推廣的Su-Schrieffer-Heeger模型的拓?fù)湎鄨D及其表征拓?fù)湎嗟挠邢蕹叨饶茏V和邊界模

杜 濤，李躍勛，陸赫林，章 暉

(云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

拓?fù)洳蛔兞渴峭負(fù)浣^緣體[1-3]拓?fù)湎嗟谋碚髁?；雖然有不同類型的拓?fù)洳蛔兞?，如陳?shù)或TKNN數(shù)[4]、Z2拓?fù)洳蛔兞縖5]等，但其本質(zhì)上都來源于固體體能帶的不為零的Berry相[6].若系統(tǒng)的拓?fù)湎?包括拓?fù)淦接购头瞧接瓜?的拓?fù)洳蛔兞堪l(fā)生了變化，則稱系統(tǒng)發(fā)生了拓?fù)湎嘧?體能帶是固體系統(tǒng)在周期邊界條件即考慮系統(tǒng)是無限大且具有平移對(duì)稱性的情形下得到的在布里淵區(qū)上的關(guān)于動(dòng)量(或波矢)與能量的所謂色散關(guān)系，因此反映的是固體的內(nèi)部或塊的性質(zhì).如果要研究固體系統(tǒng)的邊界性質(zhì)，需要使得所考慮的固體系統(tǒng)成為一個(gè)有限尺度系統(tǒng)，此時(shí)的邊界條件成為開邊界條件.在開邊界條件下，系統(tǒng)的平移對(duì)稱性破缺，動(dòng)量或波矢不再是好量子數(shù)，我們得到的將不再是體能帶而是系統(tǒng)的有限尺度能譜.對(duì)于在開邊界條件下具有不平庸拓?fù)鋵傩缘墓腆w系統(tǒng)，雖然不能由體能帶給出其拓?fù)洳蛔兞?，但這類固體系統(tǒng)的非平庸特性依然存在，其必然表現(xiàn)在它們的有限尺度能譜上.另一方面，由于體——邊對(duì)應(yīng)原理(bulk-edge correspondence)[7]，由拓?fù)洳蛔兞勘碚鞯倪@類拓?fù)涔腆w系統(tǒng)的非平庸特性必然體現(xiàn)在其有限尺度系統(tǒng)的邊界上.基于以上兩點(diǎn)，我們可以反過來考慮，即利用系統(tǒng)的有限尺度能譜和邊界模來表征這類固體系統(tǒng)的不同的拓?fù)湎嘁约斑M(jìn)一步地，由他們的變化來揭示系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?

拓?fù)涔腆w系統(tǒng)的一個(gè)較為簡單的模型是一維Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型[8]，其具有不為零的Zak相[9]——特指參數(shù)空間為布里淵區(qū)的Berry相.一維SSH模型的提出最初是用來解釋聚乙炔材料中的孤子激發(fā)，并未涉及其具有的拓?fù)湮镄?當(dāng)拓?fù)浣^緣體的研究成為熱點(diǎn)后，這一模型隨即成為了拓?fù)浣^緣體研究的典型對(duì)象[10].目前的一些研究已經(jīng)推廣了這一模型并得到了其較為復(fù)雜的拓?fù)湎鄨D[11-15].業(yè)已證明[16]，一維SSH模型中若其哈密頓量中含有超越緊束縛項(xiàng)的長程電子跳躍項(xiàng)，系統(tǒng)將存在具有更大拓?fù)洳蛔兞康耐負(fù)浞瞧接瓜?本文研究的第一個(gè)目的是欲在空間維度及長程電子跳躍方面推廣原有的一維SSH模型，即考慮兩條耦合的具有長程電子跳躍的SSH鏈.目前這一推廣模型還沒有人對(duì)其做詳細(xì)討論，我們的研究將較全面地揭示其具有的較大拓?fù)洳蛔兞康耐負(fù)浞瞧接瓜嗪推漭^為復(fù)雜的相圖，為更高空間維度上的推廣的SSH模型在其拓?fù)湎?、拓?fù)湎嘧兡酥量赡艽嬖诘母唠A拓?fù)浣^緣體相等方面的研究提供一定的基礎(chǔ).第二個(gè)目的是想從有限尺度能譜和邊界模的視角來研究該系統(tǒng)的拓?fù)湎嗉跋嘧?，并?duì)其進(jìn)行表征.因?yàn)閷?duì)于一些高階拓?fù)浞瞧接瓜?，如拓?fù)浔诮菓B(tài) (topological corner state)[17], 其只存在于有限尺度系統(tǒng)中，我們的研究希望能使得這一研究視角可以為這類高階拓?fù)浞瞧接瓜嗟挠懻撎峁┮恍┲档媒梃b的參考.

