二軸低周疲勞載荷下船體裂紋板累積塑性與斷裂性能分析

熊 康，鄧軍林，裴志勇，湯華林，涂雯羚

（1.武漢理工大學 交通學院，武漢 430063；2.北部灣大學 機械與船舶海洋工程學院，廣西 欽州 535011）

0 引 言

船舶在惡劣海況波浪中航行時受載情況不斷變化，使船體構件長期處于多軸高應力、低循環(huán)交變應力狀態(tài)。通常這些載荷具有不同的軸向分量和不同的相位，然而大多數(shù)船舶結構疲勞強度評估是根據(jù)單軸載荷下的理論研究得到的[1]，其結果往往過于保守。目前，金屬韌性材料在單軸低周疲勞下的裂紋擴展行為已經(jīng)得到了普遍研究，并形成了系統(tǒng)的理論知識和研究方法，但是這些研究方法并不能直接應用到多軸低周疲勞領域[2]。另外，研究表明[3]多軸疲勞壽命的大部分消耗在20 μm到1 mm長的裂紋擴展上。因此，對于船體結構在惡劣海況中的多軸低周疲勞破壞，主要關注船體結構多軸低周疲勞裂紋擴展研究[4-5]。

斷裂力學法是近年來研究疲勞裂紋擴展特性的重要方法[6]，一般首先求解出表征裂紋擴展的控制參量K、J積分等，然后分析裂紋擴展速率da/dN與裂紋控制參量K、J或G的函數(shù)。對于多軸疲勞短裂紋擴展，由于缺乏應力強度因子的精確解，再加上獲得多軸疲勞短裂紋實驗數(shù)據(jù)較困難，使多軸疲勞短裂紋擴展模型的研究進展緩慢，有關多軸疲勞裂紋的研究文獻也很少。Meng 等[7]以應力強度因子幅為控制參量分析了二軸拉-拉疲勞裂紋擴展行為，指出以應力強度因子幅表征的二軸疲勞裂紋擴展角可以很好地預測裂紋擴展路徑。Hoshide 等[8]對1045 鋼薄壁管進行了拉扭二軸疲勞試驗，提出用一個等效應變強度因子ΔKeq(ε)來描述多軸短裂紋擴展，成功地描述了多軸疲勞裂紋擴展行為。隨后，F(xiàn)oletti 等[9]提出了一個J積分公式來處理多軸短疲勞裂紋擴展，也取得了較好的效果。Gotoh 等[10]通過對二軸疲勞載荷下裂紋尖端等效應力場、塑性區(qū)半徑以及裂紋張開位移COD的數(shù)值分析，提出了基于塑性區(qū)等效應力準則的多軸疲勞裂紋擴展斷裂機理評估方法。因此，通過對表征裂紋擴展的控制參量K、J積分等進一步深入研究，對船舶結構多軸低周疲勞裂紋擴展斷裂分析具有十分重要的意義。

事實上，已有研究表明船體結構的總體斷裂破壞往往是低周疲勞與遞增塑性兩種破壞耦合作用的結果[11]。當船體結構產(chǎn)生的塑性變形的累積值超過某一限定值后，會引發(fā)船體局部結構低周疲勞裂紋的形成、擴展并最終產(chǎn)生結構的總體斷裂破壞[12]。Qu等[13]通過對Q235中碳鋼試件開展的多軸低周疲勞試驗，系統(tǒng)地研究了多軸循環(huán)變形行為，并據(jù)此確定臨界平面參數(shù)來評估其多軸低周疲勞強度。然而到目前為止，我們對多軸高應力、低循環(huán)載荷下這種耦合關系的內(nèi)在機理以及其作用下的船體結構裂紋擴展的影響規(guī)律知之甚少。因此，它理應是船體結構多軸低周疲勞擴展斷裂研究上的一個十分重要的研究內(nèi)容和發(fā)展方向。

本文以Q235 鋼十字型船體中心裂紋板作為研究對象，通過對裂紋尖端應力應變場的彈塑性分析，重點研究二軸低周疲勞載荷作用下船體裂紋板的累積塑性規(guī)律以及二軸低周疲勞裂紋擴展斷裂參數(shù)。利用有限元數(shù)值模擬分析二軸低周疲勞載荷下不同平均應力、應力幅和二軸應力比等相關因素對應力強度因子、J積分的影響，為正確評估船體裂紋板二軸低周疲勞裂紋擴展斷裂行為提供基礎。

