基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法

馬志毅，張 彬，楚雪梅

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基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法

馬志毅，張 彬，楚雪梅

（北京遙測技術(shù)研究所 北京 100076）

針對目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法未考慮參數(shù)隨機性的問題，提出基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法。將結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的質(zhì)量特性作為優(yōu)化目標，性能函數(shù)的可靠度指標作為約束條件，建立穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計模型。利用序列二次規(guī)劃法計算其性能函數(shù)的可靠度指標，在此基礎(chǔ)上，利用遺傳算法進行迭代計算，得出最優(yōu)設(shè)計結(jié)果。最后，將某型導(dǎo)引頭導(dǎo)軌齒輪設(shè)計作為工程案例，驗證了使用此結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法能夠降低產(chǎn)品重量，提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性。

遺傳算法；序列二次規(guī)劃；可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計；機械結(jié)構(gòu)產(chǎn)品

引 言

近年來，對機械結(jié)構(gòu)產(chǎn)品小型化、輕量化要求越來越高，而可用于優(yōu)化產(chǎn)品的強度、剛度以及穩(wěn)定性的技術(shù)儲備則越來越少。此外，由于載荷狀況、材料特性、環(huán)境特性等隨機因素的影響，使得計算分析結(jié)果具有較大的分散性。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計策略無法用數(shù)學(xué)模型來體現(xiàn)這些不確定因素，往往導(dǎo)致得出的設(shè)計結(jié)果與現(xiàn)實有較大的差距，因此需要對結(jié)構(gòu)類產(chǎn)品進行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計[1-3]，以得到對這些隨機因素敏感性最低的設(shè)計方案。

現(xiàn)代工程穩(wěn)健性設(shè)計方法將優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析相結(jié)合[4-6]，最終得到對隨機因素最不敏感的設(shè)計方案。針對機械結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的穩(wěn)健性設(shè)計，一些學(xué)者提出了很多方法。賀謙、李元生等[7]采用響應(yīng)面法對極限狀態(tài)函數(shù)進行擬合，以及采用均值點的一次二階矩法進行可靠性指標計算，當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)非線性較強時，該方法計算結(jié)果往往偏于保守，難以獲得最優(yōu)的設(shè)計方案。黃章俊、王成恩[8]提出了基于雙層更新Kriging模型的機械結(jié)構(gòu)動態(tài)特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法；李剛、孟增[9]提出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化方法。綜上所述，極限狀態(tài)函數(shù)顯式化和穩(wěn)健性設(shè)計建模方法已經(jīng)有了很多研究成果，但如何在優(yōu)化迭代過程中，快速準確地計算可靠度指標，成果較少。

針對上述問題，本文提出基于遺傳算法[10,11]和序列二次規(guī)劃法[12]的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法。將結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的質(zhì)量或費用作為優(yōu)化目標，性能函數(shù)的可靠度指標作為約束條件，建立穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計模型。利用序列二次規(guī)劃法計算其性能函數(shù)的可靠度指標，在此基礎(chǔ)上，利用遺傳算法進行迭代計算，得出最優(yōu)設(shè)計結(jié)果。最后，通過某型導(dǎo)引頭導(dǎo)軌齒輪剛度特性的穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計證明了該方法的工程實用性。

1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計建模

傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果往往在約束區(qū)域附近，而載荷等一些隨機因素的影響，往往會使優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生一些波動，這樣就有可能導(dǎo)致其超出約束區(qū)域?？煽啃苑€(wěn)健優(yōu)化設(shè)計是在滿足可靠度要求的前提下，不斷改進設(shè)計，以求達到既滿足可靠性要求，又能提高產(chǎn)品性能的目的，其優(yōu)化迭代過程如圖1所示。

建立結(jié)構(gòu)可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，如式（1）所示：

式中，為目標函數(shù)，X為隨機變量集合，Z為設(shè)計變量集合，為第i個極限狀態(tài)函數(shù)，n為約束函數(shù)個數(shù)，βi為其對應(yīng)的可靠度指標，ZL和ZU分別為設(shè)計變量的上下限。

2 基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的可靠性穩(wěn)健設(shè)計

2.1 基于序列二次規(guī)劃法的可靠度計算

式中，X為極限狀態(tài)函數(shù)中的隨機變量向量。在可靠性分析中設(shè)計變量Z視為常數(shù)

