雙函數(shù)中任意性與存在性問題探究

■袁滿成

函數(shù)中的任意性與存在性問題,是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,滲透著化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,一直是高考命題的熱點(diǎn),也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這類問題既有單一函數(shù)的任意性與存在性問題,也有雙函數(shù)中的任意性與存在性問題,同時(shí)變量也涉及單變量與雙變量。下面就雙函數(shù)中的任意性與存在性問題進(jìn)行探究,意在拋磚引玉。

一、雙函數(shù)、單變量的任意性與存在性問題

雙函數(shù)、單變量的任意性與存在性問題,需要優(yōu)先考慮分離參數(shù)法,并轉(zhuǎn)化為最值(或臨界值)進(jìn)行研究,但要注意利用的最值(或臨界值)正好是相反的。當(dāng)分離參數(shù)構(gòu)造所得函數(shù)的最值不好求時(shí),可以利用作差、分類討論的方法進(jìn)行解決。

例1已知函數(shù)f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2),其中a＞0且a≠1,t∈R。當(dāng)0＜a＜1,且x∈時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

評(píng)析:若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需滿足f(x)min≥a或g(x)max≤a,求出函數(shù)f(x)的最小值或函數(shù)g(x)的最大值即可解決問題。

例2已知函數(shù)h(x)=2x-1,g(x)=m(x2-1),問是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式h(x)＞g(x)對(duì)任意的x∈[-2,2]恒成立。

解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得不等式h(x)＞g(x)對(duì)任意的x∈[-2,2]恒成立。令函數(shù)f(x)=h(x)-g(x)=2x-1-m(x2-1)=-mx2+2x+m-1,x∈[-2,2],要使不等式h(x)＞g(x)對(duì)任意x∈[-2,2]恒成立,即f(x)＞0對(duì)x∈[-2,2]恒成立。當(dāng)m=0 時(shí),f(x)=2x-1,在-2≤x≤上,f(x)≤0,在＜x≤2 上,f(x)＞0,可知不滿足題意;當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(x)只需滿足據(jù)此代入化簡(jiǎn)整理得所以m∈?。故不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式h(x)＞g(x)對(duì)任意的x∈[-2,2]恒成立。

評(píng)析:對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式,常用分類討論法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或最值,求得參數(shù)的取值范圍。

二、雙函數(shù)、雙變量的任意性與存在性問題

雙函數(shù)、雙變量的任意性與存在性問題,通常是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系)進(jìn)行研究。

例3已知函數(shù)f(x)=+x,函數(shù)g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:因?yàn)閒(x),g(x)在[0,2]上都是增函數(shù),所以f(x)的值域A=[0,4],g(x)的值域B=[-a,ln3-a]。若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)＞g(x2),則f(x)max＞g(x)min,即4＞-a,所以a＞-4。故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,+∞)。

評(píng)析:對(duì)任意的x1∈A,任意的x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),則f(x)max≤g(x)min。對(duì)任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≤g(x2),則f(x)max≤g(x)max。對(duì)任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)≥g(x2),則f(x)min≥g(x)min。

例4已知函數(shù)f(x)=2x+ax2(a＞0),函數(shù)g(x)=x2-4x+1。若對(duì)任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

解:函數(shù)g(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,因?yàn)閤2∈[-1,2],所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)锽=[-3,6]。

任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),可設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)锳。因?yàn)锽=[-3,6],所以A?B。因?yàn)?x＞0,ax2≥0,所以f(x)=2x+ax2＞0在[-1,2]上恒成立。因?yàn)閒(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最大值為f(2)=4+4a,所以4+4a≤6,可得a≤。又a＞0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

評(píng)析:對(duì)任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)=g(x2),則f(x)的值域是g(x)值域的子集,即f(A)?g(B)。

1.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|+|x+1|,g(x)=x+2。若對(duì)?x∈[1,2],不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

提示:當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式f(x)≤g(x)恒成立,即|ax-1|≤1對(duì)?x∈[1,2]恒成立。當(dāng)a=0時(shí),顯然成立;當(dāng)a＞0時(shí),由|ax-1|≤1,可得0≤x≤,要使|ax-1|≤1對(duì)?x∈[1,2]恒成立,則≥2,可得a≤1,所以0＜a≤1;當(dāng)a＜0 時(shí),由|ax-1|≤1,可得≤x≤0,顯然對(duì)?x∈[1,2],|ax-1|≤1不成立。綜上可得,a的取值范圍為[0,1]。

或者,構(gòu)造函數(shù)h(x)=|ax-1|,x∈[1,2],則解得0≤a≤1。故實(shí)數(shù)a∈[0,1]。

2.已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若對(duì)?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

提示:當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min=f(0)=0,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),g(x)min=g(2)=-m。?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)min≥g(x)min,所以0≥-m,即m≥,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

3.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),對(duì)任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),則a的取值范圍是____。

提示:由x∈[-1,2],f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a＞0),可得f(x)的值域?yàn)閇-1,3],g(x)的值域是[-a+2,2a+2]。因?yàn)閷?duì)任意的x1∈[-1,2],存在x2∈[-1,2],使得g(x1)=f(x2),所以f(x)的值域包含g(x)的值域,即[-a+2,2a+2]?[-1,3],則-1≤-a+2＜2a+2≤3,解得0＜a≤,即a∈。