1 理論分析

船體薄板構件一般處于平面應力狀態(tài)，多軸低周疲勞載荷下裂紋板裂紋尖端的彈塑性應力應變本構關系是由應力應變曲線結合彈性和塑性理論求得，結合增量物理方程[14]和塑性流動規(guī)則與可塑性表面關系，表示為

式中，dεij、dσij是應變和應力張量分量的增量，dλ是比例系數(shù)，E是楊氏模量，υ是泊松比，δij是Kronecker應變。

采用Chaboche非線性硬化模型[15]，材料屈服函數(shù)為

式中，χ是非線性運動硬化變量，R0是各向同性硬化變量，k是初始半徑的屈服面，J是von Mises距離內(nèi)的偏應力空間，并且

式中，σ'和χ'分別是σ和χ的差值。

塑性流動法則為

非線性運動硬化χ和各向同性硬化變量R0可以表示為

式中，C1、a1、C2、a2、b、Q是材料常數(shù)，通過實驗來確定；是累積塑性應變率。

根據(jù)討論Chaboche 模型的文獻[16]，塑性應變與累積塑性應變之間的微分關系，在n+1 循環(huán)中累積塑性應變可寫為

這里dεp,n+1是第一個n+1 個載荷循環(huán)后裂紋尖端等效塑性應變增量，可以根據(jù)Newton-Raphson 迭代法通過n+1個載荷循環(huán)后裂紋板裂紋尖端應力-應變關系來獲得。

將式（6）代入文獻[17]中的Newton-Raphson 迭代法，可獲得n+1 個循環(huán)后的裂紋尖端塑性應變增量dεp,n+1。另外，也可以獲得相應的塑性應變增量。依次更新相應的參數(shù)，可以求得在第ith個循環(huán)中相應的塑性應變增量。

因此，單軸低周疲勞載荷下裂紋板裂紋尖端在n+1個載荷循環(huán)的塑性應變增量Δεp可以表示為

式（7）即是在n+1個載荷循環(huán)后裂紋板裂紋尖端累積增量塑性應變值的表達式。

二軸低周疲勞載荷下裂紋板von Mises等效應變根據(jù)文獻[18]通過使用主應變分量εA和εB獲得，

根據(jù)式（7）獲得的對應載荷循環(huán)下的累積塑性應變作為二軸低周疲勞載荷下裂紋板在x、y軸向塑性變形分量代入式（8），即可獲得在二軸低周疲勞載荷下裂紋板在相應載荷循環(huán)后裂紋尖端von Mises等效塑性應變。

Masayuki[19]證明了應變強度因子在大規(guī)模屈服條件下代表疲勞裂紋擴展驅動力的有效性。通過使用應變強度因子作為驅動力，可以很好地描述低周疲勞裂紋的擴展。應變強度因子幅表示如下：

ΔεMises是在二軸低周疲勞載荷下裂紋板在相應載荷循環(huán)后裂紋尖端von Mises等效塑性應變，由式（8）獲得。常數(shù)fL可通過以下公式獲得：

J積分用作描述彈塑性疲勞裂紋擴展的參數(shù)，可以通過常規(guī)工程方法估算為

式中，Je和Jp分別是J積分的彈性部分和塑性部分。對于冪硬化材料，J表達式可以以一般形式擴展[20]。

式中，C2=2；E為平面應力條件；F表示彈性K表達式中的幾何因子；應變硬化指數(shù)n和系數(shù)a，ε0和σ0由具有Ramberg-Osgood本構關系的單軸應力-應變曲線確定。

對于平面內(nèi)二軸低周疲勞載荷加載條件下，通過改變完全可塑性因子h1表達式可以解釋多軸性的影響，其中雙軸解h′1由參考文獻[20]給出。

對于二軸低周疲勞載荷加載下，ΔJ表達式的估計與單調J表達式的估計相似，但僅將σ和ε的單個值替換為它們的范圍Δσ和Δε。結合式（9）、式（13）和式（12），二軸低周疲勞載荷下基于累積塑性變形的船體裂紋板裂紋尖端J積分表達式為

2 有限元分析及討論

本文利用ABAQUS 有限元軟件來進行建模和有限元計算。對二軸低周疲勞載荷下含有45°預裂紋的十字試件進行整體建模，模型四肢的長度和寬度分別為120 mm 和45 mm，兩臂交界處的曲率半徑為45 mm。預制裂紋總長2a為8 mm，十字形試件整體板厚為5.7 mm，中部板厚削減為3.2 mm，以保證最大面積的均勻應變區(qū)域。從試件中心處制備了4 mm 長的預制裂紋，位于水平和垂直臂的45°處，十字形試件具體幾何尺寸見圖1。

