纖維增強(qiáng)FGM 梁的自由振動和臨界屈曲載荷分析

滕兆春，王偉斌，馬鈴權(quán)

（蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050）

功 能 梯 度 材 料 （Functionally graded material，F(xiàn)GM） 是一種特殊的非均勻復(fù)合材料，它是通過特定的材料制備工藝將不同性能的兩種或兩種以上材料按一定的設(shè)計規(guī)律組合起來，使材料組分按梯度連續(xù)變化的先進(jìn)復(fù)合材料，具有減緩熱應(yīng)力及應(yīng)力集中等優(yōu)異的力學(xué)性能[1]。FGM 最初設(shè)計被用做航天飛機(jī)外殼耐熱問題，后來被廣泛應(yīng)用于航空航天，能源，交通，建筑，機(jī)械，船舶，土木，生物等領(lǐng)域[2]。尤其是航天航空飛行器的設(shè)計和發(fā)展過程中，其安全性能是設(shè)計的一個重要因素。FGM 這種非均勻復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究要比均勻材料結(jié)構(gòu)相對要復(fù)雜得多，目前關(guān)于FGM 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究，也已有較多的研究成果，具體可參考Reddy、Wattanasakulpong 和Ebrahimi 等學(xué)者[3-5]的系列研究工作。最近，Ghazaryan 等[6]研究了不同邊界條件下非均勻截面FGM 梁的自由振動，計算了不同變截面FGM 梁的固有頻率響應(yīng)。Abdolhossein 等[7]研究了彈性地基上的FGM 部分充液圓柱殼在熱環(huán)境下的力學(xué)性能，得到了冪律指數(shù)、液體深度和溫度對殼的無量綱固有頻率的影響。滕兆春等[8]基于Timoshenko 梁理論，采用微分變換法（Differential transform method，DTM） 研究了彈性地基上轉(zhuǎn)動FGM梁的自由振動問題，計算并分析了不同邊界條件下轉(zhuǎn)速、彈性地基模量和梯度指數(shù)與橫向自由振動無量綱固有頻率之間的關(guān)系。林鵬程等[9]應(yīng)用微分求積法（DQM）研究了熱沖擊下軸向運(yùn)動FGM 梁的自由振動，考慮了不同熱沖擊載荷、梯度指數(shù)和軸向運(yùn)動無量綱速度對FGM 梁自振頻率的影響。Gupta等[10]應(yīng)用非多項式高階剪切和法向變形理論，研究了不同邊界條件、幾何條件、微觀力學(xué)模型和地基參數(shù)下FGM 板的彎曲和振動響應(yīng)。蔣偉男等[11]基于3 階剪切理論提出考慮橫向拉伸影響的位移場，研究了具有簡支和固支邊界條件的FGM 夾層矩形板的自由振動問題。李萬春等[12]用傳遞矩陣法（TMM）對變曲率FGM 拱的面內(nèi)自由振動固有頻率特性進(jìn)行了分析。

在基體中加入顆粒、短纖維或長纖維等而形成的增強(qiáng)復(fù)合材料因具有更好的強(qiáng)度和剛度一直受到人們的關(guān)注并在工程實(shí)際中大量使用，也已有一些學(xué)者開始對增強(qiáng)FGM 結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究工作。賀丹等[13]基于一種新的各向異性修正偶應(yīng)力理論，研究了碳納米管增強(qiáng)型復(fù)合材料功能梯度板的自由振動模型與尺度效應(yīng)，討論了板的幾何尺寸，碳納米管體分比含量和分布方式對板的自由振動頻率的影響。李曉倩等[14]基于修正的Halpin-Tsai 模型，估算了石墨烯納米材料復(fù)合材料的楊氏模量和剪切楊氏模量，進(jìn)而研究了溫度場下石墨烯增強(qiáng)功能梯度梁的主共振行為分析。Nejati 等[15]在穩(wěn)態(tài)熱環(huán)境下纖維增強(qiáng)的功能梯度板的自由振動。Shen 等[16]研究了熱環(huán)境下彈性地基碳納米管復(fù)合材料梁的非線性分析。Yas 等[17]考慮了4 種不同的碳納米管分布，研究了彈性地基上碳納米管增強(qiáng)Timoshenko 復(fù)合材料梁的自由振動與屈曲。Thomas 等[18]等基于Mori-Tanaka 模型研究了任意取向碳納米管增強(qiáng)功能梯度納米復(fù)合梁的有限元建模及自由振動，通過引入不同厚度方向的SWCNTs 分布來改善均勻功能梯度納米復(fù)合材料梁的固有頻率和動力學(xué)響應(yīng)。