1 推廣的Su-Schrieffer-Heeger模型及其拓?fù)湎鄨D

1.1 具有長程電子跳躍項(xiàng)的SSH耦合鏈

最簡單的一維SSH模型(下文中稱之為基本的SSH模型)為一維晶格上只含最近鄰電子跳躍(hopping)項(xiàng)且其強(qiáng)度強(qiáng)弱交替的緊束縛電子模型.由于這一電子跳躍強(qiáng)度的排列，該模型的晶格結(jié)構(gòu)含兩套子晶格，即一個(gè)晶格原胞中包含有兩個(gè)晶格格點(diǎn).當(dāng)原胞間的跳躍強(qiáng)度大于原胞內(nèi)跳躍強(qiáng)度時(shí)，模型為拓?fù)浣^緣體，其拓?fù)洳蛔兞坑刹粸榱愕腪ak相給出.反之，模型為普通絕緣體，其Zak相為零.原胞間的電子跳躍強(qiáng)度和原胞內(nèi)的電子跳躍強(qiáng)度相等即為一個(gè)拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)；此時(shí)的SSH模型為最簡單的單原子鏈上的緊束縛電子模型，且其體能帶的能隙閉合.我們推廣這一模型使之包含兩個(gè)保證系統(tǒng)手征對(duì)稱性的第三近鄰電子跳躍項(xiàng)，并且在空間維度上將其擴(kuò)展，將兩條這樣的SSH鏈耦合起來.推廣后的模型的哈密頓量為：

(1)

圖1 推廣的SSH耦合鏈的晶格結(jié)構(gòu)

紅色框表示一個(gè)原胞，晶格常數(shù)為a.A,B,C,D分別標(biāo)記4個(gè)子晶格，電子跳躍強(qiáng)度及鏈耦合強(qiáng)度已標(biāo)記于圖中.

H=ψ?Hkψ.

(2)

在下塘電站巖體附近施測的5線綜合物探剖面較明顯地反映出F2、F3斷層和已知銀鉛鋅礦體的存在(圖4、6)，礦體產(chǎn)于高、低阻急劇變化的F3斷裂帶上，CSAMT剖面較清晰地顯示出深部高阻隱伏巖體和低阻隱爆角礫巖的空間形態(tài)，隱伏巖體主體埋深均在-300m標(biāo)高以下，隱爆角礫巖呈陡產(chǎn)狀產(chǎn)于F2和F3斷裂之間。

(3)

其中ρ(k)=(t+δt)+(t-δt)e-ika+t12eika+t21e-i2ka=|ρ(k)|eiφ(k).該哈密頓量(矩陣)可解析得到其本征值為E=s1|ρ(k)|+s2λ的本征矢量：u=(1/2)(1,s1e-iφ(k),s2,s1s2e-iφ(k))T，其中，s1,s2=±1.本文中，將用(s1,s2)來標(biāo)記這4個(gè)本征態(tài)或能帶.將要討論的推廣的SSH耦合鏈的拓?fù)湫再|(zhì)將決定于能帶的本征波函數(shù)在布里淵區(qū)上具有的非平庸的Berry相.需要強(qiáng)調(diào)的是，這里的本征矢量u的表達(dá)式是在SSH鏈之間的耦合強(qiáng)度λ不是很大的情況下得到的.對(duì)于大λ極限，能帶的色散即帶寬可忽略不計(jì)，相應(yīng)能帶的本征矢量將越來越與波矢無關(guān)，這將導(dǎo)致平庸的Berry相，從而使得系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩韵?因此，本文討論的范圍僅限于SSH鏈間的耦合不是特別大的情況.我們是在系統(tǒng)能帶具有潛在的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的前提下，研究長程電子跳躍對(duì)系統(tǒng)拓?fù)鋵傩缘挠绊?