采用序列二次規(guī)劃法SQP（Sequential Quadratic Programming）對可靠度指標進行求解計算，SQP是將目標函數(shù)以二階泰勒級數(shù)展開，并把約束條件線性化，使原非線性問題轉(zhuǎn)化為一個二次規(guī)劃問題，通過解二次規(guī)劃得到下一個設(shè)計點。

對于如式（2）所示的優(yōu)化模型，可以得到如下拉格朗日函數(shù)：

可以得到二次規(guī)劃的子問題：

式中，d為全變量搜索方向，H為拉格朗日函數(shù)的Hessian近似矩陣，為原目標函數(shù)的二次函數(shù)的簡化形式。新的設(shè)計點通過式（5）產(chǎn)生：

2.2 基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的可靠性穩(wěn)健設(shè)計流程

由于式（2）優(yōu)化模型中(g(X,Z)>0)準確的顯式表達式是無法給出的，這樣就沒有導(dǎo)數(shù)、梯度的信息可以利用，因此無法采用傳統(tǒng)的數(shù)值方法求解。這種情況下，采用全局探索法求解比較適合。遺傳算法是模擬自然界物種進化過程而開發(fā)的一種全局探索優(yōu)化算法。它通過反復(fù)恰當(dāng)?shù)厥褂盟阕雍瓦x擇原則，從親代到子代，從子代到孫代，不停繁衍，使種群適應(yīng)環(huán)境的程度不斷變高，最終找到種群中最優(yōu)個體。遺傳算法中用適應(yīng)度來定義適應(yīng)環(huán)境的程度，適應(yīng)度一般是根據(jù)目標函數(shù)來確定，要使得優(yōu)化是朝著適應(yīng)度增大的方向進行，且保證適應(yīng)度函數(shù)值非負。定義適應(yīng)度函數(shù)如下所示：

選擇概率是個體能被選擇進入下一代的概率，定義如式（7）所示

式中，h為第個個體的適應(yīng)度。

遺傳算法使用染色體交叉完成生物繁衍這一概念，利用交叉規(guī)律控制交叉操作的頻率，交叉概率越高，群體中新個體的引入越快，獲得的優(yōu)良基因丟失得也越快。因此，交叉概率取值不能太低或太高。這里取交叉概率P=0.6。變異是保持種群多樣性的有效手段，交叉操作后產(chǎn)生的個體基因按照變異概率進行隨機改變，變異概率過高可能導(dǎo)致遺傳搜索變成隨機搜索，這里取變異概率P=0.005。

本文將遺傳算法和序列二次規(guī)劃法應(yīng)用到穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計中，首先通過遺傳算法產(chǎn)生設(shè)計變量種群，然后采用序列二次規(guī)劃法對種群中的個體進行可靠性分析，基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的可靠性穩(wěn)健設(shè)計具體步驟如下：

①初始化種群計算，計算每個個體的適應(yīng)度值；

②按選擇概率選擇將進入下一代的個體；

③按概率P進行交叉操作；

④按概率P進行變異操作；

⑤對個體采用序列二次規(guī)劃法進行可靠度指標計算，若滿足約束條件則進入步驟⑥，否則返回步驟②；

⑥滿足適應(yīng)度函數(shù)h–h+1<10–5或達到終止進化代數(shù)，進入步驟⑦，否則返回步驟②；

⑦輸出種群中適應(yīng)度最優(yōu)的個體作為最優(yōu)解。

3 在某型導(dǎo)引頭支架應(yīng)用

某型導(dǎo)引頭天線座結(jié)構(gòu)主要由天線、導(dǎo)軌齒輪和底座組成，如圖3所示。其中，導(dǎo)軌齒輪呈圓弧形，其底部由12支軸承提供支撐和約束以實現(xiàn)天線的方位向轉(zhuǎn)動，端部通過兩對推力球軸承與天線相連以實現(xiàn)天線的俯仰向轉(zhuǎn)動，這樣導(dǎo)軌齒輪的剛度特性將對導(dǎo)引頭的指向精度產(chǎn)生重要影響。此外，作為彈載設(shè)備，輕量化也是一項重要指標。因此，在保證導(dǎo)軌齒輪剛度的前提下，進行合理的輕量化設(shè)計是一個關(guān)鍵技術(shù)問題。

導(dǎo)軌齒輪的外形如圖4所示，在其圓弧面上對稱分布6個減重孔。從結(jié)構(gòu)布局上分析，導(dǎo)軌齒輪的厚度以及減重孔的位置和尺寸會對其剛度特性產(chǎn)生重要影響。

