故相應(yīng)的由太陽光壓引起的廣義力Q?sr=為:

      將式(11)和(14)代入廣義力表達式Q?=Qd?+,則系統(tǒng)無量綱動力學(xué)方程(5)可改寫為:

      式中

      至此,完成了空間環(huán)境攝動激勵下非軌道面滾轉(zhuǎn)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)模型的構(gòu)建。顯然,這是一個非自治的單自由度非線性系統(tǒng)。

      3 混沌的必要條件

      設(shè)向量?=[?1?2]T=[]T,則系統(tǒng)無量綱動力學(xué)方程(15)可改寫為以下狀態(tài)方程形式:

      其中向量場和攝動項的具體表達式為:

      不難看出,攝動項g(?,ν)的周期為2π,即有g(shù)(?,ν)=g(?,ν+2π)。值得注意的是,當(dāng)系統(tǒng)不考慮攝動激勵,即g(?,ν)=0 時,其為一個Hamilton 系統(tǒng),能夠計算出系統(tǒng)存在鞍點(?π 2,0)和異宿軌道:

      將以上異宿軌線代入以下Melnikov 函數(shù):

      易見,在周期時間內(nèi)ν0∈[0,2π],若系統(tǒng)滿足條件:

      則Melnikov 函數(shù)存在簡單零點。此必要條件意味著在充分小攝動下,因系統(tǒng)異宿軌道(19)破缺導(dǎo)致穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形在鞍點附近橫截相交,這可能誘發(fā)Smale 馬蹄意義下的混沌運動。

      4 數(shù)值算例

      取以下參數(shù)對繩系衛(wèi)星面外滾轉(zhuǎn)運動進行數(shù)值仿真,以揭示系統(tǒng)混沌動力學(xué)特性。主星和子星剛體質(zhì)量分別為mΜ=50 kg 和mS=50 kg,系繩線密度、長度和直徑分別為ρt=5×10?3kg/m,l=1 km 和dt=0.5×10?3m。設(shè)衛(wèi)星剛體與系繩的大氣阻尼系數(shù)皆為Cd,M(S)(t)=2.2,主星和子星剛體的迎風(fēng)面積分別為AM=1.0 m2和AS=0.3 m2,系統(tǒng)表面的鏡面反射系數(shù)和漫反射系數(shù)分別為Csr=0.8 和Cdr=0.2。

      基于解析的混沌判別式(22),對恒定面內(nèi)俯仰角、軌道傾角、軌道高度構(gòu)成的有限域內(nèi)參數(shù)(θC,i,Ho)依次取值計算,分析系統(tǒng)是否可能發(fā)生混沌,得到如圖2(a)所示混沌域,只要參數(shù)在此域內(nèi),系統(tǒng)將可能發(fā)生混沌。選取截面Γ1={(θC,i,Ho)|θC=0 }和Γ2={(θC,i,Ho)|θC=3π 8 },揭示恒定面內(nèi)俯仰角θC對混沌域的影響,如圖2(b)所示,可以看出面內(nèi)俯仰角越大混沌域越小。選取截面Γ3={(θC,i,Ho)|i=π 8 }和Γ4={(θC,i,Ho)|i=3π 8 },圖2(c)呈現(xiàn)了軌道傾角i對混沌域的影響,混沌域隨軌道傾角增大而縮小。同樣,圖2(d)為軌道高度Ho對混沌域的作用,隨著質(zhì)心軌道升高混沌域?qū)⒆兇蟆?/p>

      進一步,以子星質(zhì)量、大氣阻尼系數(shù)、漫反射系數(shù)為例,研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、大氣阻尼、太陽光壓對混沌域的影響?;诔跏荚O(shè)定參數(shù),分別將子星質(zhì)量改設(shè)為mS=40 kg、大氣阻尼系數(shù)改設(shè)為Cd,M(S)(t)=1.0、漫反射系數(shù)改設(shè)為Cdr=0.6,能夠看出圖3(a),(b),(c)與圖2(a)所示混沌域存在差異??梢园l(fā)現(xiàn),混沌域?qū)ψ有琴|(zhì)量極為敏感,大氣阻尼、太陽光壓對混沌域的影響也不可忽略,這些參數(shù)對繩系衛(wèi)星的動力學(xué)設(shè)計至關(guān)重要。