圖1 十字型試件幾何形狀及尺寸Fig.1 Geometric shape and size of cross-shaped specimen

結合疲勞裂紋特點采用四節(jié)點縮減積分單元（CPS4R）劃分網(wǎng)格，縮減積分單元有助于提高計算效率，且在裂紋尖端網(wǎng)格存在扭曲變形時，分析精度不會受到明顯的影響。有限元計算模型如圖2 所示。對疲勞裂紋尖端局部區(qū)域進行單元細化，裂紋尖端區(qū)域細化過程中對沿著裂紋擴展路徑的區(qū)域選擇最小的單元，尺寸統(tǒng)一為0.05 mm×0.05 mm，裂紋尖端細化區(qū)域與裂紋外圍采用過渡網(wǎng)格，一共兩層。裂紋擴展區(qū)的細化程度直接影響了疲勞裂紋尖端應力應變場的有限元分析精度，同時也更有利于運用節(jié)點釋放技術模擬疲勞裂紋的擴展。另外，為了更好地與單軸進行對比分析，本文還進行單軸數(shù)值模擬。

圖2 裂紋板有限元模型及裂紋擴展區(qū)域局部細化單元Fig.2 Finite element model of cracked plate and local refinement element of crack propagation area

有限元模型中選取造船行業(yè)中常見的Q235 鋼，其材料參數(shù)見表1。材料本構模型選用Chaboche非線性強化準則，其相應模型系數(shù)見表2。

表1 Q235鋼材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of Q235 steel

表2 Q235鋼Chacoche聯(lián)合模型系數(shù)[12]Tab.2 Chacoche joint model coefficients of Q235 steel[12]

2.1 裂紋尖端應力應變場

為了研究裂紋尖端應力應變行為，在頻率為0.25 Hz的多軸低周疲勞載荷下的前30個循環(huán)的靠近裂紋尖端高斯積分點的多軸應力比λ=0、1.0，應力比分別為R=0.1,0.2,0.3 的應力應變遲滯回線如圖3和圖5所示；靠近裂紋尖端的高斯積分點位于極坐標系中靠近裂紋尖端(r=3.8 μm,θ=45°)。

圖3～4 給出在多軸應力比λ=0 即單軸應力且不同應力狀態(tài)下裂紋尖端應力應變關系曲線。從圖3～4中可看出，裂紋尖端應力應變場表現(xiàn)出明顯的累積遞增塑性變形現(xiàn)象。在不同應力比而相同最大應力σmax的單軸低周疲勞載荷作用下，裂紋尖端處的累積塑性應變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應力比越大，其累積塑性應變也相對較大，但是隨著循環(huán)周次的逐漸增加，疲勞裂紋尖端處的累積遞增塑性應變率由開始階段的快速降低變?yōu)橹饾u趨于穩(wěn)定，表明應力比對船體裂紋板的累積遞增塑性應變的影響較為明顯。

圖3 單軸應力狀態(tài)下（λ=0）不同應力比下裂紋板應力應變關系曲線Fig.3 Stress-strain relationship of cracked plate under different stress ratios under uniaxial stress state (λ=0)

圖4 單軸應力狀態(tài)下（λ=0）不同應力比下裂紋板累積塑性應變率變化關系曲線Fig.4 Relationship of cumulative plastic strain rate of cracked plate under uniaxial stress state(λ=0)with different stress ratios

圖5～6 給出在多軸應力比λ=1 即多軸應力狀態(tài)下不同應力比下裂紋尖端應力應變關系曲線。從圖5中可看出，裂紋尖端x軸、y軸兩個方向上應力應變場表現(xiàn)出與單軸狀態(tài)下相似的累積遞增塑性變形現(xiàn)象，而且裂紋尖端x軸、y軸兩個方向上的累積塑性應變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應力比越大，其累積塑性應變率也相對較大。

圖5 二軸應力狀態(tài)下（λ=0.3）不同應力比下裂紋板應力應變關系曲線Fig.5 Stress-strain relationship of cracked plate under biaxial stress state (λ=0.3)with different stress ratios

圖6 二軸低周疲勞載荷下X軸Y軸向裂紋板應力應變遲滯環(huán)曲線Fig.6 Stress-strain hysteresis loop curve of X-axis and Y-axial for cracked plate under the different biaxial low-cycle fatigue loadings