1.2 拓?fù)湎鄨D

推廣的SSH模型的拓?fù)鋵傩詠碓从谄浔浑娮诱紦?jù)的能帶所具有的不平庸Zak相，Zak相的定義為[9,18]：

(4)

其中，um為模型布洛赫哈密頓量(矩陣)的本征值為Em的本征矢量，即第m能帶的本征矢量；式中的求和遍歷被電子占據(jù)的能帶.由式(3)的本征問題解，可直接計(jì)算得到Zak相，其結(jié)果為：

(5)

其中Nocc為被電子占據(jù)的能帶數(shù)目.由Zak相γ的計(jì)算可得到模型在參數(shù)δt，λ，t12和t21的不同范圍內(nèi)具有的拓?fù)淦接够虿黄接瓜?，相邊界由如下方程所決定：

2δt-t12+t21=0,

(6)

2t+t12+t21=0,

(7)

t21[(t+δt)-t21]=t12[(t-δt)-t12].

(8)

從該組方程來看，SSH鏈之間的耦合并不影響模型的拓?fù)鋵傩?正如上一小節(jié)最后所述，這是在鏈間耦合強(qiáng)度λ不大的前提下來說的).雖然鏈耦合不影響相邊界，不過其仍會(huì)影響系統(tǒng)的能量分布，下一節(jié)中將會(huì)討論其在系統(tǒng)有限尺度能譜上的影響.

由相邊界(6)式～(8)式及Zak相的計(jì)算，可得到推廣的SSH耦合鏈的拓?fù)湎鄨D.在基本的SSH模型即t12=t21=0的情形下，如在上一小節(jié)中所述，δt=0為其拓?fù)湎嘧凕c(diǎn).當(dāng)δt>0時(shí)，系統(tǒng)處于Zak相為零的拓?fù)淦接瓜?；?dāng)δt<0時(shí)，系統(tǒng)處于Zak相不為零的拓?fù)浞瞧接瓜?在引入長程電子跳躍后，系統(tǒng)將具有豐富的拓?fù)湎嗪透鼜?fù)雜的相圖.模型在δt的三種情形下在t12-t21參數(shù)空間中的相圖如圖2所示.在此處及以后的計(jì)算中，我們將參數(shù)t設(shè)定為歸一化因子，并令其為1，作為系統(tǒng)的能標(biāo).相圖中Zak相γ的取值都是在電子占據(jù)為半滿即Nocc=2的情形下得到的.

圖2 推廣的SSH耦合鏈的拓?fù)湎鄨D

相圖只考慮了參數(shù)t12及t21都不為負(fù)的情形.因此，式(7)所給出的相邊界并不在此處給出的相圖中.

2 有限尺度能譜及邊界模

上一節(jié)我們在周期邊界條件下得到了模型的四個(gè)能帶，并通過計(jì)算能帶的Zak相得到了包含大拓?fù)洳蛔兞康耐負(fù)浞瞧接瓜嘣趦?nèi)的拓?fù)湎鄨D.對(duì)于開邊界條件或者考慮模型在有限尺度晶格上的情形，相圖中不同的拓?fù)湎鄬?huì)對(duì)應(yīng)著不同的有限尺度能譜結(jié)構(gòu).另外，由體——邊對(duì)應(yīng)原理，系統(tǒng)不同的體或塊性質(zhì)(由拓?fù)洳蛔兞矿w現(xiàn))對(duì)應(yīng)著不同的邊界屬性，我們應(yīng)該可以得到不同的拓?fù)湎嗑哂械倪吔缒?這樣，實(shí)際上我們就可以用不同的有限尺度能譜和邊界模表征不同的拓?fù)湎?對(duì)于拓?fù)湎嘧?，上?jié)中我們已經(jīng)通過Zak相的變化得到了各拓?fù)湎嘀g的相邊界.在本節(jié)中，我們將從不同的拓?fù)湎鄬?duì)應(yīng)著的有限尺度能譜及邊界模的變化至少在定性的水平上得到這些相邊界.

