一類一階周期邊值問題多個(gè)正解的存在性

吳夢(mèng)麗

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710126)

1 引 言

一階周期邊值問題在生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué),生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.近年來,對(duì)一階含參方程周期正解存在性的研究出現(xiàn)了一些進(jìn)展[1-8]，如Ma等[3]應(yīng)用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理研究了f在0處和∞處滿足不同的條件及g在有界的條件下方程

u′(t)=a(t)g(u(t))u(t)-λb(t)f(u(t-τ(t))

(1)

周期正解存在性.其中，文獻(xiàn)[2]通過定義正算子和錐得到了下面的結(jié)果：

定理A假設(shè)

(A1)λ>0是一個(gè)參數(shù);

(A3)f,g∈C([0,∞),[0,∞))且當(dāng)s>0時(shí),f(s)>0,τ(t)是ω-周期函數(shù).

若f0=f∞=0,則存在0<μ*<μ*，當(dāng)μ>μ*時(shí)問題(1)存在兩個(gè)周期正解;當(dāng)0<μ<μ*時(shí),問題(1)不存在周期正解.

值得注意的是，在定理A中當(dāng)μ∈[μ*，μ*]時(shí)，問題(1)周期正解的存在性未知，μ*能否和μ*相等也是問題.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在f單增的條件下運(yùn)用上下解方法及 Leray-Schauder 度理論考慮如下一階周期邊值問題

多個(gè)正解的存在性.

本文總假定

本文主要結(jié)果如下：

定理1.1設(shè)(H1)成立.則當(dāng)λ充分小時(shí),問題(1)不存在正解,當(dāng)λ充分大時(shí),問題(2)存在兩個(gè)正解.

定理1.2設(shè)(H1)成立.則存在λ*>0,使得當(dāng)0<λ<λ*時(shí)問題(2)不存在正解;當(dāng)λ=λ*時(shí)問題(2)至少存在一個(gè)正解;當(dāng)λ>λ*時(shí)問題(2)至少存在兩個(gè)正解.

2 預(yù)備知識(shí)

(i) 若x∈?Kr滿足‖x‖≤‖Tx‖,則

i(T,Kr,K)=0.

(ii) 若x∈?Kr滿足‖x‖≥‖Tx‖,則

i(T,Kr,K)=1.

本文的工作空間是

X={u(t):u(t)∈C[0,T],u(0)=u(T)},

K={u∈X:u≥0,u(t)≥σ‖u‖,t∈[0,T]},

C={u∈X:u>0,t∈[0,T]}.

Ωr={u∈K:‖u‖

其中r為正參數(shù),?Ωr={u∈K:‖u‖=r}.定義算子Tλ:X→X為

其中

當(dāng)0≤s≤T時(shí)滿足

引理2.2對(duì)問題(2)中的f(u)有Tλ(C)?K且Tλ:K→K是全連續(xù)算子.

證明 對(duì)任意的u∈C,t∈[0,T],有

σ‖Tλu‖.

因而Tλ(C)?K.由Arzela-Ascoli定理[10],易證Tλ:K→K是全連續(xù)算子.證畢.

3 上下解

定義3.1[11]如果x∈X∩C1[0,T]且滿足

x′(t)+λf(x(t))-a(t)x(t)≤0, 0

則稱x是問題(2)的上解.

定義3.2[11]如果y∈X∩C1[0,T]且滿足

y′(t)+λf(y(t))-a(t)y(t)≥0, 0

則稱y是問題(2)的下解.

引理3.3設(shè)(H1)成立.若x(t)和y(t)分別是問題(2)的上解和下解，且滿足當(dāng)t∈[0,T]時(shí)y(t)≤x(t),則至少存在一個(gè)解u(t)且滿足y(t)≤u(t)≤x(t).

證明 首先考察輔助問題

其中

f*(u(t))=f(Px,y(u(t)))-

arctan[u(t)-Px,y(u(t))]

(4)

Px,y(u(t))=max{y(t),min{u(t),x(t)}}

(5)

則

(6)

顯然,如果輔助問題(3)的解u滿足當(dāng)t∈[0,T]時(shí)y(t)≤u(t)≤x(t),那么由式(3)至式(5)和問題(2)知問題(3)的解也為問題(2)的解.故只需要證明問題(3)的解u滿足y(t)≤u(t)≤x(t).

下面我們先證明當(dāng)t∈[0,T]時(shí)u(t)≤x(t).令ω(t)=u(t)-x(t).反設(shè)存在一個(gè)t*∈[0,T]使得ω(t*)>0.我們分下面三種情形討論.

情形1t*∈(0,T)使得ω(t*)=u(t*)-x(t*)>0.不失一般性,設(shè)ω在t=t*處取得最大值.則u′(t*)=x′(t*).另一方面,由定義3.1和(3)至(6)式可得

u′(t*)=a(t*)u(t*)-λf*(u(t*))=

a(t*)u(t*)-λf(Px,y(u(t)))+

λarctan[u(t*)-Px,y(u(t*))]≥

a(t*)u(t*)-λf(x(t*))+

λarctan[u(t*)-x(t*)]≥

a(t*)x(t*)-λf(x(t*))+

λarctan[u(t*)-x(t*)]≥

x′(t*)+λarctan[u(t*)-

x(t*)]>x′(t*).