這些結果表明：當裂紋尖端附近的應力/應變幅保持不變而相應改變外載荷幅時，裂紋尖端附近累積塑性應變逐漸增加并且與相應的循環(huán)載荷應力比及最大外載荷值相關。裂紋尖端的這種逐漸增加的累積塑性應變可能最終引起結構材料在裂紋尖端附近區(qū)域的分離并導致裂紋的擴展，這種現(xiàn)象在Kapoor 等[21]發(fā)表的文章中可以得到解釋；裂紋尖端的這種總累積塑性應變達到臨界值時就會引起裂紋尖端的累積塑性破壞，這個臨界值由靜載荷引起的結構材料失效應變確定。

綜上所示，我們可以得出在單軸（λ=0）、多軸（λ≠0）低周載荷下裂紋尖端附近存在明顯的累積遞增塑性變形，并最終引起裂紋尖端擴展路徑上材料的分離以及裂紋尖端向前擴展移動。Zheng等[22]基于裂紋尖端累積塑性耗散能密度分析低周疲勞裂紋擴展也得出相似的結論。相比外載荷應力比，裂紋尖端局部應力比對裂紋尖端累積塑性變形影響更顯著，在分析疲勞裂紋擴展時應予以考慮。

2.2 裂紋尖端殘余應力場

在不同二軸比及應力比的最小載荷作用下，距裂紋尖端不同位置處節(jié)點法向殘余應力分布如圖7所示。

圖7 不同載荷條件下裂紋擴展方向上殘余應力分布Fig.7 Residual stress distribution along crack propagation direction under different loading conditions

從圖7 可知，在循環(huán)載荷中的最小載荷下，裂紋尖端附近殘余應力出現(xiàn)了明顯的應力集中現(xiàn)象，在裂紋尖端位置處應力達到最大，過大的應力會在裂紋尖端產(chǎn)生塑性屈服而變形，從而引起裂紋尖端逐漸分離而向前移動擴展。在裂紋尖端隨著距離的增大，應力逐漸降低，而且在裂紋前方多軸應力比越大，相應的應力也越大，表明平行裂紋載荷增強了裂紋尖端前緣應力場，從而加速二軸低周疲勞裂紋擴展速率，Tchankov等[23]的研究也得出了相同的結論。

為了將雙軸應力問題轉換為等效的單軸應力問題，根據(jù)文獻[24]中方程（2）得到在不同二軸比(λ=σx/σy)、應力比R下各等效單軸應力變化歷程，即可顯示二軸低周疲勞載荷下裂紋板在一條裂紋線上施加的等效單軸應力分布范圍，如圖8所示。

由圖8（a）～（b）可知，在不同雙軸應力比和應力幅情況下，無裂紋條件應力隨時間呈正弦函數(shù)變化趨勢，即隨雙軸加載同相位差變化而變化，且當雙軸應力比越大時，其沿裂紋線方向無裂紋應力逐漸減小，因為裂紋垂直方向上施加的應力范圍對低周疲勞裂紋擴展的影響可以被雙軸加載同相位差效應抵消，而在不同應力幅情況下，其變化曲線依舊隨應力幅增大而增大。

由圖8（c）可看出，通過Takahashi 等[24]的研究得到的雙軸加載情況下沿裂紋線方向的等效單軸應力范圍隨平均應力依次增大。此外，還發(fā)現(xiàn)各平均應力條件下的等效x軸應力與外載荷變化趨勢基本一致。因此，可以認為圖7中所示的變化是由沿著裂紋線方向的應力所導致的，在這種不同平均應力情況下，等效單軸應力大于原雙軸加載應力條件，并產(chǎn)生疲勞裂紋擴展的加速效應。

圖8 不同二軸低周疲勞載荷下沿裂紋線方向的等效應力變化歷程Fig.8 Equivalent stress change history along the crack line under different biaxial low-cycle fatigue loads

2.3 裂紋尖端塑性區(qū)半徑

在二軸低周疲勞拉拉載荷下，拉伸加載階段疲勞裂紋面將張開并將引起裂紋的擴展，卸載階段將引起裂紋的閉合，并且這個階段疲勞裂紋的擴展受發(fā)生在裂紋尖端局部區(qū)域的累積塑性變形的影響非常顯著，裂紋尖端局部塑性區(qū)域的大小是合理評估低周疲勞裂紋擴展的基礎。在相應載荷情況下，通過有限元計算獲得裂紋尖端塑性區(qū)半徑應力應變云圖如圖9所示，相應的塑性區(qū)大小如圖10所示。

圖9 二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端塑性區(qū)半徑云圖Fig.9 Plastic zone radius diagram at the crack tip under biaxial low-cycle fatigue loading