      圖2 參數(shù)(θC,i,Ho)的混沌域Fig.2 Chaotic domain governed by parameters(θC,i,Ho)

      圖3 系統(tǒng)參數(shù)對混沌域的影響Fig.3 Effect of system parameters on chaotic domain

      令系統(tǒng)的恒定面內(nèi)俯仰角、軌道傾角和軌道高度分別為θC=π 4,i=π 8 和Ho=350 km,進行動力學(xué)模擬??捎嬎愠霎?dāng)前系統(tǒng)參數(shù)位于混沌域內(nèi),即滿足混沌判別式(22),有|γ2|=1.1321×10?6<2.8554×10?6。繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的非軌道面滾轉(zhuǎn)運動數(shù)值結(jié)果如圖4所示。圖4(a)表示系統(tǒng)面外滾轉(zhuǎn)角的時間歷程,可以清楚地看到滾轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)非周期變化,故這必然是一個不規(guī)則運動。圖4(b)為滾轉(zhuǎn)運動的Poincaré 截面,能夠觀測到在不穩(wěn)定鞍點附近有大量的橫截異宿點存在,這是異宿軌道破缺所致,極易導(dǎo)致混沌發(fā)生。圖4(c)為系統(tǒng)的功率譜密度,其在(0,0.2 Hz)范圍內(nèi)存在密集的功率譜(這意味系統(tǒng)遍歷無窮多個不穩(wěn)定周期軌道),這是混沌運動的重要特征。圖4(d)為系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù),其隨無量綱時間變化且始終大于0。綜合以上結(jié)果可以判斷,當(dāng)前系統(tǒng)的面外滾轉(zhuǎn)運動具有非常明顯的混沌動力學(xué)特性。

      圖4 具有混沌特性的面外滾轉(zhuǎn)運動Fig.4 Out-of-plane roll motion with chaotic characteristics

      作為對比算例,將系統(tǒng)質(zhì)心的軌道高度改設(shè)為Ho=250 km,其他參數(shù)保持不變,則系統(tǒng)參數(shù)不再滿足混沌判別式(22),即|γ2|=9.1034×10?6>6.4413×10?6。此時,系統(tǒng)的滾轉(zhuǎn)動力學(xué)行為如圖5所示。從圖5(a)可以發(fā)現(xiàn),面外滾轉(zhuǎn)角變化看似具有一定周期性,而圖5(b)中Poincaré 截面上的閉軌線則表明此滾轉(zhuǎn)運動具有概周期特性。在圖5(c)和5(d)中,功率譜密度的幾個孤立尖峰(這意味系統(tǒng)存在固有頻率比為無理數(shù)的幾個不穩(wěn)定周期運動)和系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)最終趨于0,進一步說明系統(tǒng)做概周期運動。在此算例中,混沌現(xiàn)象沒有出現(xiàn),這與混沌判別式(22)的判定結(jié)果一致。

      圖5 具有概周期特性的面外滾轉(zhuǎn)運動Fig.5 Out-of-plane roll motion with quasi-periodic characteristics

      5 結(jié) 論

      本文通過正交方向抑制面內(nèi)俯仰角以保持繩系衛(wèi)星面內(nèi)俯仰角恒定,研究環(huán)境激勵下系統(tǒng)面外滾轉(zhuǎn)非線性特性。基于Melnikov 方法,判定穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形在鞍點附近是否可能橫截相交,推導(dǎo)出系統(tǒng)面外滾轉(zhuǎn)的混沌判別式。獲得具有動力學(xué)指導(dǎo)意義的參數(shù)混沌域,其對子星質(zhì)量等系統(tǒng)參數(shù)具有敏感性,并在域內(nèi)外分別發(fā)現(xiàn)混沌、概周期現(xiàn)象。

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