2.1 有限尺度能譜及能譜能隙中的簡并帶

2.1.1λ=0情形

采用開邊界條件，系統(tǒng)的哈密頓量將在有限尺度的實(shí)空間寫出，推廣的含長程電子跳躍項(xiàng)的耦合SSH鏈的哈密頓量為：

H=ψ?Hfiniteψ.

(9)

圖3 δt<0 (δt=-0.5)情形下兩條脫耦SSH鏈的有限尺度能譜，晶格的原胞數(shù)為N=100

基本的SSH模型，當(dāng)δt<0時(shí)其為非平庸的拓?fù)浣^緣體，此時(shí)的有限尺度能譜具有能隙，且存在一個(gè)表征其拓?fù)浞瞧接箤傩缘牧隳軒10](有必要說一下的是，拓?fù)淦接瓜到y(tǒng)能譜的能隙中，是不存在零能帶的！).在我們的結(jié)果中也看到了這一點(diǎn).圖3(a) 的t12=0處的能譜結(jié)構(gòu)正是對(duì)應(yīng)著基本的SSH模型的這一特點(diǎn).所不同的是地方在于，單鏈SSH模型中的零能帶是二重簡并的，而由于我們此時(shí)討論的情況實(shí)際上是兩條獨(dú)立的SSH單鏈，因此我們得到的零能帶是由能量為零的第2N-1、第2N、第2N+1和第2N+2帶所構(gòu)成的四重簡并帶.此時(shí)的能譜結(jié)構(gòu)表征著Zak相γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜?，其?duì)應(yīng)于相圖2(a)中的點(diǎn)(t12,t21)=(0,0).

對(duì)于0≤t21<|2δt|情形(圖3(a)、(b))，當(dāng)t12>0時(shí)，系統(tǒng)能隙依然存在，并且能隙中的零能帶保持四重簡并，這一能譜結(jié)構(gòu)表征的是Zak相γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜?，即是位于相圖2(a)的中間區(qū)域的拓?fù)湎?隨著t12的逐漸增大，能隙逐漸減小，最終在t12的臨界值tc2處閉合后又重新打開.數(shù)值計(jì)算結(jié)果為：當(dāng)t21=0時(shí)，tc2≈1.50；當(dāng)t21=0.5時(shí)，tc2≈1.50.能隙的閉合與重新打開是發(fā)生拓?fù)湎嘧兊闹匾獦?biāo)志[21-23]，因此tc2是一個(gè)拓?fù)湎嘧兊呐R界點(diǎn).tc2的值與相邊界(8)式吻合得很好，同時(shí)對(duì)比相圖2(a)，很容易得到此時(shí)的tc2其實(shí)是從γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜嗟溅?π的拓?fù)浞瞧接瓜嗟南嘧凕c(diǎn).于是我們發(fā)現(xiàn)能譜在t12>tc2區(qū)域的結(jié)構(gòu)表征了γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜?該結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是能譜存在能隙且能隙中存在四重簡并的零能帶.這樣，我們發(fā)現(xiàn)，在tc2的兩側(cè)，相同的能譜結(jié)構(gòu)表征著不同的拓?fù)湎?顯然，能譜結(jié)構(gòu)能夠部分表征拓?fù)湎?，但其?shí)并不充分，我們下一小節(jié)將會(huì)看到，再加上能隙中的能帶所對(duì)應(yīng)的邊界模，就可以充分地表征不同的拓?fù)湎嗔?