圖3 某導(dǎo)引頭天線座

圖4 導(dǎo)軌齒輪

3.1 導(dǎo)軌齒輪初始設(shè)計方案剛度特性及其穩(wěn)健型分析

導(dǎo)軌齒輪材料為1Cr17Ni2，采用鈍化表面處理。由于表面處理對其材料屬性的影響無法確定，因此設(shè)定其材料屬性為隨機變量，包括彈性模量、泊松比和密度。彈上環(huán)境復(fù)雜，載荷條件同樣無法明確給出，載荷條件也設(shè)定為隨機變量。根據(jù)已有的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，其彈性模量服從正態(tài)分布(2 000 000,10 0002)，單位MPa；密度服從正態(tài)分布(7 900,3952)，單位kg/m3；泊松比服從正態(tài)分布(0,(6×10–3)2)；加速度載荷服從正態(tài)分布(200,102)，單位m/s2。由于導(dǎo)軌齒輪的對稱性，選取一半結(jié)構(gòu)進行有限元建模，分析材料屬性和載荷條件的波動對其剛度特性的影響。

通過有限元計算的導(dǎo)軌齒輪位移云圖和應(yīng)力云圖分別如圖5和圖6所示，可以看出最大位移為0.88 mm，非常接近極限值0.9 mm，最大應(yīng)力為180 MPa，距離極限值300 MPa較遠。而此時導(dǎo)軌齒輪總重為4 kg，有限元模型質(zhì)量為其一半等于2 kg。

最大位移和最大應(yīng)力的概率分布分別如圖7和圖8所示。可以得出最大位移滿足小于0.9 mm的可靠度為0.6，處于0.2水平；最大應(yīng)力滿足小于200 MPa的可靠度為0.997，處于3水平。表1列出了導(dǎo)軌齒輪初始設(shè)計的穩(wěn)健性分析結(jié)果。對比分析得出，最大位移的變異系數(shù)最大，且大于材料屬性和載荷的變異系數(shù)，穩(wěn)健性較差，即對抗參數(shù)隨機波動性的能力較差。

圖5 位移云圖

圖6 應(yīng)力云圖

圖7 最大位移概率分布圖

圖8 最大應(yīng)力概率分布圖

表1 初始方案穩(wěn)健性分析表

根據(jù)上述對導(dǎo)軌齒輪初始設(shè)計方案的分析結(jié)果，導(dǎo)軌齒輪的最大應(yīng)力遠離應(yīng)力極限，穩(wěn)健性較好，但最大位移處于位移極限附近，穩(wěn)健性較差。因此，需要將最大位移的可靠度水平作為穩(wěn)健性優(yōu)化的約束條件。

3.2 導(dǎo)軌齒輪穩(wěn)健性優(yōu)化模型

根據(jù)穩(wěn)健性分析結(jié)果，導(dǎo)軌齒輪的材料屬性和載荷條件的隨機性對最大位移響應(yīng)的影響較大，將材料屬性和載荷條件仍作為不可控設(shè)計變量。

圖9為導(dǎo)軌齒輪的剖面圖，將三個減輕孔的位置1、2、3和尺寸1、2、3以及導(dǎo)軌齒輪的厚度作為可控設(shè)計變量。

圖9 結(jié)構(gòu)剖面圖

根據(jù)3.1節(jié)分析結(jié)果，將最大位移的可靠度水平作為約束條件，將整體質(zhì)量作為設(shè)計目標，建立穩(wěn)健性優(yōu)化模型如式（8）所示。

為零件質(zhì)量。最大位移通過有限元仿真計算獲得，為了減少迭代過程的計算量，本文采用Kriging模型進行近似處理，Kriging模型如圖10所示，擬合誤差分析圖如圖11所示?？梢钥闯鯧riging模型的擬合優(yōu)度非常高，達到了0.999 8，可以代替有限元仿真結(jié)果。

圖11 擬合優(yōu)度

3.3 導(dǎo)軌齒輪穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

根據(jù)3.2節(jié)建立的優(yōu)化設(shè)計模型，結(jié)合遺傳算法和序列二次規(guī)劃法對導(dǎo)軌齒輪進行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。得到導(dǎo)軌齒輪質(zhì)量和最大位移的迭代過程如圖12、圖13所示。

圖12 質(zhì)量迭代過程

圖13 最大位移迭代過程

通過圖12可以看出，總共迭代了20代，評價了2 000個計算點，最終得到了最優(yōu)解，最優(yōu)的導(dǎo)軌齒輪的重量收斂于1.45 kg，比初始重量2 kg減少了0.55 kg，總重減少了1.1 kg。