作為一種優(yōu)異的熱障材料，F(xiàn)GM 一般是由陶瓷和金屬材料復(fù)合而成。為提高FGM 結(jié)構(gòu)的斷裂韌性，可在FGM 基體中植入均勻或非均勻分布的連續(xù)纖維增強(qiáng)而形成功能梯度復(fù)合材料[19]。目前，關(guān)于纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中基體由兩相材料構(gòu)成且為功能梯度材料的力學(xué)行為研究在國內(nèi)外鮮見有文獻(xiàn)報道。本文基于經(jīng)典梁（CBT）理論，考慮將FGM梁作為基體進(jìn)行均勻分布的纖維增強(qiáng)，由指數(shù)模型和混合率公式計算纖維增強(qiáng)FGM 梁的等效物性參數(shù)，使用Hamilton 原理導(dǎo)出軸向力作用下纖維增強(qiáng)FGM 梁橫向自由振動和臨界屈曲載荷的控制微分方程，再利用微分變換法（DTM）對梁的控制微分方程和邊界條件進(jìn)行變換，得到求解纖維增強(qiáng)FGM梁無量綱固有頻率和臨界屈曲載荷的代數(shù)特征方程。退化為無纖維的各向同性梁和FGM 梁，并與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗證本文方法的有效性?？紤]并分析了不同邊界條件下剛度比、無量綱壓載荷、纖維體積分?jǐn)?shù)、對纖維增強(qiáng)FGM 梁橫向自由振動固有頻率的影響以及各參數(shù)對臨界屈曲載荷的影響。

1 數(shù)學(xué)模型及材料物性參數(shù)的描述

考慮一纖維增強(qiáng)FGM 梁，建立如圖1 所示的笛卡爾三維坐標(biāo)系 xy z。梁長為L，寬為b，高為h，其中彈性模量為E，密度為ρ，梁兩端受初始軸向壓載荷N。

圖 1 纖維增強(qiáng)FGM 梁的幾何描述

對于纖維增強(qiáng)FGM 的物性參數(shù)可由混合率公式[20]表示為

基體FGM 的物性參數(shù)則由指數(shù)模型給出[21]，即

式中：P 為彈性模量和密度；V 為體積分?jǐn)?shù)；下標(biāo)F 表示FGM 基體，c 表示陶瓷；m 表示金屬；f 表示纖維，其中

2 控制微分方程及參數(shù)的無量綱化

對纖維增強(qiáng)FGM 梁，采用Hamilton 原理，則

式中： T、 U和 V分別為系統(tǒng)的動能、應(yīng)變能和外力勢能； δ為變分符號； t1和 t2為時間。在經(jīng)典梁理論（CBT）下，纖維增強(qiáng)FGM 梁中T、U 和V 的表達(dá)式分別為：

式中：t為時間； u和 w分別為纖維增強(qiáng)FGM 梁上一點(diǎn)在 x方向和 z方向的位移。其它系數(shù)A1、B1、D1、I1、I2和I3分別為：

式中： A1為拉伸剛度系數(shù)； B1為拉-彎耦合剛度系數(shù)；D1為彎曲剛度系數(shù)；I=bh3/12為截面慣性矩，A=bh為橫截面面積。其中6 個無量綱系數(shù)表示為：

將式（4）～式（6）代入式（3），應(yīng)用變分原理，并忽略因橫向彎曲產(chǎn)生的縱向和轉(zhuǎn)動慣性力?？梢缘玫嚼w維增強(qiáng)FGM 梁關(guān)于u 與w 的兩個運(yùn)動控制微分方程為：

聯(lián)立式（7）和式（8）消去軸向位移，可以得到

對纖維增強(qiáng)FGM 梁的簡諧運(yùn)動，可令

式中： Ω為無量綱固有頻率； N*為無量綱壓載荷。由此可以得到纖維增強(qiáng)FGM 梁關(guān)于無量綱固頻率Ω的特征方程為

另由彈性穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)屈曲載荷使得系統(tǒng)發(fā)生屈曲失穩(wěn)時，其固有頻率將變?yōu)榱恪９适剑?1）中Ω=0時，其也可以表示纖維增強(qiáng)FGM 梁屈曲時關(guān)于無量綱臨界屈曲載荷 Ncr的特征方程。