當(dāng)t21=|2δt|時(shí)，t12=0是一個(gè)特殊的臨界值，該取值正好在相邊界(6)上(見相圖2(a))，此時(shí)能隙也是閉合的(見圖3(c)).當(dāng)t12>0時(shí)，能譜能隙打開且存在四重簡并的零能帶.這樣的能譜結(jié)構(gòu)與0≤t21<2δt情形一樣，表征的是γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜?同樣地，在t12=tc2處(此時(shí)的tc2約為1.77)，能隙閉合后又重新打開，是一個(gè)拓?fù)湎嘧凕c(diǎn).而tc2的值與式(8)吻合得很好，因此其是從γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜嗟溅?π的拓?fù)浞瞧接瓜噢D(zhuǎn)變的相變點(diǎn).于是，能譜在t12>tc2區(qū)域的結(jié)構(gòu)同樣表征的是γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜?問題依然是若以tc2兩側(cè)的能譜結(jié)構(gòu)分別來表征γ=-π的拓?fù)湎嗪挺?π的拓?fù)湎嗍遣粔虺浞值?

對(duì)于t21>|2δt|的情形(圖3(d))，將出現(xiàn)兩個(gè)t12的臨界值使得能譜能隙閉合后又重新打開.當(dāng)t12

2.1.2λ≠0情形

雖然脫耦的兩條SSH鏈的有限尺度能譜已可作為耦合的SSH鏈的各拓?fù)湎嗟奶卣髂茏V，并且也可從這些有限尺度能譜的能隙閉合又重新打開的情況得到這些拓?fù)湎嘀g的拓?fù)湎嘧凕c(diǎn)，但考慮鏈耦合情況下的能譜可以使我們從更多的角度表征拓?fù)湎?圖4是兩條推廣SSH鏈之間的耦合強(qiáng)度不為零時(shí)得到的有限尺度能譜.

SSH鏈之間的耦合沒有本質(zhì)上改變有限尺度能譜.我們發(fā)現(xiàn)，能譜能隙閉合隨后又重新打開的位置相比于SSH鏈脫耦的情形并沒有發(fā)生變化，即t12的兩個(gè)臨界值tc1、tc2保持不變.這一結(jié)果是與鏈耦合λ并不影響系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩赃@一結(jié)論吻合的.因?yàn)槿魌c1、tc2的值隨著鏈耦合強(qiáng)度λ的變化而變化，這將使得各拓?fù)湎嘀g的相邊界與鏈耦合相關(guān)，結(jié)果就與式(6)～式(8)矛盾了.鏈耦合的影響在于其對(duì)能隙中的能帶的改變.從圖4可見，對(duì)于每一個(gè)拓?fù)湎嗨鶎?duì)應(yīng)的能譜區(qū)域，原來的能隙中的零能帶都發(fā)生了劈裂，并且劈裂后的能帶都不再是零能帶了.由此也可知，能隙中零能帶的存在并不是SSH系統(tǒng)具有非平庸拓?fù)鋵傩缘谋匾獥l件，雖然大多數(shù)情況下確實(shí)如此，不過除了本文的例子，也有其他研究表明只需要能隙中存在著能帶就能預(yù)示SSH系統(tǒng)的非平庸屬性了[14-15].由于能隙中零能帶的劈裂，這些能隙中的劈裂后的能帶的簡并度也相應(yīng)的減半.比如，在之前的討論中，Zak相γ=-2π的拓?fù)浞瞧接瓜嗫捎砂酥睾啿⒌牧隳軒肀碚?，而現(xiàn)在的鏈耦合情形下，則是由一個(gè)(或兩個(gè))四重簡并的非零能帶表征了.

