利用函數(shù)模型解決實際問題的策略

■徐春宇

函數(shù)模型可以清晰地刻畫實際問題中變量之間存在的聯(lián)系。下面從函數(shù)模型的應用、函數(shù)模型的選擇以及函數(shù)模型的構造等方面,幫助同學們學會合理地利用函數(shù)模型解決實際問題。

題型1:應用所給函數(shù)模型解決實際問題

此類題型的解題策略是先利用已知數(shù)據(jù)得出函數(shù)模型中的未知數(shù),再把題目要求的數(shù)值代入完整的函數(shù)模型,即可求解。

例1某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放,規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.5%。已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:mg/L)與過濾時間t(單位:h)之間的函數(shù)關系為P=P0·e-kt(k為常數(shù),P0為原污染物總量)。若前4h廢氣中的污染物被過濾掉了80%,那么要使廢氣能夠按規(guī)定排放,還需要過濾nh,則正整數(shù)n的最小值為____。(參考數(shù)據(jù):log52≈0.43)

解:由題目中已知信息可知,工廠前4h過濾了80%的廢氣污染物。已知污染物殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)模型為P=P0·e-kt,所以前4h 還剩下(1-80%)=20%的未過濾污染物,所以(1-80%)P0=P0e-4k,可得0.2=e-4k,即-4k=ln0.2==ln(5-1)=-ln5,所以k=。

因為規(guī)定污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.5%,所以0.5%P0≥P0e-kt,所以0.005≥e-kt。由k=,可得ln0.005≥,即-ln200≥,所以t≥=4log5200=8+12log52=8+12×0.43≈13.16,所以t≥13.16(t為正整數(shù)),可得t最小為14。故正整數(shù)n(過濾時間t)的最小值為14-4=10。

評析:此題提供了實際問題的函數(shù)模型以及部分數(shù)據(jù),解題的關鍵是理解函數(shù)模型中變量的實際含義。

題型2:選擇函數(shù)模型解決實際問題

此類題型的解題策略是分析題目中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,結合不同函數(shù)模型的特征,從已知的函數(shù)模型中選擇最切合實際問題情境的函數(shù)模型。

例2某廠家為增加某種商品的銷售量,決定增加廣告投入費用,據(jù)市場調(diào)查,增加的銷售量x(單位:千件)與廣告投入費用H(x)(單位:萬元)滿足表1所示的數(shù)據(jù)(其中0≤x≤16)。

表1

為了描述增加的銷售量與投入廣告費用的關系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:H(x)=ax3+bx2+cx,H(x)=0.5x+a,H(x)=klogax+b(a,b,c∈R)。

(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型,并求出相應的函數(shù)解析式。

(2)你認為銷售量增加達到多少時,才能使每千件的廣告費用最少?

解:(1)函數(shù)模型H(x)=0.5x+a是遞減函數(shù),由已知數(shù)據(jù)對應遞增函數(shù)模型,可知函數(shù)模型H(x)=0.5x+a與已知數(shù)據(jù)不符合。函數(shù)模型H(x)=klogax+b在x=0處無意義,故也不符合題意。

對于函數(shù)模型H(x)=ax3+bx2+cx,它的遞增或遞減性由常數(shù)a,b和c決定,故是最合適的函數(shù)模型。

將表中的數(shù)據(jù)(1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入H(x)=ax3+bx2+cx,化簡整理可得方程組由此解得故H(x)=0.002x3-0.05x2+0.5x(0≤x≤16)。

(2)設每千件的廣告費用為W,則關于W的函數(shù)模型為W(x)==0.002x2-0.05x+0.5。易得對稱軸方程x=12.5。當x=12.5 時,W(x)有最小值為W(12.5)=0.1875,所以當銷售量增加達到12.5 千件時,每千件的廣告費用最少。

評析:在選擇函數(shù)模型時,可以對比已知數(shù)據(jù)和函數(shù)模型的變化模式或變化趨勢。選擇的函數(shù)模型在某些特定點處要符合實際,如題中當x=0時函數(shù)所表示的意義。

題型3:構造函數(shù)模型解決實際問題

此類題型是較為復雜的函數(shù)應用題,通常會描述一個實際生活情境并提供實際問題中變量的具體數(shù)值或代表的未知數(shù),要求挑選合適的變量,構建函數(shù)模型,并且利用構建好的函數(shù)模型進行答題。

例3如圖1,某單位在精準扶貧活動中,給一戶結對幫扶的貧困家庭贈送M、N兩種經(jīng)濟作物的種子,并在三角形地塊OAB中劃出一部分來種植M種子,其余部分種植N種子。已知該地塊OA的長為70m,OB的長為50 m,邊OA上的高為40m?！鱋AB位于直線x=t(0≤t≤70)左側的地用來種植M種子,每平方米盈利元;右側的地用來種植N種子,每平方米盈利30元。記△OAB位于直線x=t(0≤t≤70)左側的圖形的面積為f(t)。

圖4

(1)求函數(shù)f(t)的解析式。

(2)設該農(nóng)戶種植M、N兩種經(jīng)濟作物的盈利總和為S元,求S的最大值。

解:(1)由題意可知點B(30,40),可得直線OB的方程為。同理可得直線AB的方程為y=70-x。

綜上所述,當t=5時,總盈利S取最大值42500元。

評析:本題主要考查分段函數(shù)模型在實際問題中的應用。對于第(2)問,當30＜t≤70時,如果把S=+42000展開,表達式比較復雜,最值不易求出,這時需要整體觀察+70t-1050的幾何意義,從而得出S＜42000＜42500,這樣就避免了復雜計算,使得解題過程簡單明了。