對于纖維增強(qiáng)FGM 梁在ξ=0和ξ=1處的邊界條件如下：

固定（C）

簡支（S）

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

微分變換法（DTM）是一種將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程有效的半解析法，它是基于Taylor 級數(shù)展開進(jìn)而求解微分方程，非常適合計算機(jī)編程計算，一些研究結(jié)果[2,6,8]都很好地驗證了該方法在求解微分方程特征值問題時的實(shí)用性和有效性。運(yùn)用 DTM對纖維增強(qiáng)FGM 梁自由振動和臨界屈曲載荷的控制方程進(jìn)行求解時，首先需要將其無量綱控制微分方程和邊界條件經(jīng) DTM 變換為相應(yīng)的代數(shù)特征方程，其具體變換過程可參考文獻(xiàn)[2]。這里用F 表示經(jīng)DTM 變換后的函數(shù)，則纖維增強(qiáng)FGM 梁自由振動和臨界屈曲載荷的控制微分方程（11）經(jīng)DTM 變換后為：

對邊界條件也進(jìn)行DTM 變換：

在ξ=0處：

在ξ=1處：

固定（C）:

簡支（S）:

4 計算結(jié)果及分析

邊界條件式（15）～式（18）和DTM 變換后的纖維增強(qiáng)FGM 梁自由振動和臨界屈曲載荷的代數(shù)特征方程（14）進(jìn)行迭代求解即可得到不同邊界條件下纖維增強(qiáng)FGM 梁橫向自由振動的無量綱固有頻率和無量綱臨界屈曲載荷。通過MATLAB 編程進(jìn)行計算過程如下：

算例 碳纖維、陶瓷和金屬的物性參數(shù)[20-21]：Ef=400 GPa，ρf=1 800 kg/m3，Ec=380 GPa，ρc=3 800 kg/m3， Em=70 GPa，ρm=2 780 kg/m3。

表1 給出了 C-C、C-S 和S-S 邊界條件下，控制微分方程退化為各向同性梁，即剛度比Pc/Pm=1情況下，計算了前5 階無量綱固有頻率并和文獻(xiàn)[21]的精確解做了比較。由表1 可知，結(jié)果完全吻合，驗證了計算模型的準(zhǔn)確性及求解方法的有效性。

表1 不同邊界條件各向同性材料梁的無量綱固有頻率

表2 給出了 C-C、C-S 和S-S 邊界條件下，在不同剛度比下，控制微分方程退化為FGM 梁，應(yīng)用DTM計算了其前五階無量綱固有頻率，并和文獻(xiàn)[21]的精確解結(jié)果做了比較。由表2 可知，結(jié)果也完全吻合，可以看出DTM 計算精度滿足要求，說明了DTM對于研究本問題的適用性。

表2 不同邊界條件下FGM 梁無量綱固有頻率

圖2 分別反映了當(dāng)Vf=0．1， N*=0時，在C-C、C-S 和S-S 這3 種不同邊界下，剛度比Pc/Pm與前5 階無量綱固有頻率Ω 的關(guān)系曲線。結(jié)果顯示：由于剛度比 Pc/Pm的取值是從1 到200 之間，在邊界條件一定情況下，隨著剛度比Pc/Pm的增大，纖維增強(qiáng)FGM 梁的前5 階無量綱固有頻率整體在減小后基本趨于不變，當(dāng)剛度比Pc/Pm在小值范圍取值時，無量綱固有頻率減小趨勢很劇烈，當(dāng) Pc/Pm在較大值范圍取值時，無量綱固有頻率變化趨于平緩，此時剛度比的大小反映功能梯度的特性，并合理的解釋了FGM 中陶瓷材料向金屬材料過渡的特性。并且，當(dāng)Pc/Pm的值一定時，邊界約束越強(qiáng)，無量綱固有頻率越大，即：C-C 邊界無量綱固有頻率＞C-S 邊界無量綱固有頻率＞S-S 邊界無量綱固有頻率。

圖 2 不同邊界條件下剛度比Pc/Pm對纖維增強(qiáng)FGM 梁前5 階固有頻率的影響

圖3 刻畫了當(dāng) Pc/Pm=2 ， N*=0時，在C-C、 C-S和S-S 這3 種不同邊界條件下，纖維的體積分?jǐn)?shù)Vf與無量綱固有頻率 Ω的關(guān)系曲線。結(jié)果表明：在CC、C-S 和S-S 邊界條件下，隨著纖維體積分?jǐn)?shù)Vf的增大，纖維增強(qiáng)FGM 梁的前3 階無量綱固有頻率Ω在線性增大。還能看出，前3 階無量綱固有頻率隨碳纖維體積分?jǐn)?shù)的增大變化較小，但可以說明纖維體積含量對功能梯度材料梁的無量綱固有頻率是有影響的。另外，當(dāng)Vf的值一定時，同樣邊界約束條件越強(qiáng)，無量綱固有頻率越大。即：C-C 邊界無量綱固有頻率＞C-S 邊界無量綱固有頻率＞S-S 邊界無量綱固有頻率。