圖4 δt<0 (δt=-0.5)情形下耦合SSH鏈(λ=0.3)的有限尺度能譜，晶格的原胞數(shù)N=100

考慮到鏈耦合的情形，現(xiàn)在有兩個(gè)等價(jià)的表征不同拓?fù)湎嗟挠邢蕹叨饶茏V結(jié)構(gòu)了，即：有限尺度能譜具有能隙且能隙中具有八重簡并的零能帶或具有四重簡并的非零能帶(由八重簡并的零能帶劈裂形成)可表征γ=-2π的拓?fù)浞瞧接瓜?；能隙中具有四重簡并的零能帶或具有二重簡并的非零能?由四重簡并的零能帶劈裂形成)可表征γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜?；而?π的拓?fù)浞瞧接瓜嘁部捎赡芟吨芯哂兴闹睾啿⒘隳軒Щ蚓哂杏稍撍闹睾啿⒌牧隳軒研纬傻亩睾啿⒎橇隳軒У挠邢蕹叨饶茏V來表征；拓?fù)淦接瓜?γ=0)雖然沒有在我們討論的δt<0的情形中出現(xiàn)，但其對(duì)應(yīng)的是能隙中沒有能帶的能譜結(jié)構(gòu).從γ=-π和γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜鄬?duì)應(yīng)的能譜結(jié)構(gòu)可見，僅從能譜結(jié)構(gòu)是不能充分表征拓?fù)湎嗟?

進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算表明，隨著鏈耦合強(qiáng)度的增大，能隙中能帶的劈裂加劇.在還不是足夠大的耦合強(qiáng)度下，劈裂后的能帶將最終“融合”到連續(xù)譜中，能隙中的能帶消失了.而能隙中不存在能帶是拓?fù)淦接瓜嗟奶卣?，這是否說明較小的鏈耦合將導(dǎo)致從拓?fù)浞瞧接瓜嗟狡接瓜嗟耐負(fù)湎嘧兡?？我們前面已?jīng)提到，只有鏈耦合充分大的時(shí)候，才能導(dǎo)致拓?fù)浞瞧接瓜嗟狡接瓜嗟耐負(fù)湎嘧?如何理解這一矛盾，或者在鏈耦合變得較大以及達(dá)到充分大的過程中，有限尺度能譜將發(fā)生怎樣的變化并且拓?fù)湎鄬⑷绾伪碚鲗⑹俏覀兿乱徊焦ぷ饕敿?xì)討論的重點(diǎn).初步的回答是，有限尺度能譜需要分解為兩套子能譜來處理；彼時(shí)，用來表征拓?fù)湎嗟哪芟吨械暮啿⒃趦商鬃幽茏V中分別出現(xiàn).

2.2 能隙中的能帶對(duì)應(yīng)的邊界模

一個(gè)物理上值得探究也是在表征拓?fù)湎鄷r(shí)有用的問題是，當(dāng)系統(tǒng)處于能譜中某個(gè)能帶即系統(tǒng)的波函數(shù)由該能帶的本征矢量給出時(shí)，電子在晶格格點(diǎn)上是如何分布的？能帶的本征矢量在第i個(gè)晶格格點(diǎn)上的振幅(振幅的平方即為電子分布的概率密度)為：

ψi(m)=

(10)

圖5 耦合SSH鏈處于不同拓?fù)湎鄷r(shí)能隙中的簡并帶對(duì)應(yīng)的邊界模.

對(duì)于γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜?，我們選擇相圖2(a)中的點(diǎn)(t12,t21)=(3,1)(相圖中的紅點(diǎn))在鏈耦合的情形下做具體計(jì)算.結(jié)果表明，該拓?fù)湎嗄茏V能隙中的兩個(gè)劈裂的能帶都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)由圖5(a)所示的邊界模.該邊界模的模式為：電子集中分布于耦合SSH鏈最左邊的子晶格B、D和最右邊的子晶格A、C上.這其實(shí)是長程電子跳躍t12在各電子跳躍包括鏈耦合競爭中占主導(dǎo)優(yōu)勢的模式.長程電子跳躍t12在完全絕對(duì)優(yōu)勢的極端情形下電子在晶格上分布的鍵圖像以及實(shí)際計(jì)算得到的電子分布情況分別如圖6(a)、(b)所示.為了物理圖像上更好地理解邊界模，我們選擇連續(xù)譜中的第2N+3帶來計(jì)算其電子在晶格上分布，如圖5(d)所示.顯然，從電子在四個(gè)子晶格上的分布來看，其大概率地分布于耦合SSH鏈的中間區(qū)域，這樣的電子分布就不構(gòu)成一個(gè)邊界模.