這與u′(t*)=x′(t*)矛盾.

情形2t*=0.則ω(0)>0且在t∈(0,T]上ω(t)≤0.另一方面,由定義3.1可知ω(0)=u(0)-x(0)=u(T)-x(T)=ω(T)≤0.這與ω(0)>0矛盾.

情形3t*=T.則ω(T)>0且在t∈[0,T)上ω(t)≤0.另一方面,由定義3.1可知ω(T)=u(T)-x(T)=u(0)-x(0)=ω(0)≤0.這與ω(T)>0矛盾.故當(dāng)t∈[0,T]時(shí)u(t)≤x(t).同法可證得當(dāng)t∈[0,T]時(shí)u(t)≥y(t).引理得證.

4 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明 若q>0,則

Kr1={u∈K:‖u‖≤r1}.

當(dāng)λ>δ1,u∈?Kr1時(shí),有

δ1β(r1)=r1=‖u‖,

Kr3={u∈K:‖u‖

如果u∈?Kr3,則u(t)≥σ‖u‖≥H.從而

即‖Tλu‖<‖u‖.由引理2.1得i(Tλ,Kr3,K)=1.由不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性得

r2<‖u1‖

u1,u2就是問題(2)的兩個(gè)正解.

即

矛盾.定理得證.

下面我們將運(yùn)用上下解和拓?fù)涠鹊姆椒▉碜C明定理1.2.為保證問題(2)的所有可能解都是非負(fù)的,我們對(duì)f做延拓使得

f(s)=f(0),s<0

(7)

首先證明下面的引理.

引理4.1假設(shè)(H1)成立.令I(lǐng)?(0,∞)是緊子集.若λ∈I,則存在一個(gè)常數(shù)bI>0使得問題(2)的所有解均滿足‖u‖≤bI.

選取n充分大使得σ‖un‖≥q1.則有

矛盾.引理得證.

現(xiàn)在令Γ表示問題(2)正解存在的λ>0的集合.由定理1.1,Γ非空且有界.設(shè)λ*=infΓ.從而有0<λ*<∞.下證λ*∈Γ.

首先，令λn→λ*,其中λn∈Γ,

λ1>λ2>…>λn-1>λn>…>λ*.

因?yàn)閧λn}有界,由引理4.1,對(duì)應(yīng)問題(2)的解{un}有界.由積分算子Tλ的緊性易得λ*∈Γ.因此,當(dāng)λ=λ*時(shí),問題(2)至少有一個(gè)解存在.令u*為問題(2)對(duì)應(yīng)λ=λ*的解.

設(shè)u*為問題(2)的解,對(duì)應(yīng)的λ取λ*.定義

令

考慮

Ω={u∈X:-ε≤u(t)≤u*(t)+ε}.

-(u*(t)+ε)′+a(t)(u*(t)+ε)=

且

(u*+ε)(0)=(u*+ε)(T).

由定義3.1,u*+ε為上解.由引理3.3,u≤u*+ε.引理得證.

定理1.2的證明 令λ∈(λ*,∞).下證問題(2)至少存在兩個(gè)正解.顯然,

-(u*(t))′+a(t)u*(t)=

λ*f(u*(t))<λf(u*(t)),

u*是問題(2)的下解,而u*+ε是問題(2)的上解,由引理3.3,存在問題(2)的解uλ使得u*≤uλ≤u*+ε.因此,當(dāng)λ>λ*時(shí),存在一個(gè)正解uλ且uλ∈Ω,而對(duì)于0<λ<λ*正解不存在.

選取I是[λ*-1,∞)上的任意閉區(qū)間，滿足區(qū)間左端點(diǎn)是λ*-1.則

(λ*,∞)∩I≠?,(0,λ*)∩I≠?.

下證當(dāng)λ∈(λ*,∞)∩I時(shí)問題(2)的第二個(gè)正解存在.

deg(I-Tλ,Ω,0)=1.

另一方面,由引理4.1,當(dāng)λ∈I時(shí),問題(2)的所有正解都是有界的.因此,當(dāng)L足夠大時(shí)有

deg(I-Tλ,B(0,L),0)=m,

其中λ∈I,m為固定常數(shù),B(0,L)是在C[0,T]上以0為心,L為半徑的球.由于對(duì)所有的0<λ<λ*,問題(2)正解不存在,所以m=0.再由拓?fù)涠鹊那谐钥傻?/p>

deg(I-Tλ,B(0,L)Ω,0)=-1.

因此當(dāng)λ∈(λ*,∞)∩I時(shí)問題(2)存在第二個(gè)正解.定理得證.