圖 3 不同邊界條件下纖維體積分?jǐn)?shù)Vf 對纖維增強(qiáng)FGM 梁前3 階無量綱固有頻率的影響

圖4 為在C-C、C-S 和S-S 這3 種不同邊界條件下取無量綱固有頻率 Ω為零時，對應(yīng)的最小載荷值即為臨界屈曲載荷。取 Vf=0．1，分析了不同剛度比Pc/Pm對無量綱臨界屈曲載荷 Ncr的影響。隨著剛度比 Pc/Pm的增大無量綱臨界載荷增大，并且邊界條件約束越強(qiáng)，無量綱臨界屈曲載荷越大，即：C-C邊界無量綱臨界載荷＞C-S邊界無量綱臨界載荷＞S-S邊界無量綱臨界載荷。

圖4不同邊界下剛度比P c/Pm對無量綱臨界屈曲載荷的影響

圖5 為在C-C、C-S和S-S這3種不同邊界下，取Pc/Pm=2，給出了增強(qiáng)纖維的體積分?jǐn)?shù)Vf和無量綱臨界屈曲載荷 Ncr的關(guān)系曲線。由圖5可見，隨著纖維體積分?jǐn)?shù)Vf的增大無量綱臨界載荷在線性增大，說明纖維的加入對臨界屈曲載荷有明顯的影響，并且邊界條件約束越強(qiáng)，無量綱臨界屈曲載荷越大，即：C-C 邊界無量綱臨界載荷＞C-S邊界無量綱臨界載荷＞S-S邊界無量綱臨界載荷。

圖5不同邊界條件下纖維體積分?jǐn)?shù)和無量綱臨界屈曲載荷的關(guān)系曲線

圖6 為在C-C、C-S和S-S這3種不同邊界下，取Pc/Pm=2，在Vf=0 和Vf=0．2時，研究了無量綱壓載荷對一階無量綱固有頻率的影響，分別得到了有、無纖維增強(qiáng)時對FGM梁的無量綱固有頻率Ω1（即基頻）的影響曲線。結(jié)果顯示，無量綱固有頻率隨無量綱壓載荷 N*的增大而減小，且邊界條件約束越強(qiáng)，無量綱固有頻率越大，即：C-C 邊界無量綱臨界載荷＞C-S邊界無量綱臨界載荷＞S-S邊界無量綱臨界載荷。同時，當(dāng)無量綱載荷一定時，在同種邊界下，有纖維增強(qiáng)的無量綱固有頻率大于無纖維增強(qiáng)的無量綱固有頻率，說明纖維的加入FGM的振動特性有明顯的影響。

圖6 不同邊界條件和不同纖維體積分?jǐn)?shù)下無量綱壓載荷對一階無量綱固有頻率的影響

5 結(jié)論

1）在纖維體積分?jǐn)?shù)Vf和無量綱載荷 N*一定時，纖維增強(qiáng)FGM梁在C-C、C-S和S-S這3種不同邊界條件下，隨著剛度比 Pc/Pm的增大，無量綱固有頻率 Ω減小后趨于不變，合理的解釋了FGM中陶瓷材料向金屬材料過過渡的特性，而無量綱臨界載荷Ncr增大，同時，邊界約束越強(qiáng)，無量綱固有頻率和無量綱臨界載荷越大。

2）在剛度比 Pc/Pm和無量綱載荷 N*一定時，在C-C、C-S和S-S這3種邊界下，纖維增強(qiáng)FGM梁都有共性，無量綱固有頻率 Ω和無量綱臨界載荷都是隨著Vf的增大而線性增大，且隨無量綱固有頻率變化較為緩慢，同時，邊界約束越強(qiáng)，無量綱固有頻率和無量綱臨界載荷越大。

3）在剛度比Pc/Pm和纖維體積分?jǐn)?shù)Vf一定時，在C-C、C-S和S-S這3種邊界下，1階無量綱固有頻率Ω1都是隨著無量綱載荷增大而減小，而邊界約束越強(qiáng)，無量綱固有頻率越大，同時有纖維增強(qiáng)比無纖維的無量綱固有頻率要大。