對(duì)于γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜?，選擇相圖2(a)中的點(diǎn)(t12,t21)=(1,1)(相圖中的紅點(diǎn))在鏈耦合的情形下做具體計(jì)算.該拓?fù)湎嗄茏V能隙中的兩個(gè)劈裂的能帶所對(duì)應(yīng)著的邊界模如圖5(b)所示.此邊界模的模式與γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜嗟拈L程電子跳躍t12占主導(dǎo)優(yōu)勢的邊界模模式正好相反.此模式為：電子集中分布于耦合SSH鏈最左邊的子晶格A、C和最右邊的子晶格B、D上.該模式是原胞間電子跳躍占主導(dǎo)優(yōu)勢時(shí)的邊界模模式.原胞間電子跳躍具有完全絕對(duì)優(yōu)勢的極端情形下電子在晶格上分布的鍵圖像以及實(shí)際計(jì)算得到的電子分布情況分別如圖6(c)、(d)所示.

由得到的這兩個(gè)拓?fù)浞瞧接瓜?γ=π的拓?fù)浞瞧接瓜嗪挺?-π的拓?fù)浞瞧接瓜?的能譜能隙中的能帶所對(duì)應(yīng)的邊界模的結(jié)果，我們現(xiàn)在可以完成對(duì)這兩個(gè)拓?fù)湎嗟谋碚髁?雖然從能譜結(jié)構(gòu)的角度，這兩個(gè)拓?fù)湎嗍遣荒軈^(qū)分的，但他們能譜能隙中的能帶所對(duì)應(yīng)的邊界模模式是不一樣的.因此我們可以得到這樣的結(jié)論了：至少對(duì)于SSH拓?fù)湎到y(tǒng)，各個(gè)拓?fù)湎嗫捎善溆邢蕹叨饶茏V結(jié)構(gòu)及具有的邊界模模式來表征.

對(duì)于大拓?fù)洳蛔兞康摩?-2π的拓?fù)浞瞧接瓜?，雖然在我們研究的系統(tǒng)中，其已經(jīng)可由其能譜結(jié)構(gòu)完全表征，不過其具有的邊界模亦有與眾不同的特征，仍可作為對(duì)其的一個(gè)表征.選擇相圖2(a)中的紅點(diǎn)(t12,t21)=(1.5,4)在鏈耦合的情形下做具體計(jì)算，該拓?fù)湎嗄芟吨械膬蓚€(gè)簡并帶都對(duì)應(yīng)著一個(gè)邊界模，如圖5(c)所示.表面上看來，這個(gè)邊界模的模式似乎與γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜嗟倪吔缒ＤＪ较嗨?，但其是本質(zhì)完全不同的分布模式.這種模式實(shí)際上是長程電子跳躍t21占主導(dǎo)優(yōu)勢的邊界模模式.當(dāng)長程電子跳躍t21在競爭中具有完全絕對(duì)優(yōu)勢時(shí)，電子完全分布于耦合SSH鏈的最左邊的兩個(gè)原胞的子晶格A、C上和最右邊的兩個(gè)原胞的子晶格B、D上.該極端情形下邊界模在晶格上分布的鍵圖像以及實(shí)際計(jì)算得到的電子分布情況分別如圖6(e)、(f)所示.