各個設(shè)計參數(shù)的計算結(jié)果，如式（9）所示。

根據(jù)式（9）的設(shè)計參數(shù)進行穩(wěn)健性分析，得到導(dǎo)軌齒輪穩(wěn)健性優(yōu)化后的最大位移的概率分布圖如圖14所示。

表2 不同方法的可靠度、質(zhì)量對比表

從圖14中可以看出，最大位移的均值為0.73 mm，變異系數(shù)為0.05，小于極限位移0.9 mm的概率為0.97，達到2，說明該結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性較強，能夠抵抗材料隨機性。

采用一次二階矩法進行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化后的結(jié)果如式（10）所示。

兩種計算方法對比分析見表2。

通過比較分析可以看出，采用一次二階矩法雖然得到較高的可靠度指標，穩(wěn)健性較強，但是得到的優(yōu)化結(jié)果較為保守，質(zhì)量較重。針對彈載設(shè)備單次使用的特點，可以采用文中的基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法。

4 結(jié)束語

由于傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法忽視了不確定性，導(dǎo)致在優(yōu)化迭代過程中，會產(chǎn)生突破設(shè)計約束邊界的情況，造成很大的潛在問題。因此，考慮機械設(shè)計過程中的隨機因素，以產(chǎn)品質(zhì)量為設(shè)計目標、性能函數(shù)的可靠度指標為約束條件，建立結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計模型。在此基礎(chǔ)上，利用序列二次規(guī)劃化法計算結(jié)構(gòu)可靠度指標，結(jié)合遺傳算法得出滿足可靠度指標要求的最優(yōu)解。選取某型導(dǎo)引頭導(dǎo)軌齒輪作為工程案例，分析了初始設(shè)計方案的穩(wěn)健性，發(fā)現(xiàn)其最大位移的穩(wěn)健性較差，滿足設(shè)計約束指標的可靠度只有0.6，且變異系數(shù)較大（0.09）。選取最大位移的可靠度為約束條件、質(zhì)量為設(shè)計目標，建立結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計模型，結(jié)合序列二次規(guī)劃化法和遺傳算法進行迭代計算，得到最優(yōu)設(shè)計方案，優(yōu)化后的設(shè)計方案和初始設(shè)計方案相比可靠度提高到0.97，質(zhì)量減少到2.9 kg，變異系數(shù)減小到0.05。結(jié)構(gòu)質(zhì)量變得更輕且穩(wěn)健性更高，此方法對于工程實踐具有借鑒意義。

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The structural robustness optimization design method based on genetic algorithm and sequence secondary planning method

MA Zhiyi, ZHANG Bin, CHU Xuemei

（Beijing Research Institute of Telemetry, Beijing 100076, China）

In view of the problem that the current structural optimization design method does not consider parameter randomness, this paper proposes the structural robustness optimization design method based on genetic algorithm and sequence secondary planning method. The quality characteristics of structural products are used as the optimization target, and the reliability index of performance functions is used as a constraint to establish a robust optimization design model. The reliability index of its performance function is calculated by the sequence secondary planning method, on this basis, the genetic algorithm is used to make iterative calculation, and the optimal design results are obtained. Finally, a certain type of guide rail gear design as an engineering case is used.It is proved that this optimization design method iseffective in reducing the weight of the product and improving the structural robustness.

Genetic algorithm; Sequence secondary planning; Reliable and optimized design; Mechanical structure products

TJ03

A

CN11-1780(2022)01-0021-08

10.12347/j.ycyk.20210815002

馬志毅, 張彬, 楚雪梅.基于遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計方法[J]. 遙測遙控, 2022, 43(1): 21–28.

DOI：10.12347/j.ycyk.20210815002

: MA Zhiyi, ZHANG Bin, CHU Xuemei. The structural robustness optimization design method based on genetic algorithm and sequence secondary planning method[J]. Journal of Telemetry, Tracking and Command, 2022, 43(1): 21–28.

馬志毅 1988年生，碩士，工程師，主要研究方向為結(jié)構(gòu)熱力學(xué)設(shè)計。

張 彬 1982年生，博士，研究員，主要研究方向為雷達總體設(shè)計。

楚雪梅 1991年生，碩士，工程師，主要研究方向為結(jié)構(gòu)熱力學(xué)設(shè)計。

2021-08-15

2021-09-09

(本文編輯：傅 杰)