圖10 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端塑性區(qū)變化Fig.10 Changes of the plastic zone radius at crack tip under different biaxial low-cycle fatigue loads

由圖10（a）～（b）可知，在其它載荷因素相同而二軸應力比、應力比不同作用下，塑性區(qū)半徑大小隨二軸比（λ=σx/σy）和應力比R增加而增大，表明二軸低周疲勞載荷中平行裂紋載荷促進了裂紋尖端應力增強，且促進了裂紋尖端塑性區(qū)半徑的增大。Gotoh 等[10]通過研究也得出了類似的結論，認為二軸疲勞載荷下裂紋尖端最大塑性區(qū)域和最小塑性區(qū)域的大小，隨二軸加載的應力比變化而變化。從圖10（c）可看出，隨著平均應力的增大，最大和最小塑性區(qū)域都逐漸增大。最大塑性區(qū)域和最小塑性區(qū)域的大小，受雙軸加載的應力比的影響而變化。結果證實，各加載條件下的塑性區(qū)大小與疲勞裂紋擴展行為是一致的[10]。

2.4 應變強度因子及J積分

為了進一步厘清裂紋板二軸低周疲勞裂紋擴展斷裂行為，本文通過理論分析和有限元數(shù)值模擬分別分析了不同二軸比（λ=σx/σy）、應力比R和平均應力的二軸低周疲勞載荷下十字型裂紋板試件的應變強度因子Kε及J積分變化關系曲線，計算結果如圖11～12所示。

圖11（a）～（b）中，二軸低周疲勞載荷下裂紋板在其它因素相同的情況下，應變強度因子Kε隨二軸比（λ=σx/σy）、應力比R增加而增大，而且隨著裂紋的不斷擴展、裂紋長度的增大，應變強度因子Kε增加的幅值也越大。與單軸載荷狀態(tài)相比，二軸各應力狀態(tài)下裂紋板應變強度因子Kε均增加。圖11（c）表明，在二軸比λ=1 的雙軸疲勞加載下，即垂直方向和水平方向的疲勞載荷相等且同相，裂紋板應變強度值隨平均應力增加而增大；此時，J積分與裂紋長度在平均應力增加時，逐漸增大。

圖11 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端應變強度因子ΔKε變化曲線Fig.11 Variation of crack tip strain intensity factor ΔKε under different biaxial low-cycle fatigue loads

從圖12可看出，在二軸低周疲勞載荷下，裂紋板J積分變化關系曲線與對應應變強度因子Kε變化類似，隨二軸比(λ=σx/σy)、應力比R增加而增大，而且隨著裂紋的不斷擴展、裂紋長度的增大，應力強度因子K增加的幅值也越大。這一計算結果與文獻[25～26]的研究結果一致，說明二軸比(λ=σx/σy)和應力比R等對二軸低周疲勞裂紋擴展影響較大。

圖12 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端J積分變化曲線Fig.12 The variation curve of crack tip J-integral under different biaxial low-cycle fatigue loads

3 結 論

本文通過理論分析和數(shù)值模擬，研究了裂紋板在不同二軸比(λ=σx/σy)、應力比R和平均應力的二軸低周疲勞載荷下累積塑性變形和斷裂性能，并得到了如下結論：

（1）在單軸（λ=0）、多軸（λ≠0）低周載荷下，裂紋尖端附近存在明顯的累積遞增塑性變形，并最終引起裂紋尖端擴展路徑上材料的分離以及裂紋尖端向前擴展移動。累積塑性應變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應力比越大，其累積塑性應變率也相對較大。

（2）研究表明，平均應力與應力幅對應變強度因子和J積分-裂紋長度關系曲線影響十分明顯；當平均應力及應力幅增大時，裂紋長度及應變強度因子和J積分的值也相應地增加；當平均應力保持不變時，低周疲勞下的應變強度因子和J積分隨雙軸應力比的增加也逐漸增大。

（3）在循環(huán)載荷中的最小載荷下，裂紋尖端附近殘余應力出現(xiàn)了明顯的應力集中現(xiàn)象，在裂紋尖端位置處應力達到最大，過大的應力會在裂紋尖端產(chǎn)生塑性屈服而變形，從而引起裂紋尖端逐漸分離而向前移動擴展。

（4）在其它載荷因素相同而二軸應力比、應力比不同作用下，塑性區(qū)半徑大小隨二軸比(λ=σx/σy)、應力比R增加而增大，表明二軸低周疲勞載荷中平行裂紋載荷促進了裂紋尖端應力強度增強，且促進了裂紋尖端塑性區(qū)半徑的增大。