圖6 極端情形下邊界模的鍵圖像及其電子分布的概率密度值

最后，正如我們前面一直在重復(fù)強(qiáng)調(diào)的，鏈間耦合并不影響系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩?，而邊界?模式)此時(shí)是拓?fù)湎嗟囊粋€(gè)表征(在某些情況，如表征γ=-π的拓?fù)浞瞧接瓜嗪挺?π的拓?fù)浞瞧接瓜?，其是必要的表?，那么鏈耦合的變化就不應(yīng)該影響拓?fù)湎嗟倪吔缒ＤＪ?剛剛我們是在具有鏈間耦合的情況下得到了表征拓?fù)湎嗟倪吔缒?模式)(見圖5)，圖7是我們得到的不考慮鏈間耦合時(shí)，各拓?fù)湎嗑哂械倪吔缒?可以看到，能譜能隙中的能帶(現(xiàn)在是簡并度加倍的零能帶！)仍然對(duì)應(yīng)著一個(gè)邊界模且邊界模的模式相比于有鏈間耦合時(shí)的模式并沒有變，只是電子在晶格上的分布有量的微小變化.

圖7 脫耦SSH鏈的不同拓?fù)湎嗟哪芟吨械暮啿⒘隳軒?duì)應(yīng)的邊界模

3 結(jié)語

通過計(jì)算含長程電子跳躍項(xiàng)的耦合SSH鏈的體能帶的Zak相，可得到該模型拓?fù)湎嗟南噙吔绾屯暾鄨D.兩個(gè)重要的結(jié)果是，長程的電子跳躍可誘導(dǎo)出具有大Zak相的拓?fù)浞瞧接瓜嗪屠碚撋喜皇菬o窮大的SSH鏈間的耦合并不影響系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩?

SSH拓?fù)湎到y(tǒng)的拓?fù)湎嗫捎上到y(tǒng)在有限尺度晶格上的能譜結(jié)構(gòu)以及能隙中的能帶所對(duì)應(yīng)的邊界模完全表征.有限尺度能譜能隙中存在一個(gè)八重簡并的零能帶(鏈脫耦情形)或兩個(gè)劈裂的四重簡并的非零能帶(鏈耦合情形)以及能隙中的能帶對(duì)應(yīng)的邊界模模式為長程電子跳躍t21主導(dǎo)的模式表征的是γ=-2π的拓?fù)湎?能隙中存在一個(gè)四重簡并的零能帶(鏈脫耦情形)或兩個(gè)劈裂的二重簡并的非零能帶(鏈耦合情形)以及能隙中的能帶對(duì)應(yīng)的邊界模模式為原胞間電子跳躍主導(dǎo)的模式表征的是γ=-π的拓?fù)湎?能隙中存在一個(gè)四重簡并的零能帶(鏈脫耦情形)或兩個(gè)劈裂的二重簡并的非零能帶(鏈耦合情形)以及能隙中的能帶對(duì)應(yīng)的邊界模模式為長程電子跳躍t12主導(dǎo)的模式表征的是γ=π的拓?fù)湎?能隙中不存在能帶且所有能帶都沒有對(duì)應(yīng)到邊界模表征的是γ=0的拓?fù)?平庸)相.

在鏈間耦合強(qiáng)度λ較大的情形下，系統(tǒng)有限尺度能譜蘊(yùn)含著子能譜結(jié)構(gòu)，這種情況下的系統(tǒng)的拓?fù)湎嗳绾伪碚魇且粋€(gè)值得進(jìn)一步研究的課題.同時(shí)，大λ極限下系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧円约坝邢蕹叨饶茏V結(jié)構(gòu)目前并不清楚，是否存在一個(gè)大λ極限下的等效模型是下一步需要明確的問題.當(dāng)我們推廣的SSH模型進(jìn)一步推廣到二維平面時(shí)，有限尺度晶格上將存在高階的拓?fù)浔诮菓B(tài)，目前學(xué)界的研究還沒有考慮到長程電子跳躍項(xiàng)導(dǎo)致的這種高階拓?fù)湎嗟膹?fù)雜拓?fù)湎嘧?，本文從有限尺度能譜結(jié)構(gòu)及邊界模來表征拓?fù)湎嗟姆椒?，將有助于?duì)拓?fù)浔诮菓B(tài)的表征及系統(tǒng)完整相